2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={x|x10}，B={0，1，2}，则AB=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）（1+i）（2i）=（）A．3iB．3+iC．3iD．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sin=，则cos2=（）A．B．C．D．5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y2=2上，则ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5分）函数y=x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）P（X=6），则p=（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.39．（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：=1（a0．b0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+bab0B．aba+b0C．a+b0abD．ab0a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）．若（2+），则= ．14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a= ．15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，]的零点个数为 ．16．（5分）已知点M（1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若AMB=90，则k= ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）．（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x．（1）若a=0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点．（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=|2x+1|+|x1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x[0，+）时，f（x）ax+b，求a+b的最小值．2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={x|x10}，B={0，1，2}，则AB=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．【解答】解：A={x|x10}={x|x1}，B={0，1，2}，AB={x|x1}{0，1，2}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．2．（5分）（1+i）（2i）=（）A．3iB．3+iC．3iD．3+i【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1+i）（2i）=3+i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．4．（5分）若sin=，则cos2=（）A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】cos2=12sin2，由此能求出结果．【解答】解：sin=，cos2=12sin2=12=．故选：B．【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．80【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=（x2）5r（）r=，由103r=4，解得r=2，由此能求出（x2+）5的展开式中x4的系数．【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=（x2）5r（）r=，由103r=4，解得r=2，（x2+）5的展开式中x4的系数为=40．故选：C．【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y2=2上，则ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】求出A（2，0），B（0，2），|AB|=2，设P（2+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d==[]，由此能求出ABP面积的取值范围．【解答】解：直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，令x=0，得y=2，令y=0，得x=2，A（2，0），B（0，2），|AB|==2，点P在圆（x2）2+y2=2上，设P（2+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d==，sin（）[1，1]，d=[]，ABP面积的取值范围是：[，]=[2，6]．故选：A．【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．（5分）函数y=x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f（x）=4x3+2x=2x（2x21），由f（x）0得2x（2x21）0，得x或0x，此时函数单调递增，由f（x）0得2x（2x21）0，得x或x0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）=1+1+2=20，排除A，B，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）P（X=6），则p=（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足XB（10，p），P（x=4）P（X=6），可得，可得12p0．即p．因为DX=2.4，可得10p（1p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故选：B．【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】推导出SABC==，从而sinC==cosC，由此能求出结果．【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．ABC的面积为，SABC==，sinC==cosC，0C，C=．故选：C．【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．54【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】求出，ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．【解答】解：ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O，显然D在OO的延长线与球的交点如图：OC==，OO==2，则三棱锥DABC高的最大值为：6，则三棱锥DABC体积的最大值为：=18．故选：B．【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5分）设F1，F2是双曲线C：=1（a0．b0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2||F1F2|cosPF2O，代值化简整理可得a=c，问题得以解决．【解答】解：双曲线C：=1（a0．b0）的一条渐近线方程为y=x，点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，|OP|===a，cosPF2O=，|PF1|=|OP|，|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2||F1F2|COSPF2O，6a2=b2+4c22b2c=4c23b2=4c23（c2a2），即3a2=c2，即a=c，e==，故选：C．【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+bab0B．aba+b0C．a+b0abD．ab0a+b【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．【解答】解：a=log0.20.3=，b=log20.3=，=，，，，aba+b0．故选：B．【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）．若（2+），则=．【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出的值．【解答】解：向量=（1，2），=（2，2），=（4，2），=（1，），（2+），，解得=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a=3．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y=aex+（ax+1）ex，曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得a=3．故答案为：3．【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，]的零点个数为3．【考点】51：函数的零点．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+）=0，可得3x+=+k，kZ，即x=+k，即可求出．【解答】解：f（x）=cos（3x+）=0，3x+=+k，kZ，x=+k，kZ，当k=0时，x=，当k=1时，x=，当k=2时，x=，当k=3时，x=，x[0，]，x=，或x=，或x=，故零点的个数为3，故答案为：3【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．16．（5分）已知点M（1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若AMB=90，则k=2．【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由AMB=90，向量的数量积为0，代入整理可求k．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），过A，B两点的直线方程为y=k（x1），联立可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=，x1x2=1，y1+y2=k（x1+x22）=，y1y2=k2（x11）（x21）=k2[x1x2（x1+x2）+1]=4，M（1，1），=（x1+1，y11），=（x2+1，y21），AMB=90，=0（x1+1）（x2+1）+（y11）（y21）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+2=0，1+2+4+2=0，即k24k+4=0，k=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=2，由此能求出{an}的通项公式．（2）当a1=1，q=2时，Sn=，由Sm=63，得Sm==63，mN，无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n1，由此能求出m．【解答】解：（1）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．1q4=4（1q2），解得q=2，当q=2时，an=2n1，当q=2时，an=（2）n1，{an}的通项公式为，an=2n1，或an=（2）n1．（2）记Sn为{an}的前n项和．当a1=1，q=2时，Sn===，由Sm=63，得Sm==63，mN，无解；当a1=1，q=2时，Sn===2n1，由Sm=63，得Sm=2m1=63，mN，解得m=6．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在7292之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在6585之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；由此填写列联表如下； 超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040（3）根据（2）中的列联表，计算K2===106.635，能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC平面ADM即可．（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．【解答】解：（1）证明：在半圆中，DMMC，正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，AD平面DCM，则ADMC，ADDM=D，MC平面ADM，MC平面MBC，平面AMD平面BMC．（2）ABC的面积为定值，要使三棱锥MABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD的边长为2，A（2，1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面MCD的法向量=（1，0，0），设平面MAB的法向量为=（x，y，z）则=（0，2，0），=（2，1，1），由=2y=0，=2x+y+z=0，令x=1，则y=0，z=2，即=（1，0，2），则cos，===，则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sin==．【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）．（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k===又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2由++=，可得x31=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（1，m），x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k===点M（1，m）在椭圆内，即，解得0m．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，++=，F（1，0），x11+x21+x31=0，y1+y2+y3=0，x3=1，y3=（y1+y2）=2mm0，可得P在第四象限，故y3=，m=，k=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=．则|FA|+|FB|=4，|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x1x2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1x2|=，该数列的公差为．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x．（1）若a=0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论；（2）令h（x）为f（x）的分子，令h（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值．【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1）．，，可得x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x在（1，+）上单调递增，又f（0）=0．当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a0，x0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a0时，h（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h（x）单调递减，令h（0）=0，解得a=．当1x0时，h（x）0，当x0时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又h（0）=0，当1x0时，h（x）0，即f（x）0，当x0时，h（x）0，即f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0是f（x）的极大值点，符合题意；若a0，则h（0）=1+6a0，h（e1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0在（0，+）上有唯一一个零点，设为x0，当0xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；若a，则h（0）=1+6a0，h（1）=（12a）e20，h（x）=0在（1，0）上有唯一一个零点，设为x1，当x1x0时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．综上，a=．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点．（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当=时，直线l的方程为x=0，成立；当时，过点（0，）且倾斜角为的直线l的方程为y=tanx+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=1，进而求出或，由此能求出的取值范围．（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m21=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）O的参数方程为（为参数），O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当=时，过点（0，）且倾斜角为的直线l的方程为x=0，成立；当时，过点（0，）且倾斜角为的直线l的方程为y=tanx，倾斜角为的直线l与O交于A，B两点，圆心O（0，0）到直线l的距离d=1，tan21，tan1或tan1，或，综上的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）y2+2+2m21=0，，=+2，=，=，AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（1m1）．【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=|2x+1|+|x1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x[0，+）时，f（x）ax+b，求a+b的最小值．【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．【解答】解：（1）当x时，f（x）=（2x+1）（x1）=3x，当x1，f（x）=（2x+1）（x1）=x+2，当x1时，f（x）=（2x+1）+（x1）=3x，则f（x）=对应的图象为：画出y=f（x）的图象；（2）当x[0，+）时，f（x）ax+b，当x=0时，f（0）=20a+b，b2，当x0时，要使f（x）ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，不等式f（x）ax+b在[0，+）上成立，即a+b的最小值为5．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．