2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．22．（5分）sin20cos10cos160sin10=（）A．B．C．D．3．（5分）设命题p：nN，n22n，则p为（）A．nN，n22n B．nN，n22n C．nN，n22n D．nN，n2=2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3125．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．（5分）设D为ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A．（k，k+），kzB．（2k，2k+），kzC．（k，k+），kzD．（，2k+），kz9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10B．20C．30D．6011．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A．1B．2C．4D．812．（5分）设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a= ．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．16．（5分）在平面四边形ABCD中，A=B=C=75．BC=2，则AB的取值范围是 ．三、解答题：17．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式：（）设bn=，求数列{bn}的前n项和．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（）证明：平面AEC丄平面AFC（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2yx．根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a0）交于M，N两点．（）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E．（）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若OA=CE，求ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|2|xa|，a0．（）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：复数z满足=i，1+z=izi，z（1+i）=i1，z==i，|z|=1，故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）sin20cos10cos160sin10=（）A．B．C．D．【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20cos10cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin30=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．（5分）设命题p：nN，n22n，则p为（）A．nN，n22nB．nN，n22nC．nN，n22nD．nN，n2=2n【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：nN，n22n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足XB（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（x0，y0）（x0，y0）=x023+y02=3y0210，所以y0．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为（）25，1斛米的体积约为1.62立方，1.6222，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．（5分）设D为ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．（5分）函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A．（k，k+），kzB．（2k，2k+），kzC．（k，k+），kzD．（，2k+），kz【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出，由五点法作图求出，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解：由函数f（x）=cos（x+）的部分图象，可得函数的周期为=2（）=2，=，f（x）=cos（x+）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+=，kz，即=，f（x）=cos（x+）．由2kx+2k+，求得 2kx2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），kz，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10B．20C．30D．60【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6k=5，则k=1，（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A．1B．2C．4D．8【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】5Q：立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：4r2+r22r2r+2r2r+r2=5r2+4r2，又该几何体的表面积为16+20，5r2+4r2=16+20，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．【分析】设g（x）=ex（2x1），y=axa，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=axa的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得ag（0）=1且g（1）=3e1aa，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=ex（2x1），y=axa，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=axa的下方，g（x）=ex（2x1）+2ex=ex（2x+1），当x时，g（x）0，当x时，g（x）0，当x=时，g（x）取最小值2，当x=0时，g（0）=1，当x=1时，g（1）=e0，直线y=axa恒过定点（1，0）且斜率为a，故ag（0）=1且g（1）=3e1aa，解得a1故选：D．【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：f（x）=xln（x+）为偶函数，f（x）=f（x），（x）ln（x+）=xln（x+），ln（x+）=ln（x+），ln（x+）+ln（x+）=0，ln（+x）（x）=0，lna=0，a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x）2+y2=．【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x）2+y2=．故答案为：（x）2+y2=．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），kOA==3，即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．（5分）在平面四边形ABCD中，A=B=C=75．BC=2，则AB的取值范围是（，+）．【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形．【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在ADE中，DAE=105，ADE=45，E=30，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，BC=2，（x+m）sin15=1，x+m=+，0x4，而AB=x+mx=+x，AB的取值范围是（，+）．故答案为：（，+）．方法二：如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75，倾斜角为150的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，直线接近点C时，AB趋近最小，为；直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（，+）．【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：17．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式：（）设bn=，求数列{bn}的前n项和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：（）求出bn=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．【解答】解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+12an2+2（an+1an）=4an+1，即2（an+1+an）=an+12an2=（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an=2，a12+2a1=4a1+3，a1=1（舍）或a1=3，则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，{an}的通项公式an=3+2（n1）=2n+1：（）an=2n+1，bn===（），数列{bn}的前n项和Tn=（+…+）=（）=．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（）证明：平面AEC丄平面AFC（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（）连接BD，设BDAC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【解答】解：（）连接BD，设BDAC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由ABC=120，可得AG=GC=，BE平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AEEC，所以EG=，且EGAC，在直角EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF==，从而EG2+FG2=EF2，则EGFG，（或由tanEGBtanFGD===1，可得EGB+FGD=90，则EGFG）ACFG=G，可得EG平面AFC，由EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC；（）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由（）可得A（0，，0），E（1，0，），F（1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（1，，），故cos，===．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2yx．根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=．【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】（）根据散点图，即可判断出，（）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，==563686.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（）（i）由（）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.60.249=66.32，（ii）根据（）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）x=x+13.6+20.12，当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a0）交于M，N两点．（）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，a），设P（0，b）满足OPM=OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x24kx4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0直线PM，PN的倾斜角互补OPM=OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y=，曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：ya=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，a），下面给出证明：设P（0，b）满足OPM=OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x24kx4a=0，x1+x2=4k，x1x2=4a．k1+k2=+==．当b=a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，OPM=OPN．点P（0，a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x0），讨论h（x）零点的个数．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．【分析】（i）f（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x（1，+）时，g（x）=lnx0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}g（x）0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a，a，即可得出零点的个数；当x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：当a3或a0时，当3a0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．【解答】解：（i）f（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f（x0）=0，，解得，a=．因此当a=时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x（1，+）时，g（x）=lnx0，函数h（x）=min { f（x），g（x）}0，故h（x）在x（1，+）时无零点．当x=1时，若a，则f（1）=a+0，h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a，则f（1）=a+0，h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．当a3或a0时，f（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，当a3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．当3a0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若0，即，由f（0）=，f（1）=a+，当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当3a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：a时，函数h（x）有一个零点．当时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E．（）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若OA=CE，求ACB的大小．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆．【分析】（）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得OED=90，可得DE是O的切线；（）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（）连接AE，由已知得AEBC，ACAB，在RTABC中，由已知可得DE=DC，DEC=DCE，连接OE，则OBE=OEB，又ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是O的切线；（）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CEBE，x2=，即x4+x212=0，解方程可得x=ACB=60【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（）由条件根据x=cos，y=sin求得C1，C2的极坐标方程．（）把直线C3的极坐标方程代入23+4=0，求得1和2的值，结合圆的半径可得C2MC2N，从而求得C2MN的面积C2MC2N的值．【解答】解：（）由于x=cos，y=sin，C1：x=2 的极坐标方程为 cos=2，故C2：（x1）2+（y2）2=1的极坐标方程为：（cos1）2+（sin2）2=1，化简可得2（2cos+4sin）+4=0．（）把直线C3的极坐标方程=（R）代入圆C2：（x1）2+（y2）2=1，可得2（2cos+4sin）+4=0，求得1=2，2=，|MN|=|12|=，由于圆C2的半径为1，C2MC2N，C2MN的面积为C2MC2N=11=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|2|xa|，a0．（）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（）当a=1时，不等式f（x）1，即|x+1|2|x1|1，即，或，或．解求得x，解求得x1，解求得1x2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（）函数f（x）=|x+1|2|xa|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由ABC的面积大于6，可得[2a+1]（a+1）6，求得a2．故要求的a的范围为（2，+）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．