2015年广东高考（理科）数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合，，则 A． B． C． D．2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i是虚数单位 )，则= A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A． B． C． D．4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A．1 B. C. D. 5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是 A．或 B. 或 C. 或 D. 或6．若变量x，y满足约束条件则的最小值为 A． B. 6 C. D. 47．已知双曲线C：的离心率e=，且其右焦点F2( 5 , 0 )，则双曲线C的方程为 （ ） A． B. C. D. 8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值 A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9-13题）9．在的展开式中，x的系数为 。10．在等差数列{}中，若，则= 。11．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a =，sinB=，C=，则b = 。12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答）13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字做答）（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为 A(,)，则点A到直线l的距离为 。15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C， BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD= 。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（，），n=（sin x，cos x），x（0，）。 （1）若mn，求tan x的值 （2）若m与n的夹角为，求x的值。（本小题满分12分） 某工厂36名工人的年龄数据如下表。工人编号 年龄工人编号 年龄工人编号 年龄工人编号 年龄404440413340454243363138394345393836274341373442374442343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的平均值和方差；（3）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01）？18．（本小题满分14分） 如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，，，.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且，.（1）证明：；（2）求二面角的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.19．（本小题满分14分） 设a>1，函数。 (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在（，+）上仅有一个零点； (3) 若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B.（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分） 数列满足 , . (1) 求的值； (2) 求数列前n项和Tn；(3) 令，（），证明：数列{}的前n项和满足2015广东高考数学（理）试题（参考答案）1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C9、610、1011、112、156013、15、816、 以下为选择填空解析！一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若集合，则【答案】D【解析】， 2.若复数（是虚数单位），则【答案】A【解析】，3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是【答案】D【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数， D选项为非奇非偶函数4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为【答案】B【解析】5. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是【答案】A【解析】设所求直线为，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得 ，解得，所求直线方程为6. 若变量满足约束条件，则的最小值为【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数，则当目标函数过点（1，），取最小值为7. 已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为【答案】C【解析】由双曲线右焦点为，则c=5， ，所以双曲线方程为8. 若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值【答案】B【解析】当时，正三角形的三个顶点符合条件；当时，正四面体的四个顶点符合条件故可排除A，C，D四个选项，故答案选B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9-13题）9. 在的展开式中，的系数为 .【答案】6【解析】，则当时，的系数为10. 在等差数列中，若，则 .【答案】10【解析】由等差数列性质得，，解得，所以11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b= .【答案】1【解析】，又，故，所以 由正弦定理得，，所以12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答）【答案】156013. 已知随机变量X服从二项分布，，，则 .【答案】【解析】，，解得（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 .【答案】【解析】即直线的直角坐标方程为，点A的直角坐标为（2，-2）A到直线的距离为15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知是圆的直径，,是圆的切线，切点为，，过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则= .【答案】8【解析】图1如图所示，连结O，C两点，则,,则，所以,所以