2015年湖南高考理科数学试题及答案

2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+iB．1iC．1+iD．1i2．（5分）（2015湖南）设A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2015湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）（2015湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3xy的最小值为（）A．7B．1C．1D．25．（5分）（2015湖南）设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）（2015湖南）已知（）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．C．6D．67．（5分）（2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若XN=（，a2），则P（X+）=0.6826．p（2X+2）=0.9544．A．2386B．2718C．3413D．47728．（5分）（2015湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．99．（5分）（2015湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）A．B．C．D．10．（5分）（2015湖南） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015湖南）（x1）dx=．12．（5分）（2015湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）（2015湖南）设F是双曲线C：=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）（2015湖南）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=．15．（5分）（2015湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015湖南）如图，在O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：（1）MEN+NOM=180（2）FEFN=FMFO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2cos．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA||MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．（2015湖南）设a0，b0，且a+b=+．证明：（）a+b2；（）a2+a2与b2+b2不可能同时成立．19．（2015湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围．20．（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．（2015湖南）如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；（2）若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）（2015湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（）求C2的方程；（）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015湖南）已知a0，函数f（x）=eaxsinx（x[0，+]）．记xn为f（x）的从小到大的第n（nN*）个极值点．证明：（）数列{f（xn）}是等比数列；（）若a，则对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立．答案：1、解：已知=1+i（i为虚数单位），z===1i，故选：D．2、解：A、B是两个集合，则“AB=A”可得“AB”，“AB”，可得“AB=A”．所以A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的充要条件．故选：C．3、解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B4解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，1）．由解得A（2，1），由，解得B（1，1）z=3xy的最小值为3（2）1=7．故选：A．5、解：函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）=[ln（1+x）ln（1x）]=f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然f（0）f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．6、解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1==；展开式中含x的项的系数为30，，r=1，并且，解得a=6．故选：D．7、解：由题意P（0X1）=0.6826=0.3413，落入阴影部分点的个数的估计值为100000.3413=3413，故选：C．8、解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．所以B为（1，0）时，|4+|7．所以||的最大值为7．故选：B．9、解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意．故选：D．10、解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，此长方体底面边长为n的正方形，高为x，根据轴截面图得出：=，解得；n=（1），0x2，长方体的体积=2（1）2x，=x24x+2，，=x24x+2=0，x=，x=2，可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，最大值=2（1）2=，原工件材料的利用率为==，故选：A11、解：（x1）dx=（x）|=0；故答案为：0．12、解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7=4（人）．故答案为：4．13、解：设F（c，0），P（m，n），（m0），设PF的中点为M（0，b），即有m=c，n=2b，将点（c，2b）代入双曲线方程可得，=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．14、解：设等比数列的公比为q，Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．an=3n1．故答案为：3n1．15、解：g（x）=f（x）b有两个零点，f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1当a1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a1满足题意当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意当0a1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意当a0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a0或a1故答案为：{a|a0或a1}16、证明：（1）N为CD的中点，ONCD，M为AB的中点，OMAB，在四边形OMEN中，OME+ONE=90+90=180，O，M，E，N四点共圆，MEN+NOM=180（2）在FEM与FON中，F=F，FME=FNO=90，FEMFON，=FEFN=FMFO．17、解：（1）=2cos，2=2cos，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（51）2+31=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA||MB|=18．18、证明：（）由a0，b0，则a+b=+=，由于a+b0，则ab=1，即有a+b2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b2；（）假设a2+a2与b2+b2可能同时成立．由a2+a2及a0，可得0a1，由b2+b2及b0，可得0b1，这与ab=1矛盾．a2+a2与b2+b2不可能同时成立．19、解：（）由a=btanA和正弦定理可得==，sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，+A（，），B=+A，BA=；（）由（）知C=（A+B）=（A++A）=2A0，A（0，），sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0，），0sinA，由二次函数可知2（sinA）2+sinA+sinC的取值范围为（，]20、解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．XB．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为： X 0 1 2 3 PE（X）=3=．21、解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0y16；（1）证明：若P是DD1的中点，则P；，；；；AB1PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2[0，6]，P在棱DD1上；，01；（0，y26，z2）=（0，3，6）；；z2=122y2；P（0，y2，122y2）；；平面ABB1A1的一个法向量为；PQ平面ABB1A1；=6（y1y2）=0；y1=y2；Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角PQDA的余弦值为；；解得y2=4，或y2=8（舍去）；P（0，4，4）；三棱锥PADQ的高为4，且；V四面体ADPQ=V三棱锥PADQ=．22、解：（）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，a2b2=1，，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（，），所以=1，，联立得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），A（x4，y4），（）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3x1=x4x2，即x1x2=x3x4，于是（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x24kx4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=，将代入，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=169，解得k=．（）由x2=4y得y=x，所以C1在点A处的切线方程为yy1=x1（xx1），即y=x1xx12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，1），而=（x1，y11），于是=x12y1+1=x12+10，因此AFM是锐角，从而MFD=180AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形．23、证明：（）f（x）=eax（asinx+cosx）=eaxsin（x+），tan=，0，令f（x）=0，由x0，x+=m，即x=m，mN*，对kN，若（2k+1）x+（2k+2），即（2k+1）x（2k+2），则f（x）0，因此在（（m1），m）和（m，m）上f（x）符号总相反．于是当x=n，nN*，f（x）取得极值，所以xn=n，nN*，此时f（xn）=ea（n）sin（n）=（1）n+1ea（n）sin，易知f（xn）0，而==ea是常数，故数列{f（xn）}是首项为f（x1）=ea（）sin，公比为ea的等比数列；（）由sin=，可得对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立．即为nea（n）恒成立，设g（t）=（t0），g（t）=，当0t1时，g（t）0，g（t）递减，当t1时，g（t）0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使恒成立，只需g（1）=e，只需a，当a=，tan==，且0，可得，于是，且当n2时，n2，因此对nN*，axn=1，即有g（axn）g（1）=e=，故亦恒成立．综上可得，若a，则对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立．