2015年湖南高考理科数学试题及答案

2024-01-06·14页·356.5 K

2015湖南高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1iC.1+iD.1i2.(5分)(2015湖南)设A、B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)(2015湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)(2015湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3xy的最小值为()A.7B.1C.1D.25.(5分)(2015湖南)设函数f(x)=ln(1+x)ln(1x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)(2015湖南)已知()5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.C.6D.67.(5分)(2015湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若XN=(,a2),则P(X+)=0.6826.p(2X+2)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.47728.(5分)(2015湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6B.7C.8D.99.(5分)(2015湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)g(x2)|=2的x1、x2,有|x1x2|min=,则=()A.B.C.D.10.(5分)(2015湖南) 某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A.B.C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015湖南)(x1)dx=.12.(5分)(2015湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)(2015湖南)设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)(2015湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.15.(5分)(2015湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)(2015湖南)如图,在O中,相较于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相较于点F,证明:(1)MEN+NOM=180(2)FEFN=FMFO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为=2cos.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA||MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.(2015湖南)设a0,b0,且a+b=+.证明:()a+b2;()a2+a2与b2+b2不可能同时成立.19.(2015湖南)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.()证明:BA=;()求sinA+sinC的取值范围.20.(2015湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.(2015湖南)如图,已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角PQDA的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)(2015湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(ab0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.()求C2的方程;()过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.()若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;()设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.23.(13分)(2015湖南)已知a0,函数f(x)=eaxsinx(x[0,+]).记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点.证明:()数列{f(xn)}是等比数列;()若a,则对一切nN*,xn|f(xn)|恒成立.答案:1、解:已知=1+i(i为虚数单位),z===1i,故选:D.2、解:A、B是两个集合,则“AB=A”可得“AB”,“AB”,可得“AB=A”.所以A、B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的充要条件.故选:C.3、解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,in,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B4解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,1).由解得A(2,1),由,解得B(1,1)z=3xy的最小值为3(2)1=7.故选:A.5、解:函数f(x)=ln(1+x)ln(1x),函数的定义域为(1,1),函数f(x)=ln(1x)ln(1+x)=[ln(1+x)ln(1x)]=f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)ln(1)=ln31,显然f(0)f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.6、解:根据所给的二项式写出展开式的通项,Tr+1==;展开式中含x的项的系数为30,,r=1,并且,解得a=6.故选:D.7、解:由题意P(0X1)=0.6826=0.3413,落入阴影部分点的个数的估计值为100000.3413=3413,故选:C.8、解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|=|4+|.所以B为(1,0)时,|4+|7.所以||的最大值为7.故选:B.9、解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为,函数的图象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(22)=1,此时=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(22)=1,此时=,满足题意.故选:D.10、解:根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,此长方体底面边长为n的正方形,高为x,根据轴截面图得出:=,解得;n=(1),0x2,长方体的体积=2(1)2x,=x24x+2,,=x24x+2=0,x=,x=2,可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,最大值=2(1)2=,原工件材料的利用率为==,故选:A11、解:(x1)dx=(x)|=0;故答案为:0.12、解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7=4(人).故答案为:4.13、解:设F(c,0),P(m,n),(m0),设PF的中点为M(0,b),即有m=c,n=2b,将点(c,2b)代入双曲线方程可得,=1,可得e2==5,解得e=.故答案为:.14、解:设等比数列的公比为q,Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.an=3n1.故答案为:3n1.15、解:g(x)=f(x)b有两个零点,f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1当a1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a1满足题意当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意当0a1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意当a0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b有两个交点综上可得,a0或a1故答案为:{a|a0或a1}16、证明:(1)N为CD的中点,ONCD,M为AB的中点,OMAB,在四边形OMEN中,OME+ONE=90+90=180,O,M,E,N四点共圆,MEN+NOM=180(2)在FEM与FON中,F=F,FME=FNO=90,FEMFON,=FEFN=FMFO.17、解:(1)=2cos,2=2cos,x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(51)2+31=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA||MB|=18.18、证明:()由a0,b0,则a+b=+=,由于a+b0,则ab=1,即有a+b2=2,当且仅当a=b取得等号.则a+b2;()假设a2+a2与b2+b2可能同时成立.由a2+a2及a0,可得0a1,由b2+b2及b0,可得0b1,这与ab=1矛盾.a2+a2与b2+b2不可能同时成立.19、解:()由a=btanA和正弦定理可得==,sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,+A(,),B=+A,BA=;()由()知C=(A+B)=(A++A)=2A0,A(0,),sinA+sinC=sinA+sin(2A)=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2(sinA)2+,A(0,),0sinA,由二次函数可知2(sinA)2+sinA+sinC的取值范围为(,]20、解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)==,P(B2)=P()+P()=+==,故所求概率为:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为:所以.XB.于是,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为: X 0 1 2 3 PE(X)=3=.21、解:根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q在棱BC上,设Q(6,y1,0),0y16;(1)证明:若P是DD1的中点,则P;,;;;AB1PQ;(2)设P(0,y2,z2),y2,z2[0,6],P在棱DD1上;,01;(0,y26,z2)=(0,3,6);;z2=122y2;P(0,y2,122y2);;平面ABB1A1的一个法向量为;PQ平面ABB1A1;=6(y1y2)=0;y1=y2;Q(6,y2,0);设平面PQD的法向量为,则:;,取z=1,则;又平面AQD的一个法向量为;又二面角PQDA的余弦值为;;解得y2=4,或y2=8(舍去);P(0,4,4);三棱锥PADQ的高为4,且;V四面体ADPQ=V三棱锥PADQ=.22、解:()抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,a2b2=1,,又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(,),所以=1,,联立得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.()设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),A(x4,y4),()因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3x1=x4x2,即x1x2=x3x4,于是(x1+x2)24x1x2=(x3+x4)24x3x4,设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由,得x24kx4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=4,由,得(9+8k2)x2+16kx64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=,x3x4=,将代入,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=.()由x2=4y得y=x,所以C1在点A处的切线方程为yy1=x1(xx1),即y=x1xx12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(x1,1),而=(x1,y11),于是=x12y1+1=x12+10,因此AFM是锐角,从而MFD=180AFM是钝角,故直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.23、证明:()f(x)=eax(asinx+cosx)=eaxsin(x+),tan=,0,令f(x)=0,由x0,x+=m,即x=m,mN*,对kN,若(2k+1)x+(2k+2),即(2k+1)x(2k+2),则f(x)0,因此在((m1),m)和(m,m)上f(x)符号总相反.于是当x=n,nN*,f(x)取得极值,所以xn=n,nN*,此时f(xn)=ea(n)sin(n)=(1)n+1ea(n)sin,易知f(xn)0,而==ea是常数,故数列{f(xn)}是首项为f(x1)=ea()sin,公比为ea的等比数列;()由sin=,可得对一切nN*,xn|f(xn)|恒成立.即为nea(n)恒成立,设g(t)=(t0),g(t)=,当0t1时,g(t)0,g(t)递减,当t1时,g(t)0,g(t)递增.t=1时,g(t)取得最小值,且为e.因此要使恒成立,只需g(1)=e,只需a,当a=,tan==,且0,可得,于是,且当n2时,n2,因此对nN*,axn=1,即有g(axn)g(1)=e=,故亦恒成立.综上可得,若a,则对一切nN*,xn|f(xn)|恒成立.

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