2014年湖南高考理科数学试题及答案

绝密启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的满足的复数A． B． C． D．2．对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、zxxk系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是则A． B． C． D．3．已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且A．3 B．1 C．1 D．34．的展开式中的系数是zxxkA．20 B．5 C．5 D．205．已知命题在命题中，真命题是A． B． C． D． 6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于A． B． C． D． 输出S是否t<0?t=2t2+1S=t-3结束开始输入t6正视图128侧视图俯视图一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A．1 B．2 C．3 D．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A． B． C． D．9．已知函数则函数的图象的一条对称轴是A． B． C． D．10．已知函数zxxk的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线交于两点，则，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是 12．如图3，已知是的两条弦，则的半径等于 13．若关于的不等式的解集为，则 （二）必做题（1416题）14．若变量满足约束条件，且的最小值为6，则 15．如图4，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过 16．在平面直角坐标系中，为原点，动点满足的最大值是 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为．现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品．设甲、乙两组的研发相互独立．求至少有一种新产品研发成功的概率；若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图5，在平面四边形中，求的值；若求zxxk的长．19． （本小题满分12分）如图6，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形．证明：若的余弦值．20． （本小题满分13分）已知数列{}满足若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；若，且{}是递增数列，{}是递减数列，zxxk求数列{}的通项公式．21． （本小题满分13分）如图7，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知且求的方程；过作的不垂直于轴的弦的中点．当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．22． （本小题满分13分）已知常数讨论在区间上的单调性；若存在两个极值点且求的zxxk取值范围．一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.满足为虚数单位)的复数( )A． B． C． D．【解】选B.由,即选B.2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是则( )A． B． C． D．【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即,故选D.3.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则( )A．3 B．1 C．1 D．3【解】选C.由函数奇偶性,联想转化:.4.的展开式中的系数是( )A．20 B．5 C．5 D．20【解】选A.二项式的通项为,令时,,故选A.5.已知命题若,则,命题若,则.在命题:输出S是否t<0?t=2t2+1S=t-3结束开始输入t中,真命题是( )A． B．C． D．【解】选C.显然真假,所以可知复合命题、正确,选C.6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于( )A. B．C． D．【解】选D. 由程序框图可知当时,运行程序如下,;当时,则;6正视图128侧视图俯视图综上可知,故选D.7.一块石材表示的几何体的三视图如图右所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A．1 B．2C．3 D．4【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(倒置:长为12、宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角三角形内切圆的半径,则,故选B.8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A． B． C． D． 【解】选D.设两年的年平均增长率为,则有,故选D.9.已知函数且,则函数的图象的一条对称轴是( )A． B． C． D．【解】选A.由得,,即, 可化为,即,可得, 也所以,经检验可知A选项符合.10.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是( )A． B． C． D．【解】选B.依题意在曲线取一点,则在曲线上存在一点与之对应(关于轴对称),所以在上有解,xyO 即,也即在上有解,由于分别为上增函数、减函数,于是结合图象易知,方程在上有解的充要条件为,即,选B.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线为参数)交于两点,且,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 的极坐标方程是 .【解】填.依题意曲线的普通方程为,ABCO设直线的方程为,因为弦长,所以圆心到直线的距离,所以圆心在直线上,故.12.如图右,已知是的两条弦,,ABDCO则的半径等于 .【解】填.设,易知,中由勾股定理可得,连接,则有 . 13.若关于的不等式的解集为,则 .【解】填 -3 .由题可得,故填. (二)必做题(14-16题)y4y=ky=xy=-2x+z4AxOBC14.若变量满足约束条件,且的最小值为6,则 .【解】填 -2 .如右图所示,,且可行域为三角形, 故当目标函数过点时,有最小值,yOACDEBFGx 即,即.15.如图右,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则 .【解】填.由条件可知在抛物线 上,代入点易得,又代入点得,,即, 可化为,得,又因为,所以,即求.16.在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,则xyACDEBDO1的最大值是 .【解】填.由知,动点在上, 设,则, 其几何意义为上动点与定点间距离的平方, 如右图所示,由平面几何知,.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲、乙两组的研发相互独立.()求至少有一种新产品研发成功的概率;()若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解】()记{甲组研发新产品成功},{乙组研发新产品成功}.由题设知 相互独立,且,又记事件 “至少有一种新产品研发成功”为, 则……………6分()记该企业可获利润为(万元),则的可能取值有0,100,120,220.0100120220 且易知; ; 故所求的分布列为(如右表所示):ACDB 且.………………………………12分18.(本小题满分12分)如图右,在平面四边形中,.()求的值;()若求的长.ACDB【解】()如图右,在中,由余弦定理,得 ……………5分()设,则, 因为, 且,所以, 同理, 于是, ,………………………………………10分 所以在中,由正弦定理有,即求.………………12分A1B1C1D1O1ACDBO19.(本小题满分12分)如图,四棱柱的所有棱长都相等,四边形和四边形均为矩形.()证明:底面;()若,求二面角的余弦值.A1B1HC1D1O1ACDBO【解】()证明:如图右,因为四边形为矩形,所以 ,同理, 因为,所以,而,因此 底面. 由题设知,故底面;………………6分()解法1 如图右,由()知底面, 所以底面,于是. 又由题设知四边形是菱形,所以,而,故平面,于是过点作于,连结则(三垂线定理),故是二面角的平面角.不妨设,因为,所以,在中,,而,于是, 故中,有,A1B1zHC1D1O1ACDyBOx 即二面角的余弦值为.……………………………………………12分解法2 由题设知四边形是菱形,所以, 又()已证底面,从而两 两垂直,如图右,以为原点,所在直线分 别分轴,轴,轴,建立空间直角坐标系. 不妨设,因为,所以, 于是相关各点的坐标为, 易知是平面的一个法向量.设是平面一个法向量, 则,即 ,令,则,故, 设二面角的大小为,由图可知为锐角,于是 , 故二面角的余弦值为.……………………………………………12分20.(本小题满分13分)已知数列满足()若是递增数列,且成等差数列,求的值;()若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.【解】()因为是递增数列,所以,而, 因为,又成等差数列, 所以,因而,解得或, 当时,,这与是递增数列矛盾.故;………………………………6分()由于是递增数列,因而,于是,…… 而,…… 由知,,即,…… 因为是递减数列,同理可得,故…… 由即知,, 所以 , 又当时,也适合上式,故.………………………13分21.(本小题满分13分)OF3AxyF2BF1F4MQP如图右,为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为;双曲线的左、右焦点分别为,离心率为.已知且()求的方程;()过作的不垂直于轴的弦为的中点.当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.【解】()因为OF3AxyF2BF1F4MdQP所以, 得,从而,于是,即,故的方程分别为.………5分()由()易知,依题意设,, 由,得,显然恒成立, 所以, 故,于是的中点, 故直线的斜率为,即直线,即, 由得,即, 由双曲线的对称性易, 由为的中点,显然到直线的距离相等, 即,所以, 又因为在直线的两侧,故, 于是, 又因为,即, 故四边形的面积为, 由,故当时,有最小值2,综上所述,四边形面积的最小值为2.……………………………………………13分22.(本小题满分13分)已知常数,函数()讨论在区间上的单调性;()若存在两个极值点且求的取值范围.【解】()由,()当时,;当时,由得,(舍去), 且由于二次函数的图象是开口向上的抛物线,故易知: 当时,,当时,,综上所述,当时,在区间上单调递增; 当时,在区间上递减,在区间上递增.……6分()由()知,所以当时,,此时不存在极值点.当时,的两根为, 依题意是定义域上的两个极值点,故必有, 解得,结合二次函数的图象可知, 当时,分别是的极小值、极大值点.且. 而, 令,则, 于是,即在上递减,所以当时,,与的题意矛盾,舍去;当时,,符合题意.综上可知,要使则必须有,即为所求.……13分