2015年江苏高考数学试题及答案

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合AB中元素的个数为．2．（5分）（2015江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015江苏）已知向量=（2，1），=（1，2），若m+n=（9，8）（m，nR），则mn的值为．7．（5分）（2015江苏）不等式24的解集为．8．（5分）（2015江苏）已知tan=2，tan（+）=，则tan的值为．9．（5分）（2015江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015江苏）设数列{an}满足a1=1，且an+1an=n+1（nN*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y2=1右支上的一个动点，若点P到直线xy+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（akak+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015江苏）在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1CBC1=E．求证：（1）DE平面AA1C1C；（2）BC1AB1．17．（14分）（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，bR）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=ca（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（，3）（1，）（，+），求c的值．20．（16分）（2015江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d0）的等差数列．（1）证明：依次构成等比数列；（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015江苏）如图，在ABC中，AB=AC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D．求证：ABDAEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015江苏）已知x，yR，向量=是矩阵的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为2+2sin（）4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015江苏）解不等式x+|2x+3|2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015江苏）如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABC=BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（nN*），设Sn={（a，b）|a整除b或整除a，aX，BYn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）考点：并集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：求出AB，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则AB={1，2，3，4，5}；所以AB中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）考点：众数、中位数、平均数．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：复数求模．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）考点：伪代码．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I8，S=3，I=4满足条件I8，S=5，I=7满足条件I8，S=7，I=10不满足条件I8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）考点：平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，2），若m+n=（9，8）可得，解得m=2，n=5，mn=3．故答案为：3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）考点：指、对数不等式的解法．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2x2，求解即可．解答：解；24，x2x2，即x2x20，解得：1x2故答案为：（1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）考点：两角和与差的正切函数．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tan=2，tan（+）=，可知tan（+）==，即=，解得tan=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）考点：圆的标准方程；圆的切线方程．菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==，m=1时，圆的半径最大为，所求圆的标准方程为（x1）2+y2=2．故答案为：（x1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）考点：数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：数列{an}满足a1=1，且an+1an=n+1（nN*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：数列{an}满足a1=1，且an+1an=n+1（nN*），当n2时，an=（anan1）+…+（a2a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，an=．=2．数列{}的前n项的和Sn===．数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2y2=1的渐近线方程为xy=0，c的最大值为直线xy+1=0与直线xy=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为xy=0，因为点P到直线xy+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线xy+1=0与直线xy=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）考点：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=f（x）1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=f（x）1．g（x）与h（x）=f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与（x）=f（x）1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）考点：数列的求和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，（akak+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+8223=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，ABBC，C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DEAC，即证DE平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1平面ABC，即证ACCC1；再证明AC平面BCC1B1，即证BC1AC；最后证明BC1平面B1AC，即可证出BC1AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DEAC；又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，因为AC平面ABC，所以ACCC1；又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1=C，所以AC平面BCC1B1；又因为BC1平面平面BCC1B1，所以BC1AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1平面B1AC；又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）考点：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）由（1）y=（5x20），P（t，），y=，切线l的方程为y=（xt）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），f（t）==，t[5，20]；设g（t）=，则g（t）=2t=0，解得t=10，t（5，10）时，g（t）0，g（t）是减函数；t（10，20）时，g（t）0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，g（t）min=300，f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．菁优网版权所有专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当ABx轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x24k2x+2（k21）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|==，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k0，故PC：y+=（x），P（2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=1，此时AB的方程为y=x1或y=x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．菁优网版权所有专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（）=b（+b）0，进一步转化为a0时，a+c0或a0时，a+c0．设g（a）=a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）f（x）=x3+ax2+b，f（x）=3x2+2ax，令f（x）=0，可得x=0或．a=0时，f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增；a0时，x（，）（0，+）时，f（x）0，x（，0）时，f（x）0，函数f（x）在（，），（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减；a0时，x（，0）（，+）时，f（x）0，x（0，）时，f（x）0，函数f（x）在（，0），（，+）上单调递增，在（0，）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（）=b（+b）0，b=ca，a0时，a+c0或a0时，a+c0．设g（a）=a+c，函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（，3）（1，）（，+），在（，3）上，g（a）0且在（1，）（，+）上g（a）0均恒成立，g（3）=c10，且g（）=c10，c=1，此时f（x）=x3+ax2+1a=（x+1）[x2+（a1）x+1a]，函数有三个零点，x2+（a1）x+1a=0有两个异于1的不等实根，=（a1）24（1a）0，且（1）2（a1）+1a0，解得a（，3）（1，）（，+），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）考点：等比关系的确定；等比数列的性质．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为ad，a，a+d，a+2d（ad，a2d，d0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（ad）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（t1，t0），化简得t3+2t22=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=，显然t=不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t，t0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）ln（1+t）]=n[2ln（1+t）ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）ln（1+t）]=n[3ln（1+t）ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令（t）=（1+3t）2ln（1+3t）3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令1（t）=（t），则1（t）=6[3ln（1+3t）4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令2（t）=1（t），则2（t）=0，由g（0）=（0）=1（0）=2（0）=0，2（t）0，知g（t），（t），1（t），2（t）在（，0）和（0，+）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）考点：相似三角形的判定．菁优网版权所有专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：AB=AC，ABD=C，又C=E，ABD=E，又BAE是公共角，可知：ABDAEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）考点：特征值与特征向量的计算．菁优网版权所有专题：矩阵和变换．分析：利用A=2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=2，即==，则，即，矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（）=（+2）（1），矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015江苏）考点：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=cos，y=sin，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为2+2sin（）4=0，可得22cos+2sin4=0，化为直角坐标方程为x2+y22x+2y4=0，化为标准方程为（x1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=cos，y=sin，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015江苏）考点：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|g（x）f（x）g（x），或f（x）g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x”“x”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|2变形为|2x+3|2x，得2x+32x，或2x+3（2x），即x，或x5，即原不等式的解集为{x|x，或x5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．当x时，原不等式化为x+（2x+3）2，即x，所以x；x时，原不等式化为x（2x+3）2，即x5，所以x5．综上，原不等式的解集为{x|x，或x5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|g（x）f（x）g（x），或f（x）g（x）；|f（x）|g（x）g（x）f（x）g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系Axyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2，，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系Axyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）AD平面PAB，=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，=（1，1，2），=（0，2，2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），cos，==，平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）=（1，0，2），设==（，0，2）（01），又=（0，1，0），则=+=（，1，2），又=（0，2，2），从而cos，==，设1+2=t，t[1，3]，则cos2，==，当且仅当t=，即=时，|cos，|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又BP==，BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）考点：数学归纳法．菁优网版权所有专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；假设n=k（k6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．