2015年江苏高考数学试题及答案

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2015江苏高考数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2015江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合AB中元素的个数为.2.(5分)(2015江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为.3.(5分)(2015江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.4.(5分)(2015江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为.5.(5分)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.6.(5分)(2015江苏)已知向量=(2,1),=(1,2),若m+n=(9,8)(m,nR),则mn的值为.7.(5分)(2015江苏)不等式24的解集为.8.(5分)(2015江苏)已知tan=2,tan(+)=,则tan的值为.9.(5分)(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.10.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.11.(5分)(2015江苏)设数列{an}满足a1=1,且an+1an=n+1(nN*),则数列{}的前10项的和为.12.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2y2=1右支上的一个动点,若点P到直线xy+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.13.(5分)(2015江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.14.(5分)(2015江苏)设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(akak+1)的值为.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015江苏)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.16.(14分)(2015江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1CBC1=E.求证:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.17.(14分)(2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.18.(16分)(2015江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.19.(16分)(2015江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,bR).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=ca(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(,3)(1,)(,+),求c的值.20.(16分)(2015江苏)设a1,a2,a3.a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(1)证明:依次构成等比数列;(2)是否存在,使得依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在及正整数,使得依次构成等比数列?并说明理由。三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2015江苏)如图,在ABC中,AB=AC,ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证:ABDAEB.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2015江苏)已知x,yR,向量=是矩阵的属于特征值2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2+2sin()4=0,求圆C的半径.[选修4-5:不等式选讲】24.(2015江苏)解不等式x+|2x+3|2.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(2015江苏)如图,在四棱锥PABCD中,已知PA平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,ABC=BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.26.(10分)(2015江苏)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n)(nN*),设Sn={(a,b)|a整除b或整除a,aX,BYn},令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)考点:并集及其运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:求出AB,再明确元素个数解答:解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则AB={1,2,3,4,5};所以AB中元素的个数为5;故答案为:5点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题2.(5分)考点:众数、中位数、平均数.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:直接求解数据的平均数即可.解答:解:数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为:=6.故答案为:6.点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.3.(5分)考点:复数求模.菁优网版权所有专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.解答:解:复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|==5,|z|=.故答案为:.点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.4.(5分)考点:伪代码.菁优网版权所有专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I8,退出循环,输出S的值为7.解答:解:模拟执行程序,可得S=1,I=1满足条件I8,S=3,I=4满足条件I8,S=5,I=7满足条件I8,S=7,I=10不满足条件I8,退出循环,输出S的值为7.故答案为:7.点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5.(5分)考点:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解答:解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是P=.故答案为:.点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.6.(5分)考点:平面向量的基本定理及其意义.菁优网版权所有专题:平面向量及应用.分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可.解答:解:向量=(2,1),=(1,2),若m+n=(9,8)可得,解得m=2,n=5,mn=3.故答案为:3.点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.7.(5分)考点:指、对数不等式的解法.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的单调性转化为x2x2,求解即可.解答:解;24,x2x2,即x2x20,解得:1x2故答案为:(1,2)点评:本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.8.(5分)考点:两角和与差的正切函数.菁优网版权所有专题:三角函数的求值.分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可.解答:解:tan=2,tan(+)=,可知tan(+)==,即=,解得tan=3.故答案为:3.点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.9.(5分)考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r.解答:解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:.设新圆锥和圆柱的底面半径为r,则新圆锥和圆柱的体积和为:.,解得:.故答案为:.点评:本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.10.(5分)考点:圆的标准方程;圆的切线方程.菁优网版权所有专题:计算题;直线与圆.分析:求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.解答:解:圆心到直线的距离d==,m=1时,圆的半径最大为,所求圆的标准方程为(x1)2+y2=2.故答案为:(x1)2+y2=2.点评:本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.11.(5分)考点:数列的求和;数列递推式.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列.分析:数列{an}满足a1=1,且an+1an=n+1(nN*),利用“累加求和”可得an=.再利用“裂项求和”即可得出.解答:解:数列{an}满足a1=1,且an+1an=n+1(nN*),当n2时,an=(anan1)+…+(a2a1)+a1=+n+…+2+1=.当n=1时,上式也成立,an=.=2.数列{}的前n项的和Sn===.数列{}的前10项的和为.故答案为:.点评:本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)考点:双曲线的简单性质.菁优网版权所有专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线x2y2=1的渐近线方程为xy=0,c的最大值为直线xy+1=0与直线xy=0的距离.解答:解:由题意,双曲线x2y2=1的渐近线方程为xy=0,因为点P到直线xy+1=0的距离大于c恒成立,所以c的最大值为直线xy+1=0与直线xy=0的距离,即.故答案为:.点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.13.(5分)考点:根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有专题:综合题;函数的性质及应用.分析::由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=f(x)1,分别作出函数的图象,即可得出结论.解答:解:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=f(x)1.g(x)与h(x)=f(x)+1的图象如图所示,图象有两个交点;g(x)与(x)=f(x)1的图象如图所示,图象有两个交点;所以方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.故答案为:4.点评:本题考查求方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.14.(5分)考点:数列的求和.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用.分析:利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.解答:解:=+=++++=++=++,(akak+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0=.故答案为:9.点评:本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)考点:余弦定理的应用;二倍角的正弦.菁优网版权所有专题:解三角形.分析:(1)直接利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.解答:解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+8223=7,所以BC=.(2)由正弦定理可得:,则sinC===,ABBC,C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2=.点评:本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.16.(14分)考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.菁优网版权所有专题:证明题;空间位置关系与距离.分析:(1)根据中位线定理得DEAC,即证DE平面AA1C1C;(2)先由直三棱柱得出CC1平面ABC,即证ACCC1;再证明AC平面BCC1B1,即证BC1AC;最后证明BC1平面B1AC,即可证出BC1AB1.解答:证明:(1)根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DEAC;又因为DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C;(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC,因为AC平面ABC,所以ACCC1;又因为ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1;又因为BC1平面平面BCC1B1,所以BC1AC;因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,所以BC1平面B1AC;又因为AB1平面B1AC,所以BC1AB1.点评:本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.17.(14分)考点:函数与方程的综合运用.菁优网版权所有专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a,b的值;(2)求出切线l的方程,可得A,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;设g(t)=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l的长度最短,并求出最短长度.解答:解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,得,解得,(2)由(1)y=(5x20),P(t,),y=,切线l的方程为y=(xt)设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B(0,),f(t)==,t[5,20];设g(t)=,则g(t)=2t=0,解得t=10,t(5,10)时,g(t)0,g(t)是减函数;t(10,20)时,g(t)0,g(t)是增函数,从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,g(t)min=300,f(t)min=15,答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.18.(16分)考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.菁优网版权所有专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.解答:解:(1)由题意可得,e==,且c+=3,解得c=1,a=,则b=1,即有椭圆方程为+y2=1;(2)当ABx轴,AB=,CP=3,不合题意;当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k(x1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x24k2x+2(k21)=0,则x1+x2=,x1x2=,则C(,),且|AB|==,若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;则k0,故PC:y+=(x),P(2,),从而|PC|=,由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=1,此时AB的方程为y=x1或y=x+1.点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.19.(16分)考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.菁优网版权所有专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f(x)的单调性;(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f()=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f()=b(+b)0,进一步转化为a0时,a+c0或a0时,a+c0.设g(a)=a+c,利用条件即可求c的值.解答:解:(1)f(x)=x3+ax2+b,f(x)=3x2+2ax,令f(x)=0,可得x=0或.a=0时,f(x)0,f(x)在(,+)上单调递增;a0时,x(,)(0,+)时,f(x)0,x(,0)时,f(x)0,函数f(x)在(,),(0,+)上单调递增,在(,0)上单调递减;a0时,x(,0)(,+)时,f(x)0,x(0,)时,f(x)0,函数f(x)在(,0),(,+)上单调递增,在(0,)上单调递减;(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f()=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f()=b(+b)0,b=ca,a0时,a+c0或a0时,a+c0.设g(a)=a+c,函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(,3)(1,)(,+),在(,3)上,g(a)0且在(1,)(,+)上g(a)0均恒成立,g(3)=c10,且g()=c10,c=1,此时f(x)=x3+ax2+1a=(x+1)[x2+(a1)x+1a],函数有三个零点,x2+(a1)x+1a=0有两个异于1的不等实根,=(a1)24(1a)0,且(1)2(a1)+1a0,解得a(,3)(1,)(,+),综上c=1.点评:本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.20.(16分)考点:等比关系的确定;等比数列的性质.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列.分析:(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明;(2)利用反证法,假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,推出矛盾,否定假设,得到结论;(3)利用反证法,假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,得到a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点存在定理,推出假设不成立.解答:解:(1)证明:==2d,(n=1,2,3,)是同一个常数,2,2,2,2依次构成等比数列;(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为ad,a,a+d,a+2d(ad,a2d,d0)假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,则a4=(ad)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4,令t=,则1=(1t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(t1,t0),化简得t3+2t22=0(*),且t2=t+1,将t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=,显然t=不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列.(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,则a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),分别在两个等式的两边同除以=a12(n+k),a12(n+2k),并令t=,(t,t0),则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k),将上述两个等式取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t),化简得,2k[ln(1+2t)ln(1+t)]=n[2ln(1+t)ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)ln(1+t)]=n[3ln(1+t)ln(1+3t)],再将这两式相除,化简得,ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**)令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t),则g(t)=[(1+3t)2ln(1+3t)3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)],令(t)=(1+3t)2ln(1+3t)3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)2(1+2t)ln(1+2t)+3(1+t)ln(1+t)],令1(t)=(t),则1(t)=6[3ln(1+3t)4ln(1+2t)+ln(1+t)],令2(t)=1(t),则2(t)=0,由g(0)=(0)=1(0)=2(0)=0,2(t)0,知g(t),(t),1(t),2(t)在(,0)和(0,+)上均单调,故g(t)只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列.点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)考点:相似三角形的判定.菁优网版权所有专题:推理和证明.分析:直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.解答:证明:AB=AC,ABD=C,又C=E,ABD=E,又BAE是公共角,可知:ABDAEB.点评:本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)考点:特征值与特征向量的计算.菁优网版权所有专题:矩阵和变换.分析:利用A=2,可得A=,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.解答:解:由已知,可得A=2,即==,则,即,矩阵A=,从而矩阵A的特征多项式f()=(+2)(1),矩阵A的另一个特征值为1.点评:本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015江苏)考点:简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有专题:计算题;坐标系和参数方程.分析:先根据x=cos,y=sin,求出圆的直角坐标方程,求出半径.解答:解:圆的极坐标方程为2+2sin()4=0,可得22cos+2sin4=0,化为直角坐标方程为x2+y22x+2y4=0,化为标准方程为(x1)2+(y+1)2=6,圆的半径r=.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=cos,y=sin,比较基础,[选修4-5:不等式选讲】24.(2015江苏)考点:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有专题:不等式.分析:思路1(公式法):利用|f(x)|g(x)f(x)g(x),或f(x)g(x);思路2(零点分段法):对x的值分“x”“x”进行讨论求解.解答:解法1:x+|2x+3|2变形为|2x+3|2x,得2x+32x,或2x+3(2x),即x,或x5,即原不等式的解集为{x|x,或x5}.解法2:令|2x+3|=0,得x=.当x时,原不等式化为x+(2x+3)2,即x,所以x;x时,原不等式化为x(2x+3)2,即x5,所以x5.综上,原不等式的解集为{x|x,或x5}.点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|f(x)|g(x)f(x)g(x),或f(x)g(x);|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(考点:二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系Axyz.(1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;(2)利用换元法可得cos2,,结合函数y=cosx在(0,)上的单调性,计算即得结论.解答:解:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系Axyz如图,由题可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)AD平面PAB,=(0,2,0),是平面PAB的一个法向量,=(1,1,2),=(0,2,2),设平面PCD的法向量为=(x,y,z),由,得,取y=1,得=(1,1,1),cos,==,平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为;(2)=(1,0,2),设==(,0,2)(01),又=(0,1,0),则=+=(,1,2),又=(0,2,2),从而cos,==,设1+2=t,t[1,3],则cos2,==,当且仅当t=,即=时,|cos,|的最大值为,因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又BP==,BQ=BP=.点评:本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.26.(10分)考点:数学归纳法.菁优网版权所有专题:综合题;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)f(6)=6+2++=13;(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.解答:解:(1)f(6)=6+2++=13;(2)当n6时,f(n)=.下面用数学归纳法证明:n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;假设n=k(k6)时,结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立.综上所述,结论对满足n6的自然数n均成立.点评:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.

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