2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学一、选择题1．已知集合M{x|4解析N{x|21，c0.20.3(0,1)，a0，排除C；f(1) QUOTE ，且sin 1>cos 1，f(1)>1，排除B，故选D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE 答案A解析由6个爻组成的重卦种数为2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为 QUOTE QUOTE 20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P QUOTE QUOTE .故选A.7．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE 答案B解析设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a||b|cos |b|2，又|a|2|b|，cos QUOTE ，[0，]， QUOTE ，故选B.8．如图是求 QUOTE 的程序框图，图中空白框中应填入()A．A QUOTE B．A2 QUOTE C．A QUOTE D．A1 QUOTE 答案A解析A QUOTE ，k1,12成立，执行循环体；A QUOTE ，k2,22成立，执行循环体；A QUOTE ，k3,32不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A QUOTE .故选A.9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则()A．an2n5 B．an3n10C．Sn2n28n D．Sn QUOTE n22n答案A解析设等差数列{an}的公差为d， QUOTE QUOTE 解得 QUOTE ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1 QUOTE dn24n.故选A.10．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为()A. QUOTE y21 B. QUOTE QUOTE 1C. QUOTE QUOTE 1 D. QUOTE QUOTE 1答案B解析由题意设椭圆的方程为 QUOTE QUOTE 1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m QUOTE ，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令OAF2(O为坐标原点)，则sin QUOTE QUOTE .在等腰三角形ABF1中，cos 2 QUOTE QUOTE ，因为cos 212sin2，所以 QUOTE 12 QUOTE 2，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为 QUOTE QUOTE 1，故选B.11．关于函数f(x)sin|x||sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间 QUOTE 上单调递增；f(x)在[，]上有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A． B． C． D．答案C解析f(x)sin|x||sin(x)|sin|x||sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当 QUOTE0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 QUOTE QUOTE ， QUOTE QUOTE 0，则C的离心率为________．答案2解析因为eq \o(F1B,\s\up6())eq \o(F2B,\s\up6())0，所以F1BF2B，如图．因为 QUOTE QUOTE ，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，所以|OF1||OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBOF2 QUOTE ，tanBF1O QUOTE .因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以 QUOTE QUOTE ，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e QUOTE 2.三、解答题17．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若 QUOTE ab2c，求sin C.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A QUOTE QUOTE ，因为00，得t< QUOTE ，则x1x2 QUOTE .从而 QUOTE QUOTE ，得t QUOTE .所以l的方程为y QUOTE x QUOTE .(2)由 QUOTE 3 QUOTE 可得y13y2，由 QUOTE 可得y22y2t0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13，代入C的方程得x13，x2 QUOTE ，即A(3,3)，B QUOTE ，故|AB| QUOTE .20．已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数，证明：(1)f(x)的区间 QUOTE 上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．证明(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x QUOTE ，g(x)sin x QUOTE .当x QUOTE 时，g(x)单调递减，而g(0)>0，g QUOTE<0，可得g(x)在 QUOTE 有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)>0；当x QUOTE 时，g(x)<0.所以g(x)在(1，)上单调递增，在 QUOTE 上单调递减，故g(x)在 QUOTE 上存在唯一极大值点，即f(x)在 QUOTE 上存在唯一极大值点．(2)f(x)的定义域为(1，)．当x(1,0]时，由(1)知，f(x)在(1,0)上单调递增．而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)<0，故f(x)在(1,0)上单调递减．又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0]上的唯一零点；当x QUOTE 时，由(1)知，f(x)在(0，)上单调递增，在 QUOTE 上单调递减，而f(0)0，f QUOTE<0，所以存在 QUOTE ，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)>0；当x QUOTE 时，f(x)<0.故f(x)在(0，)上单调递增，在 QUOTE 上单调递减．又f(0)0，f QUOTE 1ln QUOTE >0，所以当x QUOTE 时，f(x)>0.从而，f(x)在 QUOTE 上没有零点；当x QUOTE 时，f(x)<0，所以f(x)在 QUOTE 上单调递减．而f QUOTE >0，f()<0，所以f(x)在 QUOTE 上有唯一零点；当x(，)时，ln(x1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(，)上没有零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，…，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8.()证明：{pi1pi}(i0,1,2，…，7)为等比数列；()求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．(1)解X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)．所以X的分布列为 (2)()证明由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)．又因为p1p0p10，所以{pi1pi}(i0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．()解由()可得p8p8p7p7p6…p1p0p0(p8p7)(p7p6)…(p1p0) QUOTE p1.由于p81，故p1 QUOTE ，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0) QUOTE p1 QUOTE .p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4 QUOTE 0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．22．[选修44：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 QUOTE (t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos QUOTE sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解(1)因为1< QUOTE 1，且x2 QUOTE 2 QUOTE 2 QUOTE 1，所以C的直角坐标方程为x2 QUOTE 1(x1)．l的直角坐标方程为2x QUOTE y110.(2)由(1)可设C的参数方程为 QUOTE (为参数，<<)．C上的点到l的距离为 QUOTE QUOTE .当 QUOTE 时，4cos QUOTE 11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为 QUOTE .23．[选修45：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1) QUOTE QUOTE QUOTE a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbcca QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE .所以 QUOTE QUOTE QUOTE a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)33 QUOTE 3(ab)(bc)(ac)3(2 QUOTE )(2 QUOTE )(2 QUOTE )24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.