本试卷共 10 页，19 小题，满分 150 分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
z =
1. 已知 z = -1 - i ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
2. 已知命题 p： x R ，|x + 1| >1 ；命题 q： $x >0 ， x3 = x ，则（ ）
A. p 和 q 都是真命题 B. p 和 q 都是真命题
C. p 和 q 都是真命题 D. p 和 q 都是真命题
r r r r r r r r r
3. 已知向量 a, b 满足 a=1, a + 2 b = 2 ，且 b-2 a ^ b ，则 b = （ ）
1 2 3
A. B. C. D. 1
2 2 2
4. 某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并
部分整理下表
亩产 [900， [950， [1000， [1100， [1150，
量 950） 1000） 1050） 1150） 1200）
频数 6 12 18 24 10
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A. 100 块稻田亩产量的中位数小于 1050kg
获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源
B. 100 块稻田中亩产量低于 1100kg的稻田所占比例超过 80%
C. 100 块稻田亩产量的极差介于 200kg 至 300kg 之间
D. 100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 至 1000kg 之间
5. 已知曲线 C： x2+ y 2 =16 （ y >0 ），从 C 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP ， P 为垂足，则线段 PP
的中点 M 的轨迹方程为（ ）
x2 y 2 x2 y2
A. + =1（ y >0 ） B. + =1（ y >0 ）
16 4 16 8
y2 x 2 y2 x2
C. + =1（ y >0 ） D. + =1（ y >0 ）
16 4 16 8
6. 设函数 f( x )= a ( x + 1)2 - 1， g( x )= cos x + 2 ax ，当 x (-1,1) 时，曲线 y= f() x 与 y= g() x 恰有一个
交点，则 a = （ ）
1
A. -1 B. C. 1 D. 2
2
52
7. 已知正三棱台 ABC- A B C 的体积为 ， AB = 6 ， AB = 2 ，则 AA 与平面 ABC 所成角的正切值为
1 1 1 3 1 1 1
（ ）
1
A. B. 1 C. 2 D. 3
2
8. 设函数 f( x )= ( x + a )ln( x + b ) ，若 f( x ) 0 ，则 a2+ b 2 的最小值为（ ）
1 1 1
A. B. C. D. 1
8 4 2
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 对于函数 f( x )= sin 2 x 和 g( x )= sin(2 x - ) ，下列正确的有（ ）
4
A. f() x 与 g() x 有相同零点 B. f() x 与 g() x 有相同最大值
C. f() x 与 g() x 有相同的最小正周期 D. f() x 与 g() x 的图像有相同的对称轴
10. 抛物线 C： y2 = 4 x 的准线为 l，P 为 C 上的动点，过 P 作A: x2 + (y - 4)2 =1的一条切线，Q 为切点，
过 P 作 l 的垂线，垂足为 B，则（ ）
A. l 与 eA 相切
B. 当 P，A，B 三点共线时，|PQ |= 15
C. 当|PB |= 2 时， PA^ AB
D. 满足|PA |= | PB |的点 P 有且仅有 2 个
11. 设函数 f( x )= 2 x3 - 3 ax 2 + 1，则（ ）
A. 当 a >1 时， f() x 有三个零点
B. 当 a< 0 时， x = 0 是 f() x 的极大值点
C. 存在 a，b，使得 x= b 为曲线 y= f() x 的对称轴
D. 存在 a，使得点 1,f 1 为曲线 y= f() x 的对称中心
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 记 Sn 为等差数列{}an 的前 n 项和，若 a3+ a 4 = 7 ， 3a2+ a 5 = 5 ，则 S10 = ________.
13. 已知a 为第一象限角， b 为第三象限角， tana+ tan b = 4 ， tana tan b = 2 + 1，则 sin(a+ b ) =
_______.
14. 在如图的 44 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，
在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinAA+ 3 cos = 2 ．
（1）求 A．
（2）若 a = 2 ， 2bsin C = csin 2B ，求 VABC 的周长．
16. 已知函数 f( x )= ex - ax - a3 ．
（1）当 a =1时，求曲线 y= f() x 在点 1,f (1) 处的切线方程；
（2）若 f() x 有极小值，且极小值小于 0，求 a 的取值范围．
17. 如图，平面四边形 ABCD 中， AB = 8 ， CD = 3 ， AD = 5 3 ， ADC = 90 ， BAD = 30 ，点 E，
r 2 r r1 r
F 满足 AE = AD ， AF= AB ，将AEF 沿 EF 对折至 PEF ，使得 PC = 4 3 ．
5 2 !
（1）证明： EF^ PD ；
（2）求面 PCD 与面 PBF 所成的二面角的正弦值．
18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名
队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶
段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总
和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 p，乙每次投中的概率为 q，各次投中与否相
互独立．
（1）若 p = 0.4 ， q = 0.5 ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的 比赛成绩不少于 5 分的概率．
（2）假设 0 （i）为使得甲、乙所在队的 比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 2 2 19. 已知双曲线 C: x- y = m m >0 ，点 P1 5,4 在 C 上， k 为常数， 0 的 y 造点 Pn n = 2,3,... ，过 Pn-1 作斜率为 k 直线与 C 的左支交于点 Qn-1 ，令 Pn 为 Qn-1 关于 轴的对称点， 记 Pn 的坐标为 xn, y n . 1 （1）若 k = ，求 x, y ； 2 2 2 1+ k （2）证明：数列x- y 是公比为 的等比数列； n n 1- k 的 n （3）设 Sn 为VPPPn n+1 n + 2 面积，证明：对任意的正整数 ， SSn= n+1 .