数学
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共6页，20小题．试卷满分150
分，考试用时120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．祝各位考生考试顺利！
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答
题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．内相应位置上；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答
案无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域第卷（选
择题共45分）
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
U=-2,-1,0,1,2A2,1B1,0,1AB
1.设全集{}，，则U（）
A.2,1B.0,1C.1,0D.2,1,0,1
2.设xR，则“x2x0”是“x12”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
0.20.1
3.已知alog20.8，b2，c0.2，则（）
A.bcaB.cbaC.bacD.acb
sinx
4.函数f(x)的部分图像大致为（）
|x|1
A.B.
C.D.
5.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
242
A.f(x)=cos2xB.f(x)=sin2x
C.f(x)=cosxD.f(x)=sinx
6.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1，则a5（）
A.32B.16C.16D.32
7.观察下列关于两个变量x和y的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为
A.正相关、负相关、不相关B.负相关、不相关、正相关
C.负相关、正相关、不相关D.正相关、不相关、负相关
8.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥
DABC体积的最大值为（）
A.243B.183C.123D.63
x2y2
9.双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F,F，以F为圆心，FF为半径的圆与C的左
a2b212112
支的一个公共点为P，若原点O到直线PF2的距离等于实半轴的长，则双曲线C的离心率为（）
5556
AB.C.D.
.3422
第卷（非选择题共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10.已知23iz514i（i为虚数单位），则z________．
6
13
11.2x的展开式中x的系数为________．
x
12.一条倾斜角为的直线经过抛物线x24y的焦点，且该直线与圆x2y22y30相交于，B两点，
4
则AB________．
13.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257，在不超过18的素数2，
3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是________．
14.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值是________；DEDC的最
大值____________.
ax2x1
15.已知函数fx，函数gx2acos2x2asinx，若x11,．x20,，
x23
不等式fx1gx2成立，则实数a的取值范围为________．
三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23
16.在ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且b2bcsinAc2a2.
3
（1）求角A的大小；
（2）若b2,c3,求a和sin2BA的值.
17.如图，在四棱锥PABCD中，PD2AD4，PDCD，PDAD，底面ABCD为正方形，
M、N分别为AD、PD的中点．
（1）证明：PA//平面MNC；
（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（3）求平面MNC与平面CDN的夹角的余弦值．
x2y21
18.已知椭圆C:1(ab0)的离心率e，直线xy60与圆x2y2b2相切.
a2b22
（1）求椭圆的方程；
4
（2）过点N(4,0)的直线l与椭圆交于不同两点，线段A,B的中垂线为l，若l在y轴上的截距为，求
13
直线l的方程.
2*
19.各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足a24,an16Sn9n1,nN．各项均为正数
的等比数列bn满足b1a1,b3a2．
（1）求证an为等差数列并求数列an、bn的通项公式；
（2）若cn(3n2)bn,数列cn的前n项和Tn．
求Tn；
*2
若对任意n2,nN,均有Tn5m6n31n35恒成立，求实数m的取值范围．
a
20已知函数fxx2lnxaR．
.x
（1）当a1时，求曲线fx在x2处切线的斜率；
（2）讨论函数fx的单调性；
（3）若fx有两个极值点x1,x2x1x2，且fx1fx2mx1x2恒成立，求实数m的取值范
围．
北辰区2024届高三第一次联考试卷
数学
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共6页，20小题．试卷满分150
分，考试用时120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．祝各位考生考试顺利！
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答
题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．内相应位置上；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答
案无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域第卷（选
择题共45分）
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
第卷（非选择题共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
【10题答案】
【答案】4i##i+4
【11题答案】
【答案】240
【12题答案】
【答案】22
【13题答案】
2
【答案】
21
【14题答案】
【答案】11
,
【15题答案】
7
【答案】a
8
三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【16题答案】
33
【答案】（1）；（2）a7，
314.
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
1
（2）；
6
6
（3）.
3
【18题答案】
x2y2
【答案】（1）1（2）x4y40
43
【19题答案】
3
【答案】（1）a3n2,b2n1（2）T3n52n5;m
nnn32
【20题答案】
1
【答案】（1）
4
（2）见解析（3）m0