数学
命题人：张连吉 审题人：赵宇
考试时间：120 分钟；满分：150分 .
本试卷分为第I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.
第卷（选择题，共 60分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合 A x 1 x 3 ， B x 0,1,2,3,4 ，则 （ ）
U A B
A. 2 B. 0,1, 3, 4 C. 0, 3, 4 D. 0,1, 2, 3, 4
2 i
2.已知 z ，则 z （ ）
1 i
10 3 2 5
A. B. C. D.2
2 2 2
1
3.已知向量 a 、 b 满足 a 2 ， b 5 ，且 a 与 b 夹角的余弦值为 ，则 a 2b 2a b （ ）
5
A.-36 B.-28 C. 3 3 D.12
4.某市物价部门对本市5 家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5 家商场这种商品的售价 x （单
位；元）与销售量 y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格 x 8 9.5 m 10.5 12
n
销售量 y 16 8 6 5
经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为 y 3.5x 44 ，且
m n 20 ，则 m （ ） .
A.12 B.11 C.10 D.9
3
8.已知 cos x ，则 sin 2 x （ ） .
4 5
18 18 7 7
A. B. C. D.
25 25 25 25
1 1 1 VAPQR
6.已知正四面体 ABCD 中， AP AB ， AQ AC ， AR AD ，则 （ ） .
2 3 4 VABCD
1 1 1 5
A. B. C. D.
6 12 24 24
1
7.已知 a 0.1 ， b ， c ln 1.1 ，则（ ） .
e 0.9
A. a b c B. b a c
C. c a b D. b c a
8.定义在 0, 上的函数 f x 满足：当 0 x 2 时， f x 2x x 2 ；当 x 2 时， f x 3 f x 2 .
记 函 数 f x 的极大值点从小到大依次为 a1,a2 ,,an , ， 并 记 相 应 的 极 大 值 为 b1,b2 ,,bn , ， 则
a1b1 a2b2 a20b20 的值为（ ） .
20 19
A. 193 1 B. 193 1
19 20
C. 203 1 D. 203 1
二、多选题：本大题共4 个小题，每个小题5 分，共 20分 .在每个小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分
9.设函数 f x ， g x 的定义域都为 R ，且 f x 是奇函数， g x 是偶函数，则下列结论正确的是
（ ） .
A. f x g x 是偶函数 B. f x g x 是奇函数
C. f x g x 是奇函数 D. f x g x 是偶函数
10.在 A B C 中，内角A 、B、C 所对的边分别为a ，b，c，则下列说法正确的是（ ） .
A. a b cos C c cos B
AB AC AB AC 1
B.若 BC 0 ，且 ，则 A B C 为等边三角形
AB AC AB AC 2
C.若 sin 2 A sin 2 B ，则 A B C 是等腰三角形
D.若 a 2 3 ， b 4 ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 A0,
3
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 A 、 B 的距离之比为定值 0, 1 的点所形
成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系
PA 1
xOy 中， A 2, 0 ， B 4, 0 ，点 P 满足 ，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是
PB 2
（ ） .
2 2
A.曲线C 的方程为 x4 y 16
B.在C 上存在点D ，使得D 到点 1,1 的距离为 10
C.在C 上存在点M ，使得 MO 2 MA
D.C 上的点到直线 3x4y13 0 的最大距离为9
12.如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为2 ， P 为底面正方形 ABCD 内（含边界）的一动点，则下
列结论正确的是（ ） .
A.存在点 P ，使得 A1P 平面 B1CD1
B.三棱锥 B1 A1D1P 的体积为定值
当点 在棱 上时， 的最小值为
C. P CD PA PB1 2 2 2
3 5
D.若点 P 到直线 BB 与到直线 A D 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线 AE 的最短距离是
1 10
三、填空题：本大题共4 个小题，每个小题5 分，共 20分
6
1 4
13. 2x 的展开式中 x 的系数为________.
x
14.若直线 x y sin 2 0 R 的倾斜角的取值范围是___________.
15.若函数 f x e x 1 与 g x ax 的图像恰有一个公共点，则实数 a 的取值范围是________.
x2 y2
16.已知点 F ， F 分别是双曲线 C ： 1a 0,b 0 的左、右焦点，过点 F 的直线与双曲线的左、
1 2 a2 b2 1
右两支分别交于点 ， 若 是以 为顶角的等腰三角形，其中 ，则双曲线离
P Q. PQF2 PQF2 PQF2 ,
3
心率 e 的取值范围为_________.
四、解答题：本大题共6 个小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分 10 分）观察下面的图形及相应的点数，回答
（ ）写出图中点数构成的数列 的一个递推公式；并根据这个递推公式，求出数列 的通项公式；
1 an an
1 3
（ ）若 是数列 的前 项和，证明：
2 Sn n Sn .
an 4
18.（本小题满分 12 分）已知函数 f x 2 sinx ，其中 x R ， 0 ，函数 f x 图象上相邻的
4
两条对称轴之间的距离为 .
2
（1）求 f x 的解析式和单调递增区间；
（2）若将函数 f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，得
4
到函数 g x 的图象，求函数 $h x sin x cos x g x 在 0, 上的最大值.
2
19.（本小题满分 12 分）如图， PD 平 面 ABCD ， A D C D ， A B C D ， PQCD ，
AD CD DP 2PQ 2AB 2，点E ，F，M 分别为 AP ，CD ， BQ的中点.
（1）求证： EF 平面 CPM ；
（2）求平面 QPM 与平面 CPM 夹角的大小.
20.（本小题满分 12 分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛
毛虫旱地龙舟”和项目B “旋风接力跑”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个
比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3 局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率
2 1
为 ，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为 ，且每一局之间没有影响.
3 2
（1）求甲班在项目A 中获胜的概率；
（2）设甲班获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望.
x2 y2 3
21.（本小题满分 12 分）已知F 是椭圆 C ： 2 2 1a b 0 的右焦点，且 P1, 在椭圆C 上， PF
a b 2
垂直于x 轴 .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于 A 、B（异于点P ）两点，D 为直线l 上一点.设直线 PA ， PD ， PB 的斜率分
别为 k1 ， k2 ， k3 ，若 k1 k3 2k2 ，证明：点D 的横坐标为定值.
a
22.（本小题满分 12 分）关于函数 f x ln x .
x
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2 ）若 f x 在 1, a 处 的 切 线 垂 直 于 直 线 x y 0 ， 对 任 意 两 个 正 实 数 x1 ， x2 ， 且 x1 x2 ， 有
，求证：
f x1 f x2 x1 x2 2a .
参考答案
一、选择题
1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.C 7.B 8.A
二、多选题
9.CD 10.ABD 11.ACD 12.ABD
三、填空题
3
13.-192 14. , 15. , 0 1 16. 7,3
4 4
四、解答题
2
17.（1） an n 2n
（2）（方法：裂项相消）证明省略
18.（1） f x 2 sin 2x
4
2
（2） 1
2
19.（1）证明四边形 E F C M 为平行四边形即可
（2）面面角的大小为 60
20.（1）64/81
（2）209/162
x2 y2
21.（1） 1
4 3
（2） x 4
22.（1）分类讨论 a 的情况即可
（2）构造函数即可证明.