数学（理科）试题
时间：100 分钟 总分：150 分
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
3
A. 0,3 B=. 0|,1 ( +C2.)<12,2 = D.|0< ,<22 =
2. 体育老师为测试学生的身体素质，在体育课上收集了 10 位同学的铅球成绩，数据如下
（单位： m ）：9.80，9.70，9.55，9.54，9.35，9.42，9.41，9.48，9.30，9.25，则下列
结论错误的个数是（ ）
平均数为 9.48；中位数为 9.45；极差为 0.55.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
3. 已知复数 z 满足 z 1 i 1 2i ，则复数 z 的虚部为（ ）
3 3 3 3
A. B. i C. D. i
2 2 2 2
4. 折扇（图 1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，
2
又有雅趣．图 2 中的扇形 OCD 为一把折扇展开后的平面图，其中 COD ，
3
OC OD 1，设向量 m 3OC 2OD ， n 2OC kOD ，若 mn 11，则实数 k 的
值为（ ）
A. 14 B. 7 C.3 D. 1
理科数学 第 1页
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
x2 y2
5. 已知双曲线 C : 1的离心率大于 2 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
1 m 3 m
A. 1,3 B. 1,1 C. ,1 D. 0,1
6. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲在第一、第
1 1 1
二、第三局比赛中获胜的概率分别为 ， ， ，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
4 3 3
2 7 5 1
A. B. C. D.
9 36 36 9
y x(4 x)
7. 已知 x ， y 满足约束条件 ，则 z x y 的最大值是（ ）
x y 0
25
A. 0 B. 6 C. D.7
4
8. 已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，其准线与 x 轴的交点为 A ，点 P 在抛物线 C 上，
且 PA PF ，则 （ ）
5 1 2 =
A. B. 5 2 C. 5 1 D. 3 5
2
9. 已知数列 的前 项和 2 ，将数列 与数列 n1 的公共项从小到大排列
an n Sn n n an 2
得到数列bn ，Tn 为数列an bn 的前 n 项和，则满足 的正整数 n 的最大值为
（ ）< 2023
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.设函数 f x 的定义域为 R ， f x 1为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x1,2时，
f x ax2 b ，若 ，则 （ ）
17
(0) + 5(3) = 12 ( 2 ) =
A． 2 B． C． 4 D． 5
2
1
11. 设 f (x) ， 将 f (x) 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 ， 得 到 g(x) 的 图 像 ， 设
cos x 3
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{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
h(x) f (x) g(x) ， x , ，则 h(x) 的最大值为（ ）
12 4
6
A. 3 6 B. 2 6 C. 6 D.
2
1 1
1
12. 已知实数 满足： a 34 3 4 ,b ln3,c 4 2 3 ，则（ ）
2
, ,
A. B. C. D.
二、>填空>题（本题共4>小题>， 每小题 5 分>， >共20 分） >>
8
13. 已知 cos 3 sin ，则 cos ______.
5 3
3 2
14. 等差数列an中的 ， 是函数 f (x) x 6x 4x 1的极值点，则
1 2023
______.
1
1012
4 =
15. 已知在三棱锥 P ABC 中， PA BC 4 ， ， PA 平面 ABC ，则三棱锥
P ABC 的外接球表面积的最小值为______.
16. 若存在 ，使得关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围为__.
1 +
三、解答题（本[题1, +共 6 )小题，共 70分．解答(应1写+ 出 )文字说明、证明过程或演算步骤）
1
17．（12 分）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 cosC ,sin A 2 cos B.
3
（1）求 tan B 的值；
（2）若 c 5, 求 ABC 的面积.
18．（12 分）如图，三棱锥 A BCD 中， DA DB DC ，
BD CD ， ADB ADC 60 ，E 为 BC 的中点．
(1)证明： BC DA ；
(2)点 F 满足 EF DA ，求二面角 D AB F 的正弦值．
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19．(12 分) 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任
取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该
轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再
放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽
球试验的轮次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望；
(2)为验证抽样试验成功的概率不超过 1 ，有 1000 名数学爱好者独立的进行该抽球试验，
2
记 t 表示成功时抽球试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下表：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20
b
求 y 关于 t 的回归方程 y a ，并预测成功的总人数（四舍五入精确到 1）．
t
n
xi yi nx y
i1
附：经验回归方程系数： b n ， a y bx ；
2 2
xi nx
i1
5 1 1 5
2 2
参考数据： xi 1.46， x 0.46 ， x 0.212 （其中 xi ， x xi ）．
i1 ti 5 i1
x2 y2
20．（12 分）已知椭圆 E： 1(a>b>0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为 3的
a2 b2
3
三角形，且点(1, )在 E 上.
2
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)如图，设 F1，F2 是椭圆 E 的左、右焦点，椭圆 E 的一个内接平行四边形 ABCD 的一组对边
分别过点 F1 和 F2，求这个平行四边形的面积的取值范围．
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21．（12 分）已知函数 .
1 , 0
= 2
（1）设 g(x) xf (x) ，求 g(x) 的单 调+区2间；2 , >0
（2）求证：存在恰有 2 个切点的曲线 y f (x) 的切线．
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，每题 10 分，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22．（10 分）
2 t
x
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 6 （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，
y t
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ．
5
（1）求 C 的普通方程和l 的直角坐标方程； ( 6 ) = 0
（2）若l 与 C 有两个不同的交点，求实数 m 的取值范围．
【选修 4-5：不等式选讲】
23.（10 分）
已知函数 f x 2 x 2x m m 0 的图象关于直线 x 1 对称．
（1）求 f x 的最小值；
1 4
（2）设 a ， b 均为正数，且 a b m ，求 的最小值．
a b
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