2023-2024 学年上学期
东北师大附中 数学学科试卷
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
A x Zx2 2x 3 0
1. 已知集合 ，则集合 A 的子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
2. 设 1 i z 21 i ，则 z （ ）
2
A. B. 1 C. 2 D. 2
2
3. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产
1 2
物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段 , ，记
3 3
1 2
为第一次操作；再将剩下的两个区间 0, , ,1 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二
3 3
次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉
中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间
9
长度之和不小于 ，则需要操作的次数 n 的最小值为（参考数据： lg 2 0.3010,lg3 0.4771）（ ）
10
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
4. 命题“ x R, x2 2x 3 0 ”的否定是（ ）
A. x R, x2 2x 3 0 B. x R, x2 2x 3 0
C. x R, x2 2x 3 0 D. x R, x2 2x 3 0
5. 底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所
得棱台的体积为（ ）
A. 26 B. 28 C. 30 D. 32
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1 2
6. 已知 sin x ，则 cos 2x （ ）
6 3 3
7 2 2 7
A. B. C. D.
9 9 9 9
7. 已知函数 f x 及其导数 f x 的定义域均为 R ， f x 在 R 上单调递增， f 1 x 为奇函数，若
2a 3， 4b 5 ， 3c 4 ，则（ ）
A. f a f b f c B. f b f a f c
f b f c f a f c f b f a
C. D.
8. 若对任意实数 x 0, y 0 ，不等式 x xy a(x y) 恒成立，则实数 a 的最小值为（ ）
2 1 2 1
A. B. 2 1 C. 2 1 D.
2 2
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知 k Z ，则函数 f x xk 2x 2x 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
2
10. 已知函数 f (x) cosx ( 0) 在 , 上单调，且 f (x) 的图象关于点 ,0 对称，则
3 2 3
（ ）
A. f (x) 的最小正周期为 4
2 10
B. f f
9 9
4
C. 将 f (x) 的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为偶函数
3
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D. 函数 y 5 f (x) 4 在[0,]上有且仅有一个零点
11. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M , N 分别为棱 B1C1,CD 上的动点（包含端点），则下列说
法正确的是（ ）
A. 当 M 为棱 B1C1 的中点时，则在棱 CD 上存在点 N 使得 MN AC
B. 当 M , N 分别为棱 B1C1,CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面 A1MN 平行
C. 当 M , N 分别为棱 B1C1,CD 的中点时，过 A1, M , N 三点作正方体的截面，则截面为五边形
D. 三棱锥 D1 A1MN 的体积为定值
x
12. 已知曲线 f x e 在点 P x1, f x1 处的 切线和曲线 g x ln x 在点 Q x2 , g x2 处的切线互相
平行，则下列命题正确的有（ ）
A. x1 x2 有最大值是1 B. f x1 g x2 有最小值是 1
2 2
1 x1 x2 1
C. x1x2 有最小值是 D. 若 x1 0 ，则 有最大值为 e
e x1x2 e
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知 P2,1 是 终边上的一点，则 sin 2 _____________.
14. 在 ABC 中， AB 2, AC 4 ， P 是 ABC 的外心，则 AP BC 等于___________.
15. 已知两个等差数列 2，6，10，…，210 及 2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到
大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.
16. 正三棱锥 P ABC 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是 3，侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角
为 ，二面角 P- AB- C 的平面角为 .当该球的表面积最小时， tan ____________.
四、解答题：本题共 6 小题，第 17 小题 10 分，其余小题每题 12 分，共 70 分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
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17. 已知等差数列an 的公差为 2，前 n 项和为 Sn ，且 S1, S2 , S4 成等比数列.
（1）求数列an 的通项公式；
an
（2）求数列n2 的前 n 项和Tn .
2cosB C cos B cosC
18. 在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c .已知 .
bc ab ac
（1）求 A ；
（2） D 为 BC 边上一点， DA BA ，且 BD 3DC ，求 cosC .
19. 如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 都是矩形， D1D D1C 5 ，
AB 2BC 2 .
（1）求证： AD D1C ；
D P
（2）若点 P 的在线段 BD 上，且二面角 P CD B 的大小为 ，求 1 的值.
1 4 PB
20.
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6
1
局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 p( p ) ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停
2
5
止的概率为 ．
9
（1）求 p 的值；
（2）设 表示比赛停止时比赛的 局数，求随机变量 的分布列和数学期望 E ．
x2 y2
21. 已知双曲线 E : 1a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1 5,0, F2 5,0 ，渐近线方程为
a2 b2
1
y x .
2
（1）求 E 的方程；
（2）直线l 与 E 的左、右两支分别交于 M , N 两点（ M , N 在 x 轴的同侧），当 F1M //F2 N 时，求四边形
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F1F2 NM 面积的最小值.
22. 已知函数 f x asin x sin axa 0 .
（1）当 a 1, x 0 时，证明 f x 2x ；
（2）当 a 2 时，讨论 f x 的单调性；
（3）设 x 0 ，证明 eax 2 e ax f x .
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2023-2024 学年上学期
东北师大附中 数学学科试卷
高三年级 第三次摸底考试
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
A x Zx2 2x 3 0
1. 已知集合 ，则集合 A 的子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合 A 作答.
【详解】解不等式 x2 2x 3 0 ，得 1 x 3，因此 A x Z1 x 3 {0,1,2}，
所以集合 A 的子集个数为 23 8 .
故选：C
2. 设 1 i z 21 i ，则 z （ ）
2
A. B. 1 C. 2 D. 2
2
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算以及模长公式求解.
2
【详解】由 1 i z 21 i 可得 1 i1 i z 21 i ，
所以 z 1 i2 2i ，
故 z 2 ，
故选：D
3. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产
1 2
物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段 , ，记
3 3
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1 2
为第一次操作；再将剩下的两个区间 0, , ,1 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二
3 3
次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉
中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间
9
长度之和不小于 ，则需要操作的次数 n 的最小值为（参考数据： lg 2 0.3010,lg3 0.4771）（ ）
10
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】
2n1
【分析】先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第 n 次操作去掉的区间的长度和为 ，
3n
9
把 n 次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前 n 项和，求出前 n 项和 S ，再求解不等式 S
n n 10
即可．
1
【详解】第一次操作去掉的区间长度为 ；
3
1 2
第二次操作去掉两个长度为 的区间，长度和为 ；
9 9
1 4
第三次操作去掉四个长度为 的区间，长度和为 ；
27 27
，
1 2n1
第 n 次操作去掉 2n1 个长度为 的区间，长度和为 ，
3n 3n
1 2 n
n1 [1 ( ) ]
1 2 2 2
于是进行了 n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为 S 3 3 1 ( )n ，
n n 2
3 9 3 1 3
3
2 9
由题意知：1 ( )n ，解得： n 5.679 ，
3 10
又 n 为整数，
可得 n 的最小值为 6，
故选：A
4. 命题“ x R, x2 2x 3 0 ”的否定是（ ）
A. x R, x2 2x 3 0 B. x R, x2 2x 3 0
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C. x R, x2 2x 3 0 D. x R, x2 2x 3 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系得，
命题“ x R, x2 2x 3 0 ”的否定是“ x R, x2 2x 3 0 ”.
故选：D.
5. 底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所
得棱台的体积为（ ）
A. 26 B. 28 C. 30 D. 32
【答案】B
【解析】
1
【分析】用棱台的体积公式V h S S S S 求解，其中 h 为高， S , S 分别为上下底面积.
3 1 2 1 2 1 2
【详解】
设正四棱锥为 S ABCD ，截取的正四棱锥为 S A1B1C1D1 ， O1,O 分别为正四棱台 A1B1C1D1 ABCD 上
下底面的中心，如图.
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1 1
因为 AB 4, A B 2, ，所以 OA AB2 CD2 42 42 2 2 ， O A 2 ，
1 1 2 2 1 1
SO1 O1 A1 2 1
由于截面平行于底面得 ，又 SO1 3 ，所以 SO 6,OO1 3，
SO OA 2 2 2
所以正四棱台上下底面边长分别为 2,4 ，高为 3 ，
1
所以V 4 16 416 3 28 ，
3
故选：B
1 2
6. 已知 sin x ，则 cos 2x （ ）
6 3 3
7 2 2 7
A. B. C. D.
9 9 9 9
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
1
【详解】因为 sin x ，所以
6 3
2
2 2 2 1 7
cos 2x cos 2x cos 2x 1 2sin x 1 2 .
3 3 3 6 3 9
故选：A.
7. 已知函数 f x 及其导数 f x 的定义域均为 R ， f x 在 R 上单调递增， f 1 x 为奇函数，若
2a 3， 4b 5 ， 3c 4 ，则（ ）
A. f a f b f c B. f b f a f c
C. f b f c f a D. f c f b f a
【答案】C
【解析】
【分析】先由 f 1 x 为奇函数得到 f 1 0 ，再由 f x 的单调性可推得 f x 的单调性，再比较
a,b,c,1的大小即可得解.
【详解】因为 f 1 x 为奇函数，所以 f 1 x f 1 x ，
令 x 0 ，则 f 1 f 1 ，故 f 1 0 ，
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又 f x 在 R 上单调递增，
所以当 x 1时， f x 0 ，则 f x 单调递减；
当 x 1时， f ( x) >0 ，则 f x 单调递增；
因为 2a 3， 4b 5 ， 3c 4 ，
所以 a log2 3 log2 2 1， b log4 5 log4 4 1 ， c log3 4 log3 3 1，
2 2 2 2
因 为 4ln 2ln 4 ln 2 ln 4 ln8 ln 9 4ln 3 ，
2
由于 ln 2 ln 4 ，故上式等号不成立，则 ln 2ln 4 ln 3 ，
ln 4 ln 3
又 ln 3 0,ln 2 0 ，所以 ，即 log 4 log 3，即 c a ，
ln 3 ln 2 3 2
同理可得 b c ，所以1 b c a ，
所以 f b f c f a .
故选：C.
8. 若对任意实数 x 0, y 0 ，不等式 x xy a(x y) 恒成立，则实数 a 的最小值为（ ）
2 1 2 1
A. B. 2 1 C. 2 1 D.
2 2
【答案】D
【解析】
x xy x xy
【分析】分离变量将问题转化为 a 对于任意实数 x 0, y 0 恒成立，进而求出 的最大
x y x y
y
值，设 t(t 0) 及1 t m (m 1) ，然后通过基本不等式求得答案.
x
x xy x xy
【详解】由题意可得， a 对于任意实数 x 0, y 0 恒成立，则只需求 的最大值即可，
x y x y
y y
1 1
x xy y 1t
x ，设 t(t 0) ，则 x ，再设1 t m (m 1) ，则
y y 2
x y 1 x 1 1t
x x
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