福建省百校新未来金科联考高三上学期12月质量检测-数学试题+答案

2023-12-30·10页·2.3 M

金科大联考2024 届高三12 月质量检测

数学

全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

注意事项:

1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答;字体工整,笔迹清楚.

4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A x x2 4x 3 0, B y y 2x 1,则 A B ( )

A. 1, B.1, C. 1,3 D.1,3

2.已知 iz 1 z 1,则 z ( )

A. i B.1 i C. i D.1 i

3.已知 a,b 为单位向举,若 a 2b 3a b ,则 cos a,b ( )

3 3 1 1

A. B. C. D.

5 5 5 5

asinx

4.若函数 f x sinx 为偶函数,则实数 a ( )

1 ex

A.1 B.0 C. 1 D.2

5.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体,如图所示,其底面 ABCD 为矩形,顶棱 PQ 和底面平行,书

中描述了刍薨的体积计算方法:求积术曰,倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一,即

1

V 2AB PQ BC h ( 其 中 h 是 刍 薨 的 高 , 即 顶 棱 PQ 到 底 面 ABCD 的 距 离 ), 已 知

6

AB 2BC 4,PAD 和QBC 均为等边三角形,若二面角 P AD B 和 Q BC A 的大小均为150

,则该刍薨的体积为( )

5 3 7 3

A. B. 3 3 C. D. 4 3

2 2

cos

6.若 tan 3, tan 3,则 ( )

4 sin

7 3 4

A. 1 B. C. D.

5 5 5

7.设等比数列an 的公比为 q,a1 0 ,设甲: q 1;乙: an2 an ,则( )

A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

y2

8. 已 知 双 曲 线 C : x2 1(b 0) , 点 P 2,0,Q 3,0 , 若 C 上 存 在 三 个 不 同 的 点 M 满 足

b2

MQ 2 MP ,则 C 的离心率的取值范围为( )

15 30 15 30

A. 1, B. 1, C. , D. ,

3 3 3 3

二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符

合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.

2 2 2 2

9.已知圆 C1 : (x 2) y 1,圆 C2 : x ( y a) 9 ,则下列结论正确的是( )

A.若 C1 和 C2 外离,则 a 2 3 或 a 2 3

B.若 C1 和 C2 外切,则 a 2 3

C.当 a 0 时,有且仅有一条直线与 C1 和 C2 均相切

D.当 a 2 时, C1 和 C2 内含

10.已知正实数 x, y 满足 x 4 y xy ,则( )

A. xy 16 B. x y 9

1 y

C. 的最大值为 0 D. 4x 4 y 的最小值为 210

x 16

x

11.已知 f x log2 x x, g x 2 x ,若 f a g b 2 ,则( )

3

A. a 2b B. a b 2 C. a b 1 D. ab 2 2 2

4

12.在三棱锥 A1 ABC 中, A1A 平面 ABC, AB AC, AA1 AB AC 3, P 为 A1BC 内的一个动点

(他括边界), AP 与平面 A1BC 所成的角为 45 ,则( )

A. A1P 的最小值为 6 3 B. A1P 的最大值为 6 3

C.有且仅有一个点 P ,使得 A1P BC D.所有满足条件的线段 AP 形成的曲面面积为

3 2

4

三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

S2023

13.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列an 的前 n 项和,若 3a2 a4 ,则 ______.

a2023

14.已知函数 f x ln ax 1 ,且 y 2x 为曲线 y f x 的一条切线,则 a ______.

x2 y2

15.设 F , F 是椭圆 C : 1(a b 0) 的左、右焦点, O 为坐标原点, M 为 C 上一个动点,且

1 2 a2 b2

2

MF1 2MF1 F1O 的取值范围为1,3 ,则椭圆 C 的长轴长为______.

2

16. 已 知 函 数 f x sin x 0,0 , 花 f x f , 且 f 0 f 0 , 则

2 6 3

f ______.

3

四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

abc

17.(本小题满分 10 分)记ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,面积为 S ,且 S .

4

(1)求ABC 的外接圆的半径;

2

(2)若 b c 2 ,且 A ,求 BC 边上的高.

3

S S S

18.(本小题满分 12 分)设 S 为数列a 的前 n 项和, 1 2 n 2n 1 .

n n 1 2 n

(1)求数列an 的通项公式;

n 2

(2)设 bn ,证明: b1 b2 bn 4 .

nan

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f x ex x2 ax a,a R .

(1)讨论 f x 的单调性;

(2)当 a 0 时,设 x1, x2 分别为 f x 的极大值点、极小值点,求 f x1 f x2 的取值范围.

20. ( 木 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ,

ABCD, AB BC,2AB 2BC CD PD PC ,设 E, F, M 分列为棱 AB, PC,CD 的中点.

(1)证明: EF平面 PAM ;

(2)若 PA PM ,求 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值.

1

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f x x2lnx 2lnx ax2 ,a R .

2

(1)证明: f x 有唯一的极值点;

(2)若 f x 0 ,求 a 的取值范围.

2

22.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C : y 2 px( p 0), F 为 C 的焦点, P 4, y0 y0 0 在 C 上,且

PF 5.

(1)求抛物线 C 的方程;

(2)若直线 l 与 C 交于 A, B 两点( A, B 分别位于直线 x 4 的两侧),且直线 PA, PB 的斜率之和为 0,

()求直线 l 的斜率;

()求PAB 的面积的最大值.

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