数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A x x2 x 2 0 B x y ln x
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 0,1 B. 0,2 C. 0,1 D. 0,2
1
2. 已知复数 z ，则 z 在复平面内所对应的点位于（ ）
2 i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
cos2 2
3. 已知 4 ，则 sin2 （ ）
sin
4
15 15 3 3
A. B. C. D.
16 16 4 4
4. 已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a10 a11 0 ， a10 a12 0 ，则 Sn 取最大值时 n 的值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
5. 已知 S, A, B,C 是球 O 表面上的点， SA 平面ABC ， AB BC ， SA AB 1， BC 2 ，则球 O
表面积等于
A. 4 B. 3 C. 2 D.
6. 已知 n 为平面 的一个法向量，l 为一条直线，则“ l n ”是“ l// ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2
7. 已知抛物线 C ： y 4x （ y 0 ）的 焦点为 F ，点 A 为抛物线上一点， AF 5，若 2FB BA ，则点
B 的纵坐标是（ ）
4 8 16 32
A. B. C. D.
3 3 3 3
x2 y2
8. 如图，已知双曲线 C : 1(a,b 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 的直线与 C 分别在第一
a2 b2
二象限交于 A, B 两点，ABF2 内切圆半径为 r ，若 BF1 r a ，则 C 的离心率为（ ）
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10 2 5 30 85
A. B. C. D.
2 3 4 5
二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知 a 0,b 0 ，直线 l1 : x (a 2)y 1 0,l2 :bx y 2 0 ，且 l1 l2 ，则（ ）
b 2
A. 0 ab 1 B. a b 2 C. a2 b2 2 D. 3
a b
10. 如图，在棱长为 4的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为棱 AD ， AB ， BC 的中点，点 P
为线段 D1F 上的动点，则（ ）
A. 两条异面直线 D1C 和 BC1 所成的角为 45
B. 存在点 P，使得 C1G// 平面 BEP
C. 对任意点 P，平面 FCC1 平面 BEP
D. 点 B1 到直线 D1F 的距离为 4
11. 电子通讯和互联网中，信号的传输处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数
sinx sin3x sin5x sin13x
表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数 f x
1 3 5 13
的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）
A. f x 为周期函数，且最小正周期为
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B. f x 为奇函数
C. y f x 的图象关于直线 x 对称
2
D. f x 的导函数 f x 的最大值为 7
x
12. 已知函数 f x 1 xe 1，数列an 满足函数 f x 的图像在点 an , f an 处的切线与 x 轴交于
an1
点 e an 1,0, 且 a1 1,an 0 ，则下列结论正确的是（）
an1 an
A. ane e 1 B. 0 an 1
1
C. a a D. a a a a 1
2022 2023 1 2 3 n 2n
三、填空题：本题共 4 小题．
13. 已知 a 4,2 ， b 1,1 ，则 a 在 b 方向上的投影向量的坐标为__________．
3
14. 已知函数 f x x x 有 2 个极值点 x1 ， x2 ，则 x1 x2 f x1 f x2 ______．
15. 已知定义在 R 上的 函数 f x 在0, 上单调递增，且函数 f x 1为奇函数，则
f 3x 4 f 1 x 2 的解集为___________.
16. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的 数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分
之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为
最具有审美意义的比例数字．若数列an 是以黄金分割数为公比的等比数列，且 a2024 a2025 2023 ，则
a2023 _________．
四、解答题：本大题共 6 小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，且 ccosA 3csinA a b .
（1）求角 C ；
（2）若 ABC 的中线 CD 长为 2 3 ，求 ABC 面积的最大值.
18. 已知 Sn 为等比数列an 的前 n 项和，若 4a2 ， 2a3 ， a4 成等差数列，且 S4 8a2 2 .
（1）求数列an 的通项公式；
a
b n 1 1
（2）若 n ，且数列bn 的前 n 项和为Tn ，证明： Tn .
an 2an1 2 12 4
19. 如图，平面 ABCD 平面 ABE ，点 E 为半圆弧 AB 上异于 A ， B 的点，在矩形 ABCD 中，
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AB 4BC ，设平面 ABE 与平面 CDE 的交线为l .
（1）证明： l// 平面 ABCD ；
（2）当l 与半圆弧 AB 相切时，求平面 ADE 与平面 CDE 的夹角的余弦值.
20. 已知函数 f x ax lnx ．
（1）求函数 f x 的极值；
2
（2）证明：当 0 a 1 时， x 0, ，使得 f x 3a a ln2 ．
x2 y2 2
21. 已知椭圆 E : 1a b 0 离心率为 ，焦距为 2 2 .
a2 b2 2
（1）求 E 的方程；
（2）过点T 1,0 分别作斜率和为1的两条直线 l1 与 l2 ，设 l1 交 E 于 A 、 B 两点， l2 交 E 于 C 、 D 两点，
AB 、 CD 的中点分别为 M 、 N .求证：直线 MN 过定点.
22. 设抛物线 C： y2 2x 的焦点为 F，P 是抛物线外一点，直线 PA，PB 与抛物线 C 切于 A，B 两点，过
点 P 的直线交抛物线 C 于 D，E 两点，直线 AB 与 DE 交于点 Q.
（1）若 AB 过焦点 F，且 FA FB 4 ，求直线 AB 的倾斜角；
PQ PQ
（2）求 的值.
PD PE
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龙岩一中 2024 届高三上学期第三次月考
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A x x2 x 2 0 B x y ln x
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 0,1 B. 0,2 C. 0,1 D. 0,2
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求得集合 A ，求函数的定义域求得集合 B ，由此求得 A B .
【详解】由 x2 x 2 x 2 x 1 0 ，解得 1 x 2 ，所以 A 1,2.
由 y ln x 得 x 0 ，所以 B 0, ，
所以 A B 0,2 .
故选：D
1
2. 已知复数 z ，则 z 在复平面内所对应的点位于（ ）
2 i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先用复数的除法公式对复数化简，再求出共轭复数，得到共轭复数所在象限.
1 2 i 2 i 2 1 2 1
【详解】因为 z i ，所以 z i
2 i 2 i2 i 5 5 5 5 5
则 z 在复平面内所对应的点位于第四象限.
故选：D.
cos2 2
3. 已知 4 ，则 sin2 （ ）
sin
4
15 15 3 3
A. B. C. D.
16 16 4 4
【答案】A
【解析】
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【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得 sin 2 .
cos2 cos2 sin2 2
2 cos sin
【详解】因为 2 4 ，
sin sin cos
4 2
1 1
即 cos sin ，两边平方可得 cos2 2sincos sin2 1 sin2 ，
4 16
15
解得 sin2 .
16
故选：A
4. 已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a10 a11 0 ， a10 a12 0 ，则 Sn 取最大值时 n 的值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的性质得出 a10 0,a11 0 即可求解.
【详解】 等差数列an ，a10 a12 2a11 0 ，a11 0 ，
a10 a11 0 ，a10 0 ，则 Sn 取最大值时， n 10 .
故选：A.
5. 已知 S, A, B,C 是球 O 表面上的点， SA 平面ABC ， AB BC ， SA AB 1， BC 2 ，则球 O
表面积等于
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
1
【详解】球心 O 为的中点，所以球的半径为 SC 1，所以 S球 4 ,故选 A.
2
6. 已知 n 为平面 的一个法向量，l 为一条直线，则“ l n ”是“ l// ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
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将“ l n ”与“ l// ”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】当“ l n ”时，由于l 可能在平面 内，所以无法推出“ l// ”.
当“ l// ”时，“ l n ”.
综上所述，“ l n ”是“ l// ”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题.
2
7. 已知抛物线 C ： y 4x （ y 0 ）的焦点为 F ，点 A 为抛物线上一点， AF 5，若 2FB BA ，则点
B 的纵坐标是（ ）
4 8 16 32
A. B. C. D.
3 3 3 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式可得 A 的坐标，再由 2FB BA ，列出方程，即可得到结果.
【详解】
p
因为 AF 5，由抛物线的焦半径公式可得 AF x ，即 x 4 ，且 y 0
A 2 A
所以 A4,4 ，设 B x0 , y0 ，则 FB x0 1, y0 , FA 4 x0 ,4 y0 ，
x 2
2 x 1 4 x 0
0 0 4
又 2FB BA ，则 ，解得 4 ，所以点 B 的纵坐标是 .
2y0 4 y0 y0 3
3
故选：A
x2 y2
8. 如图，已知双曲线 C : 1(a,b 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 的直线与 C 分别在第一
a2 b2
二象限交于 A, B 两点，ABF2 内切圆半径为 r ，若 BF1 r a ，则 C 的离心率为（ ）
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10 2 5 30 85
A. B. C. D.
2 3 4 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.
【详解】
设 AB x ，内切圆圆心为 I ，内切圆在 BF2 , AF2 , AB 上的切点分别为U,V ,W ，
则 BU BW , AV AW , F2U F2V ，
由 BF1 a 及双曲线的定义可知，
1
BF2 3a, AF2 x a, F2U F2V BF2 AF2 AB a r ，
2
故四边形 IUF2V 是正方形，
2 2 2
得 AF2 BF2 ，于是 BF2 AF2 | AB | ，
故 x2 9a2 (x a)2 ，所以 x 5a ，
3
于是 cosF BF cos ABF ，在 F1BF2 中，
1 2 2 5
2 2 2 68
由余弦定理可得 F F BF BF 2 BF BF cosF BF a2 ，
1 2 1 2 1 2 1 2 5
2 68 2 c 85
从而 4c a ，所以 e .
5 a 5
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故选：D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知 a 0,b 0 ，直线 l1 : x (a 2)y 1 0,l2 :bx y 2 0 ，且 l1 l2 ，则（ ）
b 2
A. 0 ab 1 B. a b 2 C. a2 b2 2 D. 3
a b
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用 l1 l2 ，找到 a b 2 ，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.
【详解】l1 l2 ,1b (a 2)1 0,a b 2 ，且 a 0,b 0 ，
2
a b
所以 0 ab 1，当且仅当 a b 时等号成立，故 A 正确；
2
( a b)2 a b 2 ab 2(a b) 4 ，当且仅当 a b 时等号成立，
a b 2 ，故 B 正确；
a2 b2 a2 (2 a)2 2a2 4a 4 2(a 1)2 2 2 ，故 C 错误；
b 2 b a b b a b a b a
1 2 1 3 ，当且仅当 ，即 a b 1时等号成立，故 D 正确．
a b a b a b a b a b
故选：ABD.
10. 如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为棱 AD ， AB ， BC 的中点，点 P
为线段 D1F 上的动点，则（ ）
A. 两条异面直线 D1C 和 BC1 所成的角为 45
B. 存在点 P，使得 C1G// 平面 BEP
C. 对任意点 P，平面 FCC1 平面 BEP
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D. 点 B1 到直线 D1F 的距离为 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据异面直线所成角的概念结合正方体的性质可判断 A，根据线面平行的判定定理可判断 B，根
据线面垂直的判定定理可得 BE 平面 FCC1 ，然后根据线线垂直的判定定理可判断 C，利用余弦定理结
合条件可判断 D.
【详解】对于 A，由正方体的性质可知 BC1 / / AD1 ，两条异面直线 D1C 和 BC1 所成的角即为
AD1C 60 ，所以 A 错误；
对于 B，当点 P 与点 D1 重合时，由题可知 EG / /DC, EG DC, D1C1 / /DC, D1C1 DC ，
所以 EG / /D1C1, EG D1C1 ，四边形 EGC1D1 为 平行四边形，故 C1G / /D1E ，
又 C1G 平面 BEP ， D1E 平面 BEP ，则 C1G / / 平面 BEP ，所以 B 正确；
对于 C，连结 CF ，由于 CC1 平面 ABCD ， BE 平面 ABCD ，故 CC1 EB ，
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