中山市第一中学2023~2024 学年第一学期高三年级第五次统测
数 学
本试卷共5 页，共 150 分，考试时长 120分钟.
一、单选题（本大题共8 小题，共 40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
x N 2x 3 3
1. 集合 的真子集个数为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 复数 z 满足(1 i)z 2i ，其中 i 为虚数单位，则 （ ）
A. z2 z 2 0 B. z z 0
2 2
C. z z 0 D. z z 0
3. 正三角形 ABC 中， AB 2 ， P 为 BC 上的靠近 B 的四等分点， D 为 BC 的中点，则 AP BD （ ）
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 4 4 2
4. 过点 (0, 4) 与圆 x2 y2 4x 1 0 相切的两条直线的夹角（锐角）为 ，则 cos （ ）
3 15 1 6
A. B. C. D.
2 4 2 4
5. 各项均为正数的等比数列 a 中 ， a ,a 2,a 成 等 差 数 列 ， a 2, S 是 a 的 前 n 项 和 ， 则
n 2 4 5 1 n n
S10 S4 （ ）
A. 1008 B. 2016
C. 2032 D. 4032
6. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛 Alberobello ，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名
叫Trullo ，于1996 年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trullo 的屋顶，得其母线长为 6m ，屋顶的表
面积为12m2 ( 即圆锥的侧面积 )．若从该屋顶底面圆周一点 A 绕屋顶侧面一周至过 A 的母线的中点，安装
灯光带，则该灯光带的最短长度为（ ）
A. 3 3 m B. 3 5 m C. 3 7 m D. 6 m
x2 y2 x2 y2
7. 设 a b 0 ，椭圆 1的离心率为 e1 ，双曲线 1的离心率为 e2 ，若 e1 e2 1，
a2 b2 b2 a2 2b2
a
则 的值是（ ）
b
5 1 1 5
A. 1 B. 2 C. D.
2 2
x2 2ax 2a, x 1
已知函数 f x a R ，若关于 x 的不等式 f x 0 恒成立，则实数 a 的取值范
8. x
e ax, x 1
围为（ ）
A. 0,1 B. 0,2
C. 1,e D. 0,e
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分.每小题有多项符合题目要求）
9. 山东省某地区 2013年至 2022 年生产总值指数分别 为 112.2 ，108.1，108.7 ，108.7 ，109.5 ，
108.9 ，108.1，104.0 ，107.3 ，104.3 ，则（ ）
A. 这组数据的极差为8.2 B. 这组数据的众数为108.1
C. 这组数据的中位数为108.4 D. 这组数据的上四分位数为108.9
如图，在正方体 ABCD A B C D 中，点 在线段 BC 上运动，则下列判断中正确的 （ ）
10. 1 1 1 1 P 1
A. PB1 不可能垂直于 CD1
B. A1P / / 平面 ACD1
C. 三棱锥 D1 APC 的体积不变
9
D. 若正方体的棱长为1，且 E ， F 分别为 AD ， AA 的中点，则过 E ， F ， P 的截面面积最大值为
1 8
x2 y2
11. 已知双曲线 C : 1a 0，b 0 的离心率为 5 ， F1 ， F2 是双曲线 C 的两个焦点，经过点
a2 b2
F2 直线l 垂直于双曲线 C 的一条渐近线，直线l 与双曲线 C 交于 A ， B 两点，若ABF1 的面积为 24 ，则
（ ）
1
A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y x
2
B. 双曲线 C 的实轴长为 6
C. 线段 AB 的长为8
D. ABF1 是直角三角形
12. 数学中一般用 mina,b表示 a，b 中的较小值， maxa,b 表示 a，b 中的较大值；关于函数：
f x minsin x 3 cos x,sin x 3 cos x； g x maxsin x 3 cos x,sin x 3 cos x，有如
下四个命题，其中是真命题的是（ ）
A. f x 与 g x 的最小正周期均为
3
B. f x 与 g x 的图象均关于直线 x 对称
2
C. f x 的最大值是 g x 的最小值
D. f x 与 g x 的图象关于原点中心对称
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
6
3 1
13. x 1 2x 的展开式中常数项是_________．( 用数字作答 )
x
2
14. 接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校 的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时
5
1 1
期，未接种疫苗的感染率为 ，而接种了疫苗的感染率为 .现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接
4 10
种疫苗的概率为___________
2 2
x y 2 2 2 2
15. 已知双曲线 1a 0，b 0 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，圆 x y a b 与双曲线在
a2 b2
3 10
第一象限的交点为 P ，且 sin PF F ，则该双曲线的离心率为_________．
2 1 10
16. 已知 O 为 ABC 的外心， BC 6, BO AC 4 ，当 C 最大时， AB 边上的中线长为_________．
三、解答题（共 6 小题，第 17 题满分 10 分，其它各题满分 12 分，共 70 分.）
17. 在 2a b 2c cos B ， sin A sin Ca c bsin A sin B ，
1
S casin A bsin B csin C 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
ABC 2
问题：在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且____．
（1）求角 C；
（2）若 c 2 ，求 2a b 的取值范围．
18. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男
子乒乓球决赛的 12 名队员来自 3 个不同校区，三个校区的队员人数分别是 3，4，5.本次决赛的比赛赛制
采取单循环方式，即每名队员进行 11 场比赛（每场比赛都采取 5 局 3 胜制），最后根据积分选出最后的冠
军.积分规则如下：比赛中以 3: 0 或 3:1取胜的队员积 3 分，失败的队员积 0 分；而在比赛中以 3: 2 取胜的
队员积 2 分，失败的队员的队员积 1 分.已知第 10 轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为
p0 p 1 .
（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第 10 轮比赛中，记张三 3:1取胜的概率为 f p .
求出 f p 的最大值点 p0 ；
p
若以 p0 作为 的值，这轮比赛张三所得积分为 X ，求 X 的分布列及期望.
m
19. （1）已知：有理数都能表示成 （ m,n Z ，且 n 0 ， m 与 n 互质）的形式，进而有理数集
n
m
Q | m,n Z ，且 n 0 ， m 与 n 互质 ．
n
证明：（i）1.573 是有理数．
（ii） 5 是无理数．
2an 3bn b
a * b 5 n
（2）已知各项均为正数的两个数列 {an}和 {bn}满足： n1 2 2 ， n N ．设 n1 ，
an bn an
*
n N ，且{an}是等比数列，求 a1 和 b1 的值．
7 3
20. 如图，已知四棱台 ABCD A1B1C1D1 的体积为 ，且满足 DC / / AB ，
16
BC BA, AA1 A1B1 BB1 BC CD 1, AB 2, E 为棱 AB 上的一点，且 C1E // 平面 ADD1 A1 .
（1）设该棱台的高为 h ，求证： h A1E ；
（2）求直线 C1E 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值.
y2 x2
21. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中 ， 双 曲 线 1a 0,b 0 的 上 下 焦 点 分 别 为
a2 b2
e
F1(0,c), F2 0,c ．已知点 e, 5 和 0, 2 都在双曲线上，其中 为双曲线的离心率．
（1）求双曲线的方程；
（2）设 A, B 是双曲线上位于 y 轴右方的两点，且直线 AF 与直线 BF 平行， AF 与 BF 交于点 ．
1 2 2 1 P
（I）若 AF1 BF2 2 2 ，求直线 AF1 的斜率；
（II）求证： PF1 PF2 是定值．
22. 已知函数 f x x a sin x （ x a ）.
（1）若 f x 0 恒成立，求 a 的取值范围；
1 1
（2）若 a ，证明： f x 在 0, 有唯一的极值点 x，且 f x0 x0 .
4 2 2x0
中山市第一中学 2023~2024 学年第一学期高三年级第五次统测
数学
本试卷共5 页，共 150 分，考试时长 120分钟.
一、单选题（本大题共8 小题，共 40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
x N 2x 3 3
1. 集合 的真子集个数为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的解集，用列举法表示出集合即求解.
【详解】不等式| 2x 3| 3 3 2x 3 3 ，解得 0 x 3 ，
因此{x N || 2x 3| 3} {x N | 0 x 3} {1,2} ，
所以集合{x N || 2x 3| 3}的真子集个数为 3.
故选：B
2. 复数 z 满足(1 i)z 2i ，其中 i 为虚数单位，则 （ ）
A. z2 z 2 0 B. z z 0
C. z z 0 D. z2 z 2 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数 z ，再逐项计算判断即得.
2i 2i(1 i) 2 2i
【详解】由(1 i)z 2i ，得 z 1 i ， ，
1 i (1 i)(1 i) 2 z 1 i
2
对于 A， z2 z (1 i)2 (1 i)2 2i 2i 0 ，A 正确；
对于 B， z z (1 i) (1 i) 2 ，B 错误；
对于 C， z z (1 i) (1 i) 2i ，C 错误；
2
对于 D， z2 z (1 i)2 (1 i)2 2i 2i 4i ，D 错误.
故选：A
3. 正三角形 ABC 中， AB 2 ， P 为 BC 上的靠近 B 的四等分点， D 为 BC 的中点，则 AP BD （ ）
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 4 4 2
【答案】A
【解析】
1 3 1 1
【分析】根据题意，由平面向量基本定理可得 AP AC AB ， BD AC AB ，再由平面向量
4 4 2 2
的数量积运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为 P 为 BC 上的靠近 B 的四等分点，
1 1 1 3
则 AP AB BP AB BC AB AC AB AC AB ，
4 4 4 4
且 D 为 BC 的中点，
1 1 1
则 BD BC AC AB ，
2 2 2
又 ABC 为等边三角形，且 AB 2 ，
1 3 1 1
则 AP BD AC AB AC AB
4 4 2 2
1 2 1 3 2
AC AB AC AB
8 4 8
1 2 1 3 2
2 AB AC cos60 2
8 4 8
1 1 1
1 2 2 .
4 2 2
故选：A
4. 过点 (0, 4) 与圆 x2 y2 4x 1 0 相切的两条直线的夹角（锐角）为 ，则 cos （ ）
3 15 1 6
A. B. C. D.
2 4 2 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆方程可得圆心 C 为 C 2,0 ，半径 r 5 ，再由点 (0, 4) 与圆心的距离可求得 60 ，即
1
可知 cos .
2
2
【详解】将圆 x2 y2 4x 1 0 化为标准方程可得 x 2 y2 5 ，
即圆心 C 为 C 2,0 ，半径 r 5 ；如下图所示：
又 D(0,4) ，易知 CD 22 42 2 5, AC 5 ，
AC 5 1
所以可得 sin ，又 为锐角，可知 60 ；
2 CD 2 5 2
1
可得 cos .
2
故选：C
5. 各项均为正数的等比数列 an 中 ， a2 ,a4 2,a5 成 等 差 数 列 ， a1 2, Sn 是 an 的 前 n 项 和 ， 则
S10 S4 （ ）
A. 1008 B. 2016
C. 2032 D. 4032
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差中项可得 2a4 2 a2 a5 ，结合等比数列通项公式可得 q = 2 ，再利用等比数列求和
公式运算求解.
【详解】设等比数列an 的公比为 q 0 ，
因为 a2 ,a4 2,a5 成等差数列，则 2a4 2 a2 a5 ，
3 4 3
且 a1 2 ，则 22q 2 2q 2q q2q 2 ，
又因为 q 0 ，则 2q3 2 0 ，可得 q = 2 ，
21 210 21 24
所以 S S 2016 .
10 4 1 2 1 2
故选：B.
6. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛 Alberobello ，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名
叫Trullo ，于1996 年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trullo 的屋顶，得其母线长为 6m ，屋顶的表
面积为12m2 ( 即圆锥的侧面积 )．若从该屋顶底面圆周一点 A 绕屋顶侧面一周至过 A 的母线的中点，安装
灯光带，则该灯光带的最短长度为（ ）
A. 3 3 m B. 3 5 m C. 3 7 m D. 6 m
【答案】C
【解析】
2
【分析】画出图形，根据圆锥的表面积求出侧面展开图顶角A SB = ，再由余弦定理求出 A B = 3 7 .
1 3 1
【详解】
设圆锥的底面半径为 r，侧面展开图如图所示，
由图可知 B 为 SA 的中点， A1B 为所求长度的最小值，
由于母线长为 6m ，则 SA 6 ，圆锥的侧面积为12m2 ，
则由圆锥的侧面积公式可得 S = rl r = 2 ，
所以底面圆的周长即弧长 A1 A = 4 ，
2
又 4 = 6 A SB A SB = ，
1 1 3
则在A1SB 中，由余弦定理可得
2 2 2 2 2 2
A1S +SB - A1B 6 +3 - A1B 1
cosA1SB = = = - ，
2A1SSB 2 6 3 2
解得 A1B = 3 7 m，
故选：C
x2 y2 x2 y2
7. 设 a b 0 ，椭圆 1的离心率为 e1 ，双曲线 1的离心率为 e2 ，若 e1 e2 1，
a2 b2 b2 a2 2b2
a
则 的值是（ ）
b
5 1 1 5
A. 1 B. 2 C. D.
2 2
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆和双曲线的标准方程分别表示出离心率，再根据 e1 e2 1运算得解.
x2 y2 b2
【详解】因为a b 0，椭圆方程为 1，可得 e2 1 ，
a2 b2 1 a2
x2 y2 a2 2b2 a2
又由双曲线方程 1，可得 e2 1 1，
b2 a2 2b2 2 b2 b2
b2 a2 a2 b2
因为 e1 e2 1，所以 1 2 2 1 =1，整理得 3 0 ，
a b b2 a2
a 2 1 3 5 3- 5
令 x 1，上式转化为 x 3 0 ，解得 x2 或 （舍去），
b x2 2 2
2
a 3 5 6 2 5 5 1 5 1
.
b 2 4 4 2
故选：D.
x2 2ax 2a, x 1
已知函数 f x a R ，若关于 x 的不等式 f x 0 恒成立，则实数 a 的取值范
8. x
e ax, x 1
围为（ ）
A. 0,1 B. 0,2