2023-2024 学年高三年级上学期期末考试
数学试题
（考试时间：120 分钟，满分：150 分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求）
x
1
B= y y =,1 x
A= x01 x 2
1. 已知集合 ， ，则 AB= （ ）
A. B. (0,1 C. 0,2) D. 0,1
2. 若虚数 z 是关于 x 的方程 x2 2 x + m = 0( m R) 的一个根，且 z = 2 ，则 m = （ ）
A. 6 B. 4 C. 2 D. 1
3. 已 知 函 数 fx()是定义在 R 上 的 偶 函 数 ， 在 [0,+ ) 上 单 调 递 减 ， 且 f (3)= 0 ， 则 不 等 式
(2xf5)(x 1) 0 的解集为（ ）
5 5
A ( , 2) ,4 B. (4,+ ) C. 2, (4, + ) D. ( , 2)
2 2
x
31 *
4. 已知函数 fx( ) = ，数列an 满足 a1 =1， ann+3 = a( n N ) ， f( a1) + f( a 2 + a 3 ) = 0 ，则
31x +
2023
a = （ ）
.i
i=1
A. 0 B. 1 C. 675 D. 2023
11
5. 已知向量 a =(2, 3) ，b = (1,2) ， c = (9,4) ，若正实数 m ， n 满足 c=+ ma nb ，则 + 的值为
mn
（ ）
7 3 4 5
A. B. C. D.
10 7 7 7
6. 如图，是 1963 年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有 12
行、122 字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅
兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深
度约为30cm ，上口的内径约为 20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为 20cm,16cm ，则“何尊”的容积大
约为（ ）
A. 5500cm3 B. 6000cm3 C. 6500cm3 D. 7000cm3
1
7. 直三棱柱 ABC- A B C 中， AB= AC = AA = 22，P 为 BC 中点， AP= BC ，Q 为 AC 上一点，
1 1 1 1 2 11
1
AQAC= ，则经过 A，P，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ）
12 1 1
7 9
A. B. 4 C. D. 5
2 2
8. 若曲线 yx=+ln 1 与曲线 y= x2 + x + 3 a 有公切线，则实数 a 的取值范围（ ）
2ln 2 3 3 ln 2 1 4ln 2 3 ln 2
A. , B. ,
62 12 2
2ln 2 3 1 4ln 2
C ,+ D. ,+
6 12
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有两
个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0
分）.
11
9 已知实数 a，b 满足 ，则（ ）
ab
33
A. log0.2023ab log 0.2023 B. ab
bb+1 1
C. D. ab + 的最小值为 1
aa+1 ab +1
10. 若函数 f( x) =tan 2 x + 3 ，则（ ）
8
A. fx( ) 的最小正周期为
5 k
B. 的定义域为 x x +, k Z
16 2
3
C. 在 , 上单调递增
16 16
D. 的图象关于点 ,0 对称
16
22
xy 2
11. 已知双曲线 C : =1 (a 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，抛物线 yx= 8 的焦点与双曲线C
a2 3
的焦点重合，点 P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线 的渐近线方程为 yx= 3 B. PF1 = 7
6
C. F12 PF 的面积为26 D. cos=F PF
127
2
,0x
12. 已知函数 fx( ) = ex ，若函数 g( x) = f( x) 1 恰有 3 个零点，则实数 m 的值可以为
3
2x mx 3, x 0
（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
2 p
13. 已知 px: 0 R ， x004 ax + 3 0 ，请写出一个使 为假命题的实数 a 的值， a = ______．
14. 2023 年 9 月第 19 届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合
训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的 5 位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分
配 1 位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.
2
15. 已知斜率为 3 的直线l 过抛物线 y=2 px ( p 0) 的焦点 F ，且与该抛物线交于 AB, 两点，若
2
3 2
AB= 8, P 为该抛物线上一点， Q 为圆C: x+ + ( y 1) = 1上一点，则 PF+ PQ 的最小值为
2
__________.
16. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因
而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点
43
ABCD,,, 满足 AB= BC = CD = DA = DB = cm ，AC = 23 ，则该“鞠”的表面积为_______
3
cm2 .
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
n
17. 已知数列a 的前 n 项和为 S ，在 aa= (n 2) 且 a =1； 2S=+ n2 n ；
n n nnn 1 1 1 n
an+ a n++21 20 a n = 且 ， a3 = 3，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列 满足______，求 的通项公式；
2
（2）已知正项等比数列bn 满足 ba12= ， bb23+=12 ，求数列 的前 项和Tn ．
log2bbnn log 2+ 1
18. 已 知 锐 角 ABC 的 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 向 量 m= (sin C ,cos C ) ，
n=(2sin A cos B , sin B ) ，且 mn ．
（1）求角 C 的值；
（2）若 a = 2 ，求 周长的取值范围．
1
19. 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PDC平面 ABCD， PD== PC 22， CB= BA = AD = 2 ，
2
AD CB ， BAD = 90 ，E 为 PD 中点.
（1）求证：CE 面 PAB；
13
（2）点 Q 在棱 PA 上，设 PQ= PA(0 1) ，若二面角 PCDQ 余弦值 ，求 .
13
20. 全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某
市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地 2000 户农户家庭年收入 x（单位：万元）进行调查，并绘制得
到如下图所示的频率分布直方图．
为
（1）求这 2000 户农户家庭年收入的样本平均数 x 和样本方差 s 2 （同一组的数据用该组区间中点值代
表）．
2
（2）由直方图可认为农户家庭年收入 X 近似服从正态分布 N (, ) ，其中 近似为样本平均数 ， 2
近似为样本方差 ．
估计这 2000 户农户家庭年收入超过 9.52 万元（含 9.52）的户数？（结果保留整数）
如果用该地区农户家庭年收入 情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取
4 户，即年收入不超过 9.52 万元的农户家庭数为 ，求 P ( 3) ．（结果精确到 0.001）
附： 2.3 1.52 ；若 XN(, 2 ) ，则 PX( + ) = 0.6827 ，
PX(2 + 2 ) = 0.9545； 0.841354 0.501．
xy22 3
21. 已知椭圆C:+ = 1( a b 0) 的左，右焦点分别为 F1 ，F2 ，离心率为 ，M 为椭圆 C 上的一个
ab22 2
动点，且点 M 到右焦点 距离的最大值为的23+ ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知过点 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，当 F1 AB 的面积最大时，求此时直线 l 的方程．
22. 已知 f( x) =(ex 1) sin x ， x (0,2) ．
（1）求 fx( ) 在点 Pf(, ()) 的切线方程；
（2）设 g( x) = f( x) x2 ， ，判断 gx( ) 的零点个数，并说明理由．
2023-2024 学年高三年级上学期期末考试
数学试题
（考试时间：120 分钟，满分：150 分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求）
x
1
B= y y =,1 x
A= x01 x 2
1. 已知集合 ， ，则 AB= （ ）
A. B. (0,1 C. 0,2) D. 0,1
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 B，后由交集定义可得答案.
x
1
【详解】集合 ，因 y = 在 (1, +) 上 单 调 递 减 ， 则 B= y02 y ，得
2
AB= (0,1
故选：B．
2. 若虚数 z 是关于 x 的方程 x2 2 x + m = 0( m R) 的一个根，且 z = 2 ，则 m = （ ）
A. 6 B. 4 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】设复数 z=+ a bi ，将其代入方程求得 a = 1， mb=+1 2 ，然后利用复数 z = 2 即可求解.
【详解】依题意，设 z=+ a bi （ ab,R 且 b 0 ），
2
代入方程 x2 20 x + m = ，得(a+ bi) 2( a + b i) + m = 0 ，
整理得 a22b 2 a + m + (2 ab 2 b )i = 0 ．
a22 b 20 a + m = mb=+1 2
所以 ，解得 ，
2ab= 2 b 0 a =1
因为 z= a22 + b = 2 ，即 ab22+=2 ，所以bm2 ==1, 2 ．
故选：C．
3. 已 知 函 数 fx()是定义在 R 上 的 偶 函 数 ， 在 [0,+ ) 上 单 调 递 减 ， 且 f (3)= 0 ， 则 不 等 式
(2xf5)(x 1) 0 的解集为（ ）
5 5
A. ( , 2) ,4 B. (4,+ ) C. 2, (4, + ) D. ( , 2)
2 2
【答案】C
【解析】
【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.
【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，且 ，
所以 在 ( ,0] 上单调递增，且 f (= 3) 0 ，
则当 x 3 或 x 3 时， fx( ) 0 ；当 33 x 时， fx( ) 0 ，
2x 5 0 2x 5 0
不等式 化为 或 ，
fx( 1) 0 fx( 1) 0
2x 5 0 2x 5 0 2x 5 0
所以 或 或 ，
x 13 x 13 3 x 1 3
5
解得 x 4 或 x 或 2 x ，即 或 ，
2
5
即原不等式的解集为2, (4, + ) ；
2
故选：C.
x
31 *
4. 已知函数 fx( ) = ，数列an 满足 a1 =1， ann+3 = a( n N ) ， f( a1) + f( a 2 + a 3 ) = 0 ，则
31x +
2023
ai = （ ）
i=1
A. 0 B. 1 C. 675 D. 2023
【答案】B
【解析】
2023
【分析】利用函数计算可得 a1+ a 2 + a 3 = 0 ，再利用数列的周期性可求 ai .
i=1
3xx 1 3 1
【详解】 fx( ) 的定义域为 R ，且 f( x) = = = f( x) ，
3xx++ 1 3 1
故 为 上的奇函数.
2
而 fx( ) =1 ，
31x +
2
因 t =+31x 在 上为增函数， y =1 在 (1, +) 为增函数，
t
故 为 上的增函数.
又 即为 f( a1) = f( a 2 a 3 ) ，故 ，
因为 ，故 为周期数列且周期为 3.
因为 2023= 2022 + 1 = 3 674 + 1 ，
2023
所以 ai =674( a1 + a 2 + a 3) + a 2023 = 0 + a 1 = 1.
i=1
故选：B.
11
5. 已知向量 a =(2, 3) ，b = (1,2) ， c = (9,4) ，若正实数 m ， n 满足 c=+ ma nb ，则 + 的值为
mn
（ ）
7 3 4 5
A. B. C. D.
10 7 7 7
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得 mn, ，从而得解..
【详解】因为 a =(2, 3) ，b = (1,2) ， c = (9,4) ，
所以 c= ma + nb =(2 m + n , 3 m + 2 n) = ( 9,4) ，
29mn+= m = 2
所以 ，解得 ，
3mn + 2 = 4 n = 5
1 1 1 1 7
所以 += + = .
mn2 5 10
故选：A.
6. 如图，是 1963 年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有 12
行、122 字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅
兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深
度约为30cm ，上口的内径约为 20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为 20cm,16cm ，则“何尊”的容积大
约为（ ）
A. 5500cm3 B. 6000cm3 C. 6500cm3 D. 7000cm3
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆柱以及圆台的体积公式计算，即可得答案.
【详解】由题意可知圆台的高为30= 20 10(cm) ，
1 6280
故组合体的体积大约为 82 20 + (8 2 + 8 10 + 10 2 ) 10 = 6573 (cm3 ) ，
33
故选：C
1
7. 直三棱柱 ABC- A B C 中， AB= AC = AA = 22，P 为 BC 中点， AP= BC ，Q 为 AC 上一点，
1 1 1 1 2 11