保密使用前
高三数学
2024.01
本试卷共 22 题，满分 150 分，共 8 页.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出
答题区域书写的答案无效.在草稿纸试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题
答案使用 0.5 毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合 A {xx 2 0}, B {xx x 2 3x 6}，则 A B （ ）
A. 3, B. 2, C. 2,5 D. 2,3
2.已知复数 z cos isin , z i ，则 z z 在复平面内对应的点位于（ ）
1 5 5 2 1 2
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知 0, ,sin cos ，则 sincos （ ）
1 1
A. 2 B. C. D. 2
2 2
4.已知圆柱母线长等于 2，过母线作截面，截面的最大周长等于 8，则该圆柱的体积等于（ ）
A. B. 2 C. 4 D.8
5.函数 f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
x -2 -1 0 1 2 3 5
f x 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
x
A. f x ka b
B. f x kxex b
C. f x k x b
D. f x k(x 1)2 b
x2 y2
6.若抛物线 y2 4x 与椭圆 E : 1的交点在 x 轴上的射影恰好是 E 的焦点，则 E 的离心率为
a2 a2 1
（ ）
2 1 3 1
A. B. C. 2 1 D. 3 1
2 2
7.某学校举办运动会，径赛类共设 100 米200 米400 米800 米1500 米 5 个项目，田赛类共设铅球跳高跳
远三级跳远 4 个项目.现甲乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲乙的参赛项目
有且只有一个相同的方法种数等于（ ）
A.70 B.140 C.252 D.504
4 1
8.已知函数 f x 1 x 3 .若函数 y f x a 存在零点，则 a 的取值范围为（ ）
x 4 x
9 7 7 13 9 13 9
A. , B. , C. , D. ,
4 3 3 3 4 3 4
二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9.抛掷一枚股子，设事件 A “出现的点数为偶数”，事件 B “出现的点数为 3 的倍数”，则（ ）
A. A 与 B 是互斥事件
B. A B 不是必然事件
1
C. P AB
3
2
D. P A B
3
1 1
10.已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x ，当 x ,0 时， f x 2x ，当 x 0,
2 2
时， f x sinx ，则（ ）
1 2 2 4
A. f f 0 B. f f 0
3 3 3 3
2 3 2 5
C. f f … 0 D. f f … 0
3 2 5 2
11.已知抛物线 C : x2 4y 的准线为 l ，焦点为 F ，过 F 的直线 m 与 C 交于 A, B 两点，则（ ）
A. l 的方程为 y 1
B. l 与以线段 AB 为直径的圆相切
C.当线段 AB 中点的纵坐标为 2 时， AB 3
D.当 m 的倾斜角等于 45 时， AB 8
12.在空间直角坐标系 Oxyz 中， A0,0,0, B1,1,0,C 0,2,0, D3,2,1, E x2 ,2,1 在球 F 的球面上，则
（ ）
A. DE 平面 ABC
B.球 F 的表面积等于100
3 10
C.点 D 到平面 ACE 的距离等于
5
4
D.平面 ACD 与平面 ACE 的夹角的正弦值等于
5
三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.在平行四边形 ABCD 中， AB 1,2, AD 4,2 ，则| AC | | BD | __________.
n
14.数列an 中， a1 1,an1 an 2 ，则 a4 __________.
15.已知直线 l : x y 2 ，圆 C 被 l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3 ，则圆 C 的方程可以为__________.
（只需写出一个满足条件的方程即可）
16.若 2x2 2x alnx… 0 ，则 a 的取值范围为__________.
四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
等差数列an 和等比数列bn 中， a1 b1 2,a3 b3 5,a5 2b2 0 .
（1）求an 的公差 d ；
（2）记数列anbn 的前 n 项和为 Sn ，若 an 0 ，求 S20 .
18.（12 分）
教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高
，
学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共 60 人进行“坐位体前
屈”专项测试.
高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在5,10 的男生有 4 人.
高二男生成绩（单位： cm ）如下：
10.2 12.8 6.4 6.6 14.3 8.3 16.8 15.9 9.7 17.5
18.6 18.3 19.4 23.0 19.7 20.5 24.9 20.5 25.1 17.5
（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第 40 百分位数；
（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm ，高二男生为
16.1cm .
已知该校高一年男生有 600 人，高二年男生有 500 人，完成下列 2 2 列联表，依据小概率值 0.005的独
立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？
等级
良好及以上 良好以下 合计
年级
高一
高二
合计
2
2 n(ad bc)
附： ，其中 n a b c d .
a bc d a cb d
0.05 0.010 0.005 0.001
x 3.841 6.635 7.879 10.828
19.（12 分）
如图，两个棱长均等于 2 的正四棱锥拼接得到多面体 PABCDQ .
（1）求证： PA 平面 QBC ；
（2）求平面 PCD 与平面 QBC 的夹角的正弦值.
20.（12 分）
一个袋子中有 10 个大小相同的球，其中红球 7 个，黑球 3 个.每次从袋中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放
回.
（1）求第 2 次摸到红球的概率；
（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为 P1 ；第 1 次摸到红球的概率为 P2 ；在第 1 次摸到红球的条件下，第 2
次摸到红球的概率为 P3 ；在第 1，2 次都摸到红球的条件下，第 3 次摸到红球的概率为 P4 .求 P1, P2 , P3 , P4 ；
（3）对于事件 A, B,C ，当 P AB 0 时，写出 P A, PBA, PCAB, P ABC 的等量关系式，并
加以证明.
21.（12 分）
sin B C b c
ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c .已知 b 3, .
sinB sinC a c
（1）若 C ，求 a ；
6
2
（2）点 D 是 ABC 外一点， AC 平分 BAD ，且 ADC ，求 BCD 的面积的取值范围.
3
22.（12 分）
2 2 2 2
动圆 C 与圆 C1 : (x 5) y 4 和圆 C2 : (x 5) y 4 中的一个内切，另一个外切，记点 C 的轨迹
为 E .
（1）求 E 的方程；
3 3
（2）已知点 M 1,t t , x 轴与 E 交于 A, B 两点，直线 AM 与 E 交于另一点 P ，直线 BM 与 E 交
4 2
49
于另一点 Q ，记 ABM , PQM 的面积分别为 S , S .若 S S ，求直线 PQ 的方程.
1 2 2 15 1