高三数学
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1 2i
1.已知复数 z ,则 z
2 i
A. i B. i C. 5i D. 5i
2.已知集合 A x x 4k 1,k Z , B x x 4k 1,k Z ,则 R (A B)
A.x x 4k,k Z B.x x 4k 2,k Z C.x x 2k,k Z D.x x 2k 1,k Z
3.已知由小到大排列的 4 个数据 1,3,5,a,若这 4 个数据的极差是它们中位数的 2 倍,则这 4 个数据的
第 75 百分位数是
A.9 B.7 C.5 D.3
1
4.函数 f x aln x 的图象不可能是
x
A. B.
C. D.
1 1 1 1 1
5.在等比数列an 中, a1 a2 a3 a4 a5 11, a3 4 ,则
a1 a2 a3 a4 a5
31 31 11 11
A. B. C. D.
32 32 16 16
6.已知 tan 2 ,则 cos 的值为
2 4
4 3 4 3
A. B. C. D.
5 5 5 5
7.以抛物线 C 的顶点 O 为圆心的单位圆与 C 的一个交点记为点 A,与 C 的准线的一个交点记为点 B,当点
A,B 在抛物线 C 的对称轴的同侧时,OAOB,则抛物线 C 的焦点到准线的距离为
2 3 2 5 8 15 8 17
A. B. C. D.
3 5 15 17
8.如图,将正四棱台切割成九个部分,其中一个部分为长方体,四个部分为直三棱柱,四个部分为四棱
锥.已知每个直三棱柱的体积为 3,每个四棱锥的体积为 1,则该正四棱台的体积为
A.36 B.32 C.28 D.24
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有
多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分.请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑.
9.已知函数 f x cosx , 0 , g x 是 f x 的导函数,则下列结论正确的是
A. f x 与 g x 对称轴相同 B. f x 与 g x 周期相同
C. f x g x 的最大值是 D. f x g x 不可能是奇函数
2
2 2 2 2
10.已知圆 C1 : x 2 y 1,圆 C2 : x 3 y 4 ,P,Q 分别是 C1 , C2 上的动点,则下列结
论正确的是
A.当 C1PC2Q 时,四边形 C1C2QP 的面积可能为 7
B.当 C1PC2Q 时,四边形 C1C2QP 的面积可能为 8
C.当直线 PQ 与 C1 和 C2 都相切时, PQ 的长可能为 2 6
D.当直线 PQ 与 C1 和 C2 都相切时, PQ 的长可能为 4
11.已知函数 f x , g x 的定义域均为 R,且 f x g 2 x 5 , g x f x 4 7 .若 x 2 是
g x 的对称轴,且 g 2 4 ,则下列结论正确的是
A. f x 是奇函数 B. 3,6 是 g x 的对称中心
22
C.2 是 f x 的周期 D. g k 130
k 1
12.如图几何体是由正方形 ABCD 沿直线 AB 旋转 90得到的,已知点 G 是圆弧 CAE 的中点,点 H 是圆弧
DAF 上的动点(含端点),则下列结论正确的是
A.存在点 H,使得 CH平面 BDG
B.不存在点 H,使得平面 AHE平面 BDG
7
C.存在点 H,使得直线 EH 与平面 BDG 的所成角的余弦值为
3
1
D.不存在点 H,使得平面 BDG 与平面 CEH 的夹角的余弦值为
3
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
x2 y2
13.双曲线 C: 1( a 0 , b 0 )的渐近线方程为 y 2x ,则其离心率 e .
a2 b2
14. 已 知 向 量 a 1,2 , b 2,1 , 则 使 a b a b 0 成立的一个充分不必要条件
是 .
15.用试剂 a 检验并诊断疾病 b,A 表示被检验者患疾病 b,B 表示判断被检验者患疾病 b.用试剂 a 检验并
诊断疾病 b 的结论有误差,已知 PB A 0.9 , PB A 0.8 ,且人群中患疾病 b 的概率 P A 0.01
.若有一人被此法诊断为患疾病 b,则此人确实患疾病 b 的概率 P A B .
16. 若 函 数 f x x2 2x x2 ax b 的 图 象 关 于 x 2 对 称 , 则 a b , f x 的 最 小 值
为 .
四、解答题:本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,18、19、20、21、22 题各 12 分,共 70 分.解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,
超出指定区域的答案无效.
17.(本小题满分 10 分)
1
数列a 的前 n 项积为T ,且满足T n 1n 2 .
n n n 2
(1)求数列an 的通项公式;
n
(2)记 bn 1 ln an ,求数列bn 的前 2n 项和 S2n .
18.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, PB PD .
(1)证明:平面 PAC平面 PBD.
(2)若 PA 2 , PB BD ,点 E,F 分别为 PB,PD 的中点,求点 E 到平面 ACF 的距离.
19.(本小题满分 12 分)
在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2a c 2bcosC .
(1)求 B;
(2)若 b 3 ,且 D 为ABC 外接圆劣弧 AC 上一点,求 AD 2DC 的取值范围.
20.(本小题满分 12 分)
x2 y2 2
已知椭圆 C: 1( a b 0 ),连接 C 的四个顶点所得四边形的面积为 2 2 ,且离心率为 .
a2 b2 2
(1))求椭圆 C 的方程;
(2)经过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率不为零的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,试问轴上是否存在定点 T,使
得TAB 的内心也在 x 轴上?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分 12 分)
某区域中的物种 C 有 A 种和 B 种两个亚种.为了调查该区域中这两个亚种的数目比例(A 种数目比 B 种数目
少),某生物研究小组设计了如下实验方案:在该区域中有放回的捕捉 50 个物种 C,统计其中 A 种数目,
以此作为一次试验的结果;重复进行这个试验 n 次(其中 n N * ),记第 i 次试验中的 A 种数目为随机变
1 n
量 ( , ,…, );记随机变量 ,利用 的期望 和方差 进行估算.设
X i i 1 2 n X X i X E X D X
n i1
该区域中 A 种数目为 M,B 种数目为 N,每一次试验都相互独立.
( )已知 , ,证明: ,
1 E X i X j E X i E X j D X i X j D X i D X j E X E X i
1
D X D X ;
n 1
(2)该小组完成所有试验后,得到 X i 的实际取值分别为 xi ( i 1,2…n),并计算了数据 xi ( i 1,2…,
10.5
n)的平均值 x 和方差 s2 ,然后部分数据丢失,仅剩方差的数据 s2 .
n
M
()请用 x 和 s2 分别代替 E X 和 D X ,估算 和 x ;
N
()在()的条件下,求 X1 的分布列中概率值最大的随机事件X1 k 对应的随机变量的取值.
22.(本小题满分 12 分)
a x 1
已知函数 f x ( a 0 ).
ex1
(1)讨论 f x 的单调性;
1
(2)若方程 f x x 1 0 有 x , x 两个根,且 x x 0 ,求实数 a 的值.
e 1 2 1 2