高三数学 2024.01.22
注 意 事 项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求；
1．本卷共6 页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第 12题)、填空题(第
13题~第 16题)、解答题(第 17题~第 22题)．本卷满分 150 分，答题时间为 I20 分钟．答题
结束后，请将答题卡交回，
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在各题
来的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须
用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合UR，集合M{x|log 2x1}，N{x|x1}，则集合{x|0x1}
A．MN B．MN C．(CUM)N D．(CUN)M
2．设i 为虚数单位，复数z 满足(3i)z42i，则|z|
A． 2 B． 3 C．2 D．4
3．2023年9月 28 日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速
铁路，沪宁沿江高速铁路共设8 座车站(如图)．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙
两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，
乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，
则甲比乙晚下车的概率为
(第3 题图)
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3 1 1 3
A． B． C． D．
20 4 20 8
4．已知函数f(x)cos(x )1(0)的最小正周期为，则f(x)在区间[0， ]上的最大值
3 2
为
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
5．在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC ，BC2AD2AB2，以下底BC 所在直线为轴，
2
其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为
2 4 5
A． B． C． D．2
3 3 3
2 2
6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知A 是圆C 1：x(y3) 1 上的一点，B，C 是圆C 2：(x
4)2y24 上的两点，则BAC 的最大值为
2
A． B． C． D．
6 3 2 3
2a1 3b1 4c1
7．已知正实数a，b，c 满足 2aa， 3bb， 4cc，则a，b，c 的大
a b c
小关系为
A．cba B．abc C．acb D．bac
8．若 sin 是函数f(x)ax 3bx1(a，bN*)的一个零点，则f(1)
10
A．2 B．3 C．4 D．5
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知a，bR，则“ab”的充分不必要条件有
1 1
A． B．lgalgb
a b
C．a3b3 D．a3a2b
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l：yx2 经过抛物线C：y 22px(p0)的焦点，
l 与抛物线相交于A，B 两点，则
． ．
A p 2 B |AB| 16
C．线段AB 的中点到y 轴的距离为 6 D．OAOB
1
11．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知函数y (x0)的图象为曲线C，点B 1，B2，
x
B3，…在C 上，点A 1，A2，A3，…在x 轴上，且OB 1A1，A1B2A2，A2B3A3，…分
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别是以B 1，B2，B3，…为直角顶点的等腰直角三角形．记点A i，Bi 的横坐标分别为a i，
bi(i1，2，3，…，n，…)，则
(第 11 题图)
2
A．|A B | B．a 2 3
1 2 3
2
1 00 1
2
C．{an }为等差数列 D．i 10
1
b i
12．如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知AB2，BC 3，AA11，P 为棱C 1D1 的
中点，Q 为底面 ABCD上(含边界)的一动点．记点Q 轨迹的长度为L，则下列说法正确
的有
(第 12 题图)
A．若PQB 1C，则L2
5
B．若PQ平面A 1BC1，则L
2
C．若PQ 2，则L
3
D．若C 到平面A 1PQ 的距离为 ，则L2
2
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。
13．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了 20 根棉花的纤维长
度(单位：mm)，按从小到大排序结果如下：25 28 33 50 52 58 59 60 61 62
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195，则估计这批棉花的第 45 百分位数
为 ．
7 2 8
14．已知(xa)(x1) a0a1xa2x …a8x ，且a 113，则a ．
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3
15．已知单位向量a，b 的夹角为，向量c ba，若|c|Z，则 cos ．(写出一
2
个可能值)
x y
16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C： 1(a0，b0)的右焦点为F，过O
a b
的直线l与C 的左、右两支分别交于A，B 两点，若FBAB，AFBAOF，则
C 的离心率为 ．
四、解答题：本题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
霹雳舞在 2023 年杭州举办的第 19 届亚运会中首次成为正式比赛项目．某学校为了解学
生对霹雳舞的喜爱情况，随机调查了 100 名学生，统计得到如下22 列联表：
男生 女生 总计
喜爱 40 20 60
不喜爱 20 20 40
总计 60 40 100
(1)请你根据22 列联表中的数据，判断是否有 90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性
别有关”；
(2)学校为增强学生体质，提高学生综合素质，按分层抽样从调查结果为“喜爱”的学
生中选择6 人组建霹雳舞社团，经过训练后，再随机选派2 人参加市级比赛，设X
为这2 人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望．
n(adbc)2
2
附：K ，其中nabcd．
(ab)(cd)(ac)(bd)
2
P(K k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
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18．(12分)
cosB cosA3cosC
在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ．
b 3ca
(1)求证：c3a；
(2)若点D 在边AB 上，且BD2DA，CD2，AC 11，求ABC 的面积．
19．(本小题满分 12分)
已知等差数列{an}的公差为d，且d0，设S n 为{an}的前项和，数列{bn}满足b n4Sn
2n(nN*)．
(1)若a 11，d1，且b nan，求n；
n
(2)若数列{ b}也是公差为d 的等差数列，求数列{(1) bn}的前n 项和T n．
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20．(12分)
如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为平行四边形，AB2，AD2 2，ABD
90，矩形 BDEF 所在平面与底面 ABCD 垂直，M为CE 的中点．
(1)求证：平面 BDM平面 AEF；
10
(2)若平面 BDM 与平面 BCF 夹角的余弦值为 ，求CE 与平面 BDM 所成角的正弦值．
5
(第 20 题图)
21．(12分)
lnx1
已知函数f(x) ．
e
(1)求f(x)的极值；
2ln21 1
(2)证明：f(x) ．
e 4
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22．(12分)
x y
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆： 1(ab0)经过点A(4，0)，B(2，3)，
a b
直线AB与y 轴交于点P，过P 的直线l与交于C，D两点(异于A，B)，记直线AC和直
线BD 的斜率分别为k 1，k2(k1k20)．
求 的标准方程；
(1)
2 1
求 的值；
(2)
k1 k2
(3)设直线AC 和直线BD 的交点为Q，求证：Q 在一条定直线上．
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{#{QQABIQoAogiAAgAAAAhCAwFKCkCQkAGAAIoGRBAIsAAASRFABAA=}#}
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