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文科数学答案解析与评分标准
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的交集运算等
基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。
1 1 1
【解析】集合 A = x|-1 2 2 2 2．【答案】C 【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统 计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养。 【解析】根据图表可知，共有 10 个月的 PMI 小于 50，所以各月的 PMI 的中位数小于 50，A 错 误；2022 年第四季度各月的 PMI 比 2023 年第一季度各月 PMI 的波动大，则方差也大，故 B 错 误；2023 年第 1 季度各月 PMI 均大于 50，则各月经济总体较上月扩张，C 正确；同理 D 错误． 3．【答案】C 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的代数运算和数量积运算，两个 向量垂直等基础知识，考查数学运算等数学核心素养． 3 【解析】由已知得 a + 2b = (1，2 + 2t)，因 a+2b a，故 (a + 2b) a =-1 + 4 + 4t = 0，得 t =- ． 4 4．【答案】A 【考查意图】本小题设置数学应用情境，以体育锻炼为背景，主要考查概率等基础知识，考查 概率统计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养。 【解析】依题意，该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动有 38 + 37 - 60 = 15 （名），故从该班随机抽取一名同学，该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率 15 1 为 = ． 60 4 5．【答案】D 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前 n 项和与通项公式等基础知识，考 查化归与转化、函数与方程等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 2 【解析】设数列 an 的公比为 q(q >0)，由 a1 = 2，S3 = 26 得 2 + 2q + 2q = 26，解得 q = 3，q n-1 =-4（舍去），所以数列 an 的通项公式为 an = 2 3 ． 6．【答案】A 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性 质等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，考查数学运算等数学核心素养。 【解析】该双曲线的渐近线方程为 y = 3 x，则 3 = 3 ，可解得 a =-1． a+2 a+2 7．【答案】B 【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知 识；考查数学运算、数学抽象等数学核心素养。 3 4 n+1 【解析】易知程序框图的功能是求 S = lg2 + lg + lg ++lg = lg n+1 ，由 S = lg n+1 2 3 n 文科数学 第1页，共8页 {#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#} 2 得 n 99，所以输出 n = 99． 8．【答案】A 【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化、指数函数与对数函数 的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心 素养。 2 【解析】依题意，a = log >1；b = log 3，且 0< b< 1；c = ln< 0．所以 a >b >c． 3 4 2 9．【答案】A 【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数、幂函数构成的复合型函数为载体，主要 考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想，考查直观想象、 逻辑推理等数学核心素养。 2-x-1 1-2x 2x-1 【解析】依题意，f (-x) = (-x3 + 3x) = (-x3 + 3x) = (x3 - 3x) = 2-x+1 1+2x 2x+1 2x-1 f (x)，可知 f (x) 为偶函数，排除 C，D；当 x >0 时， >0，若 0< x< 3 时，x3 - 3x< 0，则 2x+1 f (x)< 0，x >3 时，x3 - 3x >0，则 f (x)< 0，B 不符题意，故选 A． 10．【答案】C 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数的图象与 性质等基础知识；考查数形结合思想，考查数学运算素养、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】函数 y = 3 sinx + cosx = 2sin x+ 图象向左平移 个单位长度后，得 y = 6 6 2sin[(x + ) + ] 的图象，由已知得 2sin[(x + ) + ] = 2cos(x + )，所以 sin[(x + ) + 6 6 6 6 6 6 ] = cos(x + )，所以 = 2k + ，k Z，所以 = 12k + 3，k Z，因为 >0，所以 的最 6 6 6 2 小值为 3． 11．【答案】D 【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体及其截面的主要考查空间点、线、面 位置关系等基础知识，主要考查直观想象、推理论证等数学核心素养。 【解析】对于 A，易知平面 为平面 AB1D1 或与其平行的平面，故 M 只能为三角形或六边 形 ，A，B 均 错 误 ；对于 C，当 M 为三角形时，周长最大值为 3 2 ，M 为 六 边 形 时 ， LP KO MN ，设 KD = x，则 AK = 1 - x，KL = 2 (1 - x)，KM = 2 x，周长为 3[ 2 (1 - x) + 2 x] = 3 2 ，故 M 的周长的最大值为 3 2 ，C 错误；对于 D，很明显，当 M 为六边形时，面积最 6 6 大，该六边形可由两个等腰梯形构成，KO = 2 ，两个等腰梯形的高分别为 1-x ， x， 2 2 1 6 1 6 3 则 S = 2x+ 2 1-x + 2 1-x + 2 x = (-2x2 + 2x + 1) = 四边形LKOP 2 2 2 2 2 1 2 3 3 1 - 3 (x- ) + ，当且仅当 x = 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最 2 4 2 大． P 文科数学 第2页，共8页 {#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#} 12．【答案】A 【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程、导数综合应用问题，主要考 查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等 思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】依题意，f (x) = (x + 2)ex，可知 x<-2 时，f (x)< 0，f (x) 单调递减，x >-2 时，f (x) > 0，f (x) 单调递增；又 g(x) = lnx + 2，0< x< e-2 时，g(x)< 0，g(x) 单调递减，x >e-2 时，g(x) >0， x1 g(x) 单调递增．因为 f (x1) = g(x2) = t(t >0)，所以 (x1 + 1)e = x2(lnx2 + 1) = t(t >0)，可知 x1 >-1， 1 1+ lnt 1+ lnt 1+ lnt 1+ lnt x2 >，且 x1 = lnx2 ，所以 2 2 = 2 2 = 2 ，令 h(t) = 2 (t >0)，则 h (t) e (x1+1) x2 (lnx2 +1) x2 t t -1-2lnt - 1 - 1 - 1 - 1 = ，当 0< t< e 2 ，h(t) >0，当 t >e 2 ，h(t)< 0，故 t = e 2 时，h(t) 取极大值 h(e 2 ) t3 e = ，也即为最大值． 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】1 - 3i 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查 化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。 4 4 【解析】 = = 1 - 3i． z 1+ 3i 14．【答案】26 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质、前 n 项和等基础知识； 考查数学运算等数学核心素养。 【解析】因为 an 为等差数列，由 a4 - a8 + a11 = 2 可得 a7 - a8 + a8 = 2，所以 a7 = 2，则 S13 = 13a +a 1 13 = 13a = 26． 2 7 4 2 15．【答案】 3 【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成 的角、三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、 数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】如图 ，取 AB 的中点 F ，连接 DF 交 AE 于点 H ．由翻折前后的不变性可知， PH AE；易知四边形 DEFA 为正方形，则 DF AE．因此，当平面 PAE 平面 ABCE 时，PH 1 4 2 平面 ABCD．由题意可知，S = 4，V = 2 4 = ． ABC 三棱锥P-ABC 3 3 16．【答案】(2，1) 【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定 义、标准方程和几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合、化归与 转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 文科数学 第3页，共8页 {#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#} x2 【解析】如图 ，设 M (x ， 0 ) ，设 AB 与 MC 交于 H ．根据圆的性质 ，有 AB MC ，且在 0 4 2 RtACM 中，AH MC = AC MA = 2MA = 2 CM -4 ，而 AB = 2AH ，则 AB MC = 2 2AH MC = 4 CM -4 ，所以 ，当 CM 最 小 时 ，AB MC 最 小 ． 而 CM = x2 2 x4 x2 x -0 2+ 0 -3 = 0 - 0 +9 = 1 x2-4 2+8 ，当且仅当 x 2 = 4 时，取得最小值， 0 4 16 2 16 0 0 此时 M (2，1)． y A C H M B O x 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 1721 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主 要考查离直方图识别、统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析、数学建模及数学运算等 数学核心素养。 【解析】（1）因为 a，b，c 是公差为 0.01 的等差数列， 所以 (a + b + c) 5 = (3a + 0.01 3) 5 = 1 -(0.02 + 0.02 + 0.01) 5， 解得 a = 0.04，b = 0.05，a = 0.06． 2 分 （2）因为高度位于区间 [20, 30) 的频率为 (0.02 + 0.05) 5 = 0.35，位于区间 [35，50) 的频 率为 (0.04 + 0.02 + 0.01) 5 = 0.35， 所以，果苗高度的中位数是区间 [30, 35) 的中点，即为 32.5cm． 4 分 由频率分布直方图得，该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为： h = 0.02 5 22.5 + 0.05 5 27.5 + 0.06 5 32.5 + 0.04 5 37.5 + 0.02 5 42.5 + 0.01 5 47.5 = 33(cm)． 8 分 （3）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间 [30, 45) 的频率为： (0.06 + 0.04 + 0.02) 5 = 0.6， 所以，估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间 [30, 45) 的概率为 0. 6． 12 分 18．（12 分） 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，角 平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素 养。 文科数学 第4页，共8页 {#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#} 【解析】 （1）解法一： 1 由 c + b = acosC 及正弦定理， 2 1 可得 sinC + sinB = sinAcosC． 2 分 2 又 sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC， 1 所以 sinC + cosAsinC = 0． 4 分 2 1 又在 ABC 中，sinC 0，故 cosA =- ， 2 2 所以 A = ． 6 分 3 1 解法二：由 c + b = acosC 及余弦定理， 2 1 a2+b2-c2 可得 c + b = a ． 2 分 2 2ab 即 b2 + c2 - a2 =-bc，4 分 b2+c2-a2 1 所以 cosA = =- ． 2bc 2 2 故 A = ． 6 分 3 2 （2）由（1）知 BAC = ，BAD = DAC = ． 3 3 又 b = 3，c = 5，SABC = SABD + SACD，9 分 1 2 1 1 所以 bcsin = c AD sin + b AD sin ． 2 3 2 3 2 3 15 所以 AD = ． 12 分 8 说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 E，则 ADE 为 x 5-x 15 等边三角形（边长为 x），于是 = ，解得 x = ． 3 5 8 19．（12 分） 【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考 查多面体的结构特征、平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化、数形结合等 思想方法，考直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 【解析】（1）因为平面 PAD 平面 PCD，AD PD， 所以 AD 平面 PCD． 又 AD BC， 所以，BC 平面 PCD．4 分 文科数学 第5页，共8页 {#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#} （2） 由（1）可知，AD 平面 PCD，即平面 ABCD 平面 PCD． 过 P 作直线 CD 的垂线，垂足为 H ， 则 PH 平面 ABCD． 由已知，CPD = DCP = 30，PD = 2，则 PDC = 120，PH = 3 ，PA = 2 2 ，AB = 2 2． 显然，PBC 为直角三角形， 则 PB2 = BC2 + PC2，PB = 2 7． 8 分 1 易知，DAB = 135，所以 S = 2 2 2 sin135 = 2，S = 7． DAB 2 PAB 设点 D 到平面 PAB 的距离为 h，由 VD-PAB = VP-ABD， 1 1 则 S h = S PH ， 3 PAB 3 DAB 2 21 解得 h = ． 12 分 7 20．（12 分） 【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，主要考查不等式、函数零点问题，考查 函数性质、导数应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查数学抽象、逻 辑推理、数学运算等数学核心素养。 【解析】（1）当 a = 1，函数 f (x) = x2 + x - lnx - 1(x >0)． 1 2x2+x-1 (2x-1)(x+1) 则 f (x) = 2x + 1 - = = ，2 分 x x x 1 1 可知当 0< x< 时，f (x)< 0，f (x) 单调递减；当 x >时，f (x) >0，f (x) 单调递增． 2 2 1 1 1 则当 x = 时，f (x) 取得极小值 f ( ) = ln2 - ，也即为最小值． 2 2 4 1 所以 f (x) 的最小值为 ln2 - ． 5 分 4 2 （2）由已知，x1，x2 是 f (x) = ax + x - lnx - a 的两个零点． 2 2 则 ax1 + x1 - lnx1 - a = 0，ax2 + x2 - lnx2 - a = 0，两式相减，得 a(x1 + x2)(x1 - x2) + (x1 - x2)-(lnx1 - lnx2) = 0， lnx1-lnx2 整理得 a(x1 + x2) = - 1． 8 分 x1-x2 2 欲证明 a(x1 + x2) + (x1 + x2) >2， lnx1-lnx2 只需证明不等式 ( - 1)(x1 + x2) + (x1 + x2) >2， x1-x2 x ln 1 lnx -lnx x x 即证明 1 2 (x + x ) >2，也即证明 2 ( 1 + 1) >2． x -x 1 2 x x 1 2 1 -1 2 x2 文科数学 第6页，共8页 {#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#} x1 不妨设 0< x1< x2，令 t = ，则 0< t< 1． 10 分 x2 lnt 只需证明 (t + 1) >2，即证明 (t + 1)lnt - 2(t - 1)< 0(0< t< 1) 即可． t-1 1 令 h(t) = (t + 1)lnt - 2(t - 1)(0< t< 1)，则 h(t) = lnt + - 1． t 1 1 1 t-1 又令 u(t) = h(t) = lnt + - 1(0< t< 1)，则 u(t) = - =< 0． t t t2 t2 所以，当 0< t< 1 时，u(x)，即 h(t) 单调递减，则 h(t) >h(1) = 0． 故当 0< t< 1 时，h(t) 单调递增，则 h(t)< h(1) = 0． 2 所以，原不等式成立，故不等式 a(x1 + x2) + (x1 + x2) >2 得证． 12 分 21．（12 分） 【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆 的方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系；考查数形结合、函数与方程、化归与转 化、分类与整合等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 3 4 3 【解析】（1）由题意，曲线 C 的离心率 e = ，d = -x ． 2 3 0 2 2 x0 2 2 4-x0 显然， + y0 = 1，即 y0 = ． 4 4 2 2 4-x0 2 2 2 x0- 3 + 2 2 |MF| x0- 3 +y0 4 又因为 MF = (x - 3) +y ，所以 = = = 0 0 d 2 2 4 3 -x 4 3 -x 3 0 3 0 3 ， 4 MF 3 MF 故 = ，即 = e． 4 分 d 2 d （2）设点 P，Q 的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)． 由题意，当直线 PQ 的斜率不为 0 时，设直线 PQ 的方程为 x = ty + 3． x=ty+ 3 ， 2 2 2 联立方程组 2 消去 x 并整理得，(t + 4)y + 2 3ty - 1 = 0． x + y =1， 4 此方程有两个不等实根，分别为 y1，y2，且满足 2 3t 1 y + y =- ，y y =- ． 7 分 1 2 t2+4 1 2 t2+4 4 3 y1-y2 4 3 由已知，点 R 的坐标为 ，y ，则直线 QR 的方程为 y = (x - ) + y ． 3 1 3 1 4 3 -x 3 2 根据椭圆的对称性可知，如果直线 QR 过定点，则此定点一定在 x 轴上． x y - 4 3 y 4 3 2 1 3 1 令 y = 0，可得 x - = ． 9 分 3 y1-y2 2 3t 而 x = ty + 3 ，y + y =- ，所以 2 2 1 2 t2+4 4 3 3 t 3 x y - y ty y - y - 2 - y1 4 3 2 1 3 1 1 2 3 1 t +4 3 1 3 x - = = = =- =- ． 3 y -y y -y 6 1 2 1 2 2y + 2 3t 2 3 1 t2+4 7 3 此时，x = 为定值． 11 分 6 7 3 当直线 PQ 的斜率为 0 时，直线 QR 与直线 PQ 重合，必然过点 ( ，0)． 6 7 3 综上，直线 QR 过定点，定点的坐标为 ( ，0)． 12 分 6 文科数学 第7页，共8页 {#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#} （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题 计分． 22．[选修 4 4：坐标系与参数方程（] 10 分） 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线 与圆的位置关系等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法；考查数学运算、推理论 证、直观想象等数学核心素养。 【解析】 x=-2+ 2 t， （1）直线 l 的一个参数方程为 2 （t 为参数）． 2 分 y=-4+ 2 t 2 由上，直线 l 与 x 轴的交点坐标 Q2，0 ． 3 分 所以，圆 Q 的极坐标方程为 = 4cos． 5 分 （2）由（1）可知，直线 l 的倾斜角为 45，圆 Q 的圆心为 Q2，0 ，半径为 2． 如图，易知 yM =- 2 ，yN = 2 ，OQ = 2，7 分 1 1 所以 MON 的面积 S = OQ y -y = 2 2 2 = 2 2．10 分 2 M N 2 1 说明：本小题亦可用几何关系求出点 O 到直线 l 的距离 d，用 d MN 求出面积；还可在直 2 角坐标系内用普通方程、在极坐标系内求出点 M ，N 的坐标求解。 23．[选修 4 5：不等式选讲（] 10 分） 【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查均值不等式、不等式证明方法等基 础知识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 【解析】（1）当 x<-1 时，f (x) =-3x + 1 5 - x，解得 -2 x<-1； 当 -1 x 1，f (x) =-x + 3 5 - x，得 -1 x 1； 3 当 x >1 时，f (x) = 3x - 1 5 - x，可得 -1 x ． 2 3 综上所述，f (x) 5 - x 的解集为 {x| -2 x }．5 分 2 （2）由（1）知，x<-1 时，f (x) =-3x + 1 >4；-1 x 1 时，f (x) =-x + 3 2；x >1 时， f (x) = 3x - 1 >2，则 f (x) 的最小值为 2，即 M = 2． 故 a + b = 2，0< a< 2，0< b< 2，7 分 b2 a2 (2-a)2 (2-b)2 4-4a+a2 4-4b+b2 4 4 4 + = + = + = + + (a + b)- 8 = + a b a b a b a b a 4 1 1 b a - 6 = 2( + )(a + b)- 6 = 2( + + 2)- 6 2(2 b a + 2)- 6 = 2， b a b a b a b 当且仅当 a = b = 1 取“=”． b2 a2 所以 + 2． 10 分 a b 文科数学 第8页，共8页 {#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#}