注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号姓名考点学校考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1
1.已知向量 amb==()3,,1, ，若 a b ，则 m = （ ）
3
A.1 B.-1 C.9 D.-9
2.已知等差数列a n 的前 n 项和为 Sn ，若 aa152010+=1，则 S2024 = （ ）
A.1012 B.1013 C.2024 D.2025
3.若虚数单位 i 是关于 x 的方程 axbxbxa32+++= b 10, () R 的一个根，则 ab+=i （ ）
A.0 B.1 C. 2 D.2
1
4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机超过1h ，这些人近视率
5
1 3
约为 ，其余学生的近视率约为 ，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
2 8
1 7 2 7
A. B. C. D.
5 16 5 8
2 3 4 10
xxx x
5. ++++++++111 1 的展开式中含 x 项的系数为（ ）
234 10
A.9 B.10 C.18 D.20
1,x 0
x
6.已知函数 sgn(xx )== 0, 0 ，则“ sgn() e 1 + sgn() x + 1 = 0 ”是“ x 1”的.（ ）
1,x 0
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在同一平面上有相距 14 公里的 AB, 两座炮台， A 在 B 的正东方.某次演习时， A 向西偏北 方向发射炮
弹， B 则向东偏北 方向发射炮弹，其中 为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里外的同一目标，接着 A
改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点 M ，则 B 炮台与弹着点 M 的距离为（ ）
2
A.7 公里 B.8 公里 C.9 公里 D.10 公里
8.将 1 到 30 这 30 个正整数分成甲乙两组，每组各 15 个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小 2，则不同
的分组方法数是（ ）
2 2
A. 7 B. 2CC77 C. 2CC67 D. 7
2(C13 ) 13 14 14 14 2(C14 )
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
2
9.已知函数 fxaa( ) =+ ( R) ，则（ ）
21x
A. fx( ) 的定义域为 (+,00,) ( )
B. fx( ) 的值域为 R
C.当 a =1时， fx( ) 为奇函数
D.当 a = 2 时， fxfx(+=) ( ) 2
10.下列结论正确的是（ ）
A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点 (xyii, ) 都在直线 yx=+0.951 上，则这组样本数据的样本相关
系数为 0.95
B.已知随机变量 N (3,4)，若=+21，则 D() =1
C.在 22 列联表中，若每个数据 a b, , c, d 均变成原来的 2 倍，则 2 也变成原来的 2 倍
2
2 n() adbc
（ = ，其中 n= a + b + c + d ）
(abcdacbd++++)( )( )( )
D.分别抛掷 2 枚质地均匀的骰子，若事件 A = “第一枚骰子正面向上的点数是奇数”， B = “2 枚骰子正面向上
的点数相同”，则 AB, 互为独立事件
11.已知圆 C: x22+ y 10 x + 13 = 0 ，抛物线Wyx:42 = 的焦点为 FP, 为W 上一点（ ）
A.存在点 P ，使 PFC 为等边三角形
B.若 Q 为 C 上一点，则 PQ 最小值为 1
C.若 PC = 4 ，则直线 PF 与 C 相切
D.若以 PF 为直径的圆与 C 相外切，则 PF =22 12 3
三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
12.集合 AxxBx=={lg1},1 ，则 AB=R __________.
x
xy22
13.已知 FF12, 是双曲线 Cab:1(0,0)= 的左右焦点，点 P t( t t 3 , ( 0)) 在 C 上.
ab22
tan23 FFP12 =+ ，则 C 的离心率为__________.
14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠
的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的
高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图 1，一个球面的半径为 R ，球冠
1
的高是 h ，球冠的表面积公式是 S R= h2 ，与之对应的球缺的体积公式是VhRh= 2 (3 ) .如图 2，已知
3
CD, 是以 AB 为直径的圆上的两点， AOCBODS=== ,6 ，则扇形 C O D 绕直线 AB 旋转
3 扇形COD
一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知向量 axxbxx==(cos ,2sin,2cos) ,3cos( ) ，函数 fxab( ) =.
11
（1）若 fx( 0 ) = ，且 x0 , ，求 cos2x0 的值；
5 63
（2）将 fx( ) 图象上所有的点向右平移 个单位，然后再向下平移 1 个单位，最后使所有点的纵坐标变为原
6
1 1
来的 ，得到函数 g(x) 的图象，当 x , 时，解不等式 g( x)… .
2 63 2
16.（15 分）
某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如
下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现 3 的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步
骤，当参加游戏的学生位于第 8第 9 或第 10 级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第 8 级
台阶可获得一本课外读物，位于第 9 级台阶可获得一套智力玩具，位于第 10 级台阶则认定游戏失败.，
（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第 X 级台阶，求 X 的分布列及数学期望 EX()；
（2）甲乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；
17.（15 分）
如图，在直三棱柱 ABC A B C111 中， ABBCAA=== 2,3 1 ，点 DE, 分别在棱 AA11 CC, 上，
ADDACEECF==2,2, 11 为 BC11的中点.
（1）在平面 AB B11 A 内，过 A 作一条直线与平面 D E F 平行，并说明理由；
（2）当三棱柱 ABCA B111 C 的体积最大时，求平面 D E F 与平面 ABC 夹角的余弦值.
18.（17 分）
已知函数 f( x) =+ x2 (ln x a) .
（1）若 a =1，求曲线 yfx= ( ) 在点 (1,1f ( )) 处的切线方程；
（2）讨论 fx( ) 的单调性；
1 21a+
（3）若存在 xx12,+( 0, ) ，且 xx12 ，使得 fxfx( 12) = ( ) ，求证： e .
xx12
19.（17 分）
22 22
动圆 C 与圆 Cxy1 : (2)50++= 和圆 Cxy2 : (2)2+= 都内切，记动圆圆心 C 的轨迹为 E .
（1）求 E 的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 AxBxy22+++++=2220 CyDxEy F ，则曲线上
一点 (xy00, ) 处的切线方程为： AxxBxy000000+++++( ++ yx) + CyyDx = ( x) Ey( y) F 0 ，试运用该性
质解决以下问题：点 P 为直线 x = 8上一点（ P 不在 x 轴上），过点 P 作 E 的两条切线 PA, PB ，切点分别
为 AB, .
（i）证明：直线 AB 过定点；
（ii）点 A 关于 x 轴的对称点为 A，连接 AB 交 x 轴于点 M ，设 AC M22 BC, M 的面积分别为 SS12, ，求
SS12 的最大值.