数学（理科）试题
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．其中第卷解答题又分必考题和选
考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无
效．本试卷满分 150 分．考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择
题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书
写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的．
1．若集合 A x x2 2x 3 0, B 1,0,1,2 ，则 A B （ ）
A．0,1,2 B．x 1 x 3 C．1,0,1,2 D．1,0,1
2．在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 2,3,i 为虚数单位，则 iz （ ）
A． 2 3i B． 2 3i C． 3 2i D． 3 2i
3．2023 年 3 月 11 日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人
深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二
是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图 1 是“奋斗者”号模型
图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图 2 所示，则该模型球舱体积为（ ） cm3 ．
100 103 106 104
A． B． C． D．
3 3 3 3
4．已知各项均为正数的等比数列 an ， 满 足 a2024 a2023 2a2022 ， 若 存 在 不 同 两 项 am ,an 使 得
1 4
a a 2a ，则 的最小值为（ ）
m n 1 m n
7 9 13
A．9 B． C． D．
3 4 3
lgx, x 1
5．已知函数 f x ，则（ ）
lg2 x, x 1
A． f x 存在最小值
B． f x 在1, 上是增函数，在 ,1 上是减函数
C． f x 的图象关于直线 x 1对称
D． f x 的图象关于点 1,0 对称
6．函数 f x sin x 0, 的最小正周期为 ，其图象向左平移 个单位长度后关于原点
2 6
对称，则函数 f x 在 0, 上的最小值为（ ）
2
1 3 1 3
A． B． C． D．
2 2 2 2
7．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒 3 盒、莲花清瘟胶囊 2 盒、清开灵颗粒 5 盒．若这三
2 3 4
类药物能治愈感冒的概率分别为 , , ，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的
3 4 5
概率为（ ）
1 1 3 4
A． B． C． D．
10 2 4 5
8．已知两条直线 m、n ，两个平面、 ，给出下面四个命题：
,m ,n mn ； mn,m n ；
mn,m n ； ,mn,m n ．
其中真命题的序号有：（ ）
A． B． C． D．
x2 y2
9．已知直线 l : y x 2 与双曲线 C : 1a 0,b 0 交于 A、B 两点，点 M 1,3 是弦 AB 的中
a2 b2
点，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A．2 B． 2 C． 3 D．3
2tanAtanB
10．在 ABC 中， a,b,c 分别是角 A, B,C 的对边，若 a2 b2 2025c2 ，则 的值为
tanC tanA tanB
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
11．记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a10 0,a11 0 ，且 a11 a10 ，则数列 Sn 中最大的负数为
（ ）
A． S17 B． S18 C． S19 D． S20
12．已知函数 f x lnx ax2 ，若 f x 至多有一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． , B． , ,0 C． 0, D． ,
2e 2e 2e 2e
第卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．已知向量 a,b ，且 a 1, b 2 2, 2a b 2 5 ，则向量 a 与 b 的夹角为______．
14．已知样本 9,10,11, x, y ，的平均数为 10，则该样本方差的最小值为______．
2
15．直线 y kx 1与圆 x2 y 3 4 相交于 M , N 两点，若 MN 2 3 ，则 k ______．
3
．已知定义在 上的奇函数 ，满足 为数列 的前 项和，且
16 R f x f x f x, f 2 3, Sn an n
2
Sn 2an n ，则 f a5 f a6 ______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（一）必考题：共 60 分
17．（本小题满分 12 分）
目前，随着人们的生活节奏的加快，人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化．某公司为了了解员工上个月
上、下班时 A, B 两种交通工具乘坐情况，从全公司所有的员工中随机抽取了 100 人，发现样本中 A, B 两种
交通工具都不乘坐的有 5 人，样本中仅乘坐 A 和仅乘坐 B 的员工月交通费用分布情况如下：
交 通 费 用 大于 600
0,400 400,600
（元）
交通工具
仅乘坐 A 18 人 9 人 3 人
仅乘坐 B 10 人 14 人 1 人
（1）从全公司员工中随机抽取 1 人，估计该员工上个月 A, B 两种交通工具都乘坐的概率；
（2）从样本中仅乘坐 A 和仅乘坐 B 的员工中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月交通费用大于 400
元的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本中的员工乘坐交通工具方式在本月没有变化．现从样本中仅乘坐 A 的员工中随机抽查
3 人，发现他们本月交通费用都大于 600 元．根据抽查结果，能否认为样本中仅乘坐 A 的员工中本月交通费
用大于 600 元的人数有变化？请说明理由．
18．（本小题满分 12 分）
ABC 中， D 为 BC 边的中点， AD 1
2
（1）若ABC 的面积为 2 3 ，且 ADC ，求 sin C 的值；
3
（2）若 BC 4 ，求 cosBAC 的取值范围．
19．（本小题满分 12 分）
在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， PD 平面 ABCD, PB AC
（1）证明： PA PC ；
（2）若 PD 1,DAB 60 ，当 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值最大时，求四棱锥 P ABCD 的体积．
20．（本小题满分 12 分）
x2 y2 3
已知椭圆 C : 1 a b 0 经过点 B 1, ，下顶点 A 为抛物线 x2 4y 的焦点．
2 2
a b 2
（1）求椭圆 C 的方程；
1
（2）若点 P x , y ,Q x , y y y 均在椭圆 C 上，且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为 ，
1 1 2 2 1 2 2
）．求证：直线 PQ 过定点；
）．当 OP AQ 时，求直线 PQ 的方程．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 F x x2 ,G x alnx.a R
（1）若 F x 和 G x 的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求 a 值；
（2）求证：当 0 a 2e 时， F x 的图象恒在 G x 的图象的上方；
（3）令 f x F x G x ，若 f x 有 2 个零点 x1, x2 ，试证明 x1 x2 2a
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一
题计分．作答时请先涂题号．
22．（选项 4-4 坐标系与参数方程）（本小题满分 10 分）
1
x t
2
在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴非负半轴
3
y t
2
2
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos 2 3sin 6 0 ．
（1）求曲线 C1 与曲线 C2 的交点的直角坐标；
（2）将曲线 C 绕极点按逆时针方向旋转 得到曲线 C ，求曲线 C 的直角坐标方程．
2 2 3 3
23．（选项 4-5 不等式选讲）（本小题满分 10 分）
已知函数 f x 2x 1 2x 2 ．
（1）求 f x 的最小值；
（2）若 x 0 时， f x ax b 恒成立，求 a b 的最小值．
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