高三数学试卷
考生注意：1.本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟；
2.请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6 题每个
空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分．
1.已知集合 A 0,1,2 ，集合 B x 2x 3 ，则 ABI ．
2.若复数 z 1 2i （ i 是虚数单位），则 z z z ．
3.已知等差数列an 满足 a1 a 6 12 ， a4 7 ，则 a3 ．
5
2 1 4
4. 3x 的二项展开式中 x 项的系数为 ．（用数值回答）
x
5.已知随机变量 X 服从正态分布 N 95, 2 ，若 PX(75 115) 0.4，则 PX115 ．
2
8
6.已知 y f x 是奇函数，当 x 0 时， f x x 3 ，则 f 的值是 ．
125
7.某校面向高一全体学生共开设 3 门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为
6 :3:1，考核优秀率分别为 20%、16%和 12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是
优秀的概率为 ．
2 2 2 2 2
8.已知圆 C1 : x y 2 ax a 1 0 （ a 0 ），圆 C2 : x y 4 y 5 0 ，若两圆相交，则实数 a 的取值范
围为 ．
9.已知 f x 2x x ，则不等式 f2 x 3 3 的解集为 ．
10.如图，有一底面半径为 1，高为 3 的圆柱．光源点 A 沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截
面的中心．当光源点 A 沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为____________．
x2 y 2 2 21
11.已知双曲线 1a 0, b 0 的焦点分别为 F1 、F2 ，M 为双曲线上一点，若 FMF1 2 = ，OM= b ，
a2 b 2 3 3
则双曲线的离心率为 ．
r r r r uuur r uuur r r uuur r uur
12．正三棱锥 S ABC 中，底面边长 AB 2 ，侧棱 AS 3 ，向量 a ，b 满足 a() a + AC = a AB ，b() b + AC = b AS ，
r r
则 a b 的最大值为 ．
二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，
将代表答案的小方格涂黑，13-14 题每题选对得 4 分，15-16 题每题选对得 5 分，否则一律得零分．
13.“ a 1”是“直线 ax2 y 2 0 与直线 x a 1 y 1 0 平行”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．已知 a R ，则下列结论不恒成立的是（ ）．
1 1 1
A． a1 a B． a + 2 C. a1 a 2 3 D． sina 0
4 a 2 sin a
15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千
克）的散点图．若去掉图中右下方的点 A 后，下列说法正确的是（ ）．
A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
m m1
16.设 fxaxax0 m m 1 L axaa 1 0 ( m 0, m 10， mZ ) ，记 fn x f n1 x ( n 1,2,L , m 1) ，令
有穷数列 bn 为 fn x 零点的个数 n1,2,L , m 1 ，则有以下两个结论：
存在 f0 x ，使得 bn 为常数列；
存在 f0 x ，使得 bn 为公差不为零的等差数列．
那么（ ）．
A．正确，错误 B．错误，正确 C．都正确 D．都错误
三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的
步骤．
17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知函数 y f x ，其中 f x sin x ．
3
（1）求 f x 在 x0, 上的解；
4 2
1
（2）已知 g( x ) 3 f ( x ) f x f x f x ，若关于 x 的方程 g x m 在 x 0, 时有解，
2 2 2
求实数 m 的取值范围．
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 等 腰 梯 形 ， 平 面 PAD 底 面 ABCD ， 其 中 AD BC ，
AD2 BC 4 ， AB 3 , PA PD 2 3 ，点 E 为 PD 中点．
（1）证明： EC 平面 PAB ；
（2）求二面角 P AB D 的大小．
19．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分．
某商店随机抽取了当天 100 名客户的消费金额，并分组如下： 0,200 ， 200,400 ， 400,600 ，…，
1000,1200 （单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若该店当天总共有 1350 名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于 800 元；
（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于 800 元的客户中共抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人做进一
步调查，则抽到的 2 人中至少有 1 人的消费金额不少于 1000 元的概率是多少；
（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．
方案一：消费金额每满 300 元可立减 50 元，并可叠加使用；
1
方案二：消费金额每满 1000 元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响．中奖 1 次当天
3
消费金额可打 9 折，中奖 2 次当天消费金额可打 6 折，中奖 3 次当天消费金额可打 3 折．
若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价 1000 元，请帮助他选择合适的促销方案并说
明理由．
20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．
x2
已知椭圆 C: y 2 1 ，点 F 、 F 分别为椭圆的左、右焦点．
2 1 2
（1）若椭圆上点 P 满足 PF2 F 1 F 2 ，求 PF1 的值；
（2）点 A 为椭圆的右顶点，定点T t,0 在 x 轴上，若点 S 为椭圆上一动点，当 ST 取得最小值时点 S 恰与点 A
重合，求实数 t 的取值范围；
（3）已知 m 为常数，过点 F2 且法向量为 1, m 的直线 l 交椭圆于 M 、 N 两点，若椭圆 C 上存在点 R 满足
uuur uuur uuur
OR OM ON （ ， R ），求 的最大值．
21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．
已知函数 y f x 及其导函数 y f x 的定义域均为 ．设 ，曲线 y f x 在点 x, f x 处的
D x0 D 0 0
切线交 x 轴于点 x1,0 ．当 n 1时，设曲线 y f x 在点 xn, f x n 处的切线交 x 轴于点 xn1,0 ．依此类推，
称得到的数列xn 为函数 y f x 关于 x0 的“ N 数列”．
1
（1）若 f x ln x ，x 是函数 y f x 关于 x 的“ N 数列”，求 x 的值；
n 0 e 1
2 xn 2
（2）若 f x x 4 ，xn 是函数 y f x 关于 x0 3的“ N 数列”，记 an log3 ，证明：an 是等
xn 2
比数列，并求出其公比；
x
（3）若 f x ，则对任意给定的非零实数 a ，是否存在 x0 0 ，使得函数 y f x 关于 x0 的“ N 数
a x2
列”xn 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的 x0 ；若不存在，请说明理由．
浦东新区 2023 学年度第二学期期中教学质量检测
高三数学试卷
考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6 题每个
空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分．
1.已知集合 A 0,1,2 ，集合 B x 2x 3 ，则 ABI ．
【答案】：
2
2.若复数 z 1 2i （ i 是虚数单位），则 z z z ．
【答案】： 4 2i
3.已知等差数列an 满足 a1 a 6 12 ， a4 7 ，则 a3 ．
【答案】： 5
5
2 1 4
4. 3x 的二项展开式中 x 项的系数为 ．（用数值回答）
x
【答案】： 270
2
5.已知随机变量 X 服从正态分布 N 95, ，若 PX(75 115) 0.4 ，则 PX( 115) ．
【答案】： 0.3
2 8
6.已知 y f x 是奇函数，当 x 0 时， 3 ，则 f 的值是 ．
f() x x 125
【答案】： 4
25
7.某校面向高一全体学生共开设 3 门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为
6 :3:1，考核优秀率分别为 20% 、16% 和12% ，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩
是优秀的概率为 ．
【答案】： 0.18
2 2 2 2 2
8.已知圆 C1 : x y 2 ax a 1 0 （ a 0 ），圆 C2 : x y 4 y 5 0 ，若两圆相交，则实
数 a 的取值范围为 ．
【答案】： (0,2 3)
9.已知 f( x ) 2x x ，则不等式 f(| 2 x 3|) 3 的解集为 ．
【答案】： (1,2)
10.如图，有一底面半径为1，高为 3 的圆柱．光源点 A 沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截
面的中心．当光源点 A 沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 ．
13
【答案】：
2
x2 y 2 2
11.已知双曲线 1(a 0, b 0) 的焦点分别为 F1 、 F2 ， M 为双曲线上一点，若 F MF ，
a2 b 2 1 2 3
21
OM b ，则双曲线的离心率为 ．
3
【答案】： 6
2
12.正三棱锥 S ABC 中，底面边长 AB 2 ，侧棱 AS 3，向量 a ， b 满足 a() a AC a AB ，
b() b AC b AS ，则 a b 的最大值为 ．
【答案】： 4
二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，
将代表答案的小方格涂黑，13-14 题每题选对得 4 分，15-16 题每题选对得 5 分，否则一律得零分．
13.“ a 1”是“直线 ax2 y 2 0 与直线 x a 1 y 1 0 平行”的（ ）．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C.充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】： C
14.已知 a R ，则下列结论不恒成立的是（ ）．
1 1 1
A. a(1 a ) B. a 2 C. |a 1| | a 2 | 3 D. sina 0
4 a 2 sin a
【答案】： B
15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：
千克）的散点图．若去掉图中右下方的点 A 后，下列说法正确的是（ ）．
A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
【答案】： D
m m1
16.设 fxaxax0 m m 1 L axaa 1 0 ( m 0, m 10， mZ ) ，记 fn x f n1 x ( n 1,2,L , m 1) ，
令有穷数列 bn 为 fn x 零点的个数 n1,2,L , m 1 ，则有以下两个结论：
存在 f0 x ，使得 bn 为常数列；
存在 f0 x ，使得 bn 为公差不为零的等差数列．
那么（ ）．
A. 正确，错误 B. 错误，正确 C.都正确 D. 都错误
【答案】： C
三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的
步骤．
17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知函数 y f x ，其中 f x sin x ．
3
（1）求 f x 在 x0, 上的解；
4 2
1
（2）已知 g( x ) 3 f ( x ) f x f x f x ，若关于 x 的方程 g x m 在 x 0, 时有解，
2 2 2
求实数 m 的取值范围．
7 11 1
【答案】：（1） 、 ；（2） ,1 .
12 12 2
3
【详解】：（1）由题，原式等价于求 sin x 在 x 0, 上的解.
4 2
从而有 或 2 ，解得 7 或 11
x 2 k x 2 k , k Z x2 k x2 k , k Z
4 3 4 3 12 12
7 11
又 x 0, ，所以 x 或 x .
12 12
3 7 11
所以 f x 在 x0, 上的解为 、 .
4 2 12 12
（2）由题， g x 3sinsin x x sinsin x x
2
3 sinx cos x sin 2 x
3 1 cos2x
sin 2x
2 2
1
sin 2x
6 2
1
故 g() x m 在 x 0, 时有解
2 2
等价于 msin 2 x 在 x 0, 时有解.
6 2
5 1
可知 2x , , 因而 sin 2x ,1
6 6 6 6 2
1
所以，实数 m 的取值范围是 ,1 .
2
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 等 腰 梯 形 ， 平 面 PAD 底 面 ABCD ， 其 中 AD// BC ，
AD2 BC 4 ， AB 3 , PA PD 2 3 ，点 E 为 PD 中点．
（1）证明： EC // 平面 PAB ；
（2）求二面角 P AB D 的大小．
2
【答案】：（1）证明见详解；（2） arccos 13 .
13
【详解】：解法 1：（1）证明：取 PA 中点 F ，连接 BF, EF ，
在 PAD 中，点 E 为 PD 的中点、点 F 为 PA 的中点，
1
所以 EF AD ， EF AD .
2
1
又 BC AD , BC AD .
2
因此 EF BC ， EF BC .
所以，四边形 BCEF 为平行四边形.
得 EC FB ，又 FB 平面 PAB ，而 EC 在平面 PAB 外，
所以， EC 平面 PAB .
（2）取 AD 中点 H ，过 P 作 PG AB ，垂足为 G ，连接 GH
由题， PA PD 2 3 ， H 为 AD 的中点，所以 PH AD .
又平面 PAD 底面 ABCD ，
平面 PAD I 平面 ABCD AD ，且 PH 平面 PAD ，
因而 PH 平面 ABCD ,故 PH AB , PH GH .
又 PG AB ，故 AB 平面 PGH .
得 AB GH .又 PG AB ，
所 PGH 就是二面角 P AB D 的平面角.
经计算，在 PAD 中， PH 2 2 ；
1
在 ABH 中， BH AB 3 ， AH 2 ，故 S 2 2 2 2 2
ABH 2
1 1 4
又 S AB GH 3 GH , 得 GH 2 .
ABH 2 2 3
PH 3
因而，在 PGH 中, tanPGH
GH 2
3
所以二面角 P AB D 的大小 arctan .
2
解法 2：（1）取 AD 中点 O ，
因为 PA PD 2 3 ， O 为 AD 中点，所以 PO AD .
又平面 PAD 底面 ABCD ，
平面 PAD I 平面 ABCD AD ， PO 平面 PAD ，
所以 PO 平面 ABCD .
取 BC 中点 M ，显然， OM OD .
如图，以点 O为坐标原点，分别以射线 OM 、OD 、OP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
uuur
由题意得， E 0,1, 2 、 C 2 2,1,0 ，故 EC 2 2,0, 2 .
又 P0,0,2 2 、 A0, 2,0 、 B2 2, 1,0 ，
uuur uuur
故 AP 0,2,2 2 ， AB 2 2,1,0 .
r 2v 2 2 w 0
设平面 PAB 的法向量 n u,, v w ，则有
2 2u v 0
r
不妨取 u 1，则 v 2 2 ， 2 , 即 n 1, 2 2,2 .
r uuur r uuur
经计算得 n EC 0 ，故 n EC .
又 EC 在平面 PAB 外，所以 EC 平面 PAB .
ur uur
（2）由题（1）知，平面 的法向量 n 1, 2 2,2 ，平面 的法向量 ， ，
PAB 1 ABCD n2 0 0,1
ur uur
ur uur
n1 n 2 2 2 13
从而 cosn1 , n 2 ur uur ,
13 1 13
n1 n 2
2
因此，二面角 P AB D 的大小为 arccos 13 .
13
19．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分．
某商店随机抽取了当天100 名客户的消费金额，并分组如下： 0,200 ， 200,400 ， 400,600 ，…，
1000,1200 （单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若该店当天总共有1350 名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800 元；
（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于 800 元的客户中共抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人做进一
步调查，则抽到的 2 人中至少有1人的消费金额不少于1000 元的概率是多少；
（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．
方案一：消费金额每满 300 元可立减 50 元，并可叠加使用；
1
方案二：消费金额每满1000 元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响．中奖1次当天消
3
费金额可打 9 折，中奖 2 次当天消费金额可打 6 折，中奖 3 次当天消费金额可打 3 折．
若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000 元，请帮助他选择合适的促销方案并说
明理由．
【答案】：（1） 405 人；（2） 3 ；（3）选择第二种促销方，理由见详解.
5
【详解】：（1）我们利用通过抽样获得的100 名客户的样本信息来估计总体的分布情况可得： 3 人.
1350 405
10
（2）当日消费金额在800,1000 和1000,1200 （单位：元）的人数所占比例为 0.00100 : 0.00050 2 :1 ，
所以抽取的 6人中有 2 人消费金额在 1000,1200 （单位：元），有 4 人消费金额在 800,1000 （单位：元）.
CCC1 1 2 3
记“抽到的 人中至少 1 人消费额不少于 元”为事件 ，则 PA 4 2+ 2 = ，
2 1000 A 2 2
C6 C 6 5
3
所以抽到的 2 人中至少 1 人消费金额不少于1000 元的概率为 .
5
（3）若选方案一，只需付款1000 50 3 850 元；
若选方案二，设付款金额为 X 元，则 X 可分别取 300 、 600 、 900 、1000 元，其中