数学试卷
（本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别
填写在试卷和答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答
题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A 1,0,1,2， B x x3 x ，则 A B （ ）
A．1 B．1,1 C．0,1 D．1,0,1
2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． e1 0,0 ， e2 1,2 B． e1 1,2 ， e2 5,7
1 3
． ， ． ，
C e1 3,5 e2 6,10 D e1 2,3 e2 ,
2 4
3．已知复数 z1, z2 满足 z1 z2 3 ， z1 z2 2 5i ，则 z1 z2 （ ）
A．3 B． 2 3 C． 3 2 D． 3 3
4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含
量达到 2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒
后，其血液中的酒精含量上升到了 0.6mg / mL ．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%
的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：
lg3 0.48,lg7 0.85 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3b a
5．已知函数 f x 3log x2 1 x ，正数 a,b 满足 f a f 3b 1 0 ，则 的最小值为
2 ab
（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
6．为了迎接 2025 年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班
2 2
男生 35 人，女生 25 人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为 s1 、s2 ，该班成绩的方差
为 s2 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
s2 s2 s2 s2 7s2 5s2 7s2 5s2
A． s2 1 2 B． s2 1 2 C． s2 1 2 D． s2 1 2
2 2 12 12
7．甲、乙、丙三人从事 a,b,c 三项工作，乙的年龄比从事 c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事 b 工作人的
年龄不同，从事 b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ）
A． a,b,c B． c,a,b C． c,b,a D． b,c,a
8．在同一平面直角坐标系内，函数 y f x 及其导函数 y f x 的图象如图所示，已知两图象有且仅
有一个公共点，其坐标为 0,1 ，则（ ）
A．函数 y f xex 的最大值为 1
B．函数 y f xex 的最小值为 1
f x
C．函数 y 的最大值为 1
ex
f x
D．函数 y 的最小值为 1
ex
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知 f x Asin x A 0, 0,0 的部分图象如图所示，则（ ）
2
A． f 0 1
4 11
B． f x 在区间 , 单调递减
3 6
5
C． f x 在区间 , 的值域为 1, 3
3 6
D． f x 在区间 ,2 有 3 个极值点
2
10．设等比数列an 的公比为 q ，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积为 Tn ，并且满足条件 a1 1， a7a8 1，
a 1
7 0 ．则下列结论正确的是（ ）
a8 1
A． 0 q 1 B． a7a9 1
C．Tn 的最大值为T7 D． Sn 的最大值为 S7
2
11．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，面积为 3 的扇形，则下列论断正确的是（ ）
3
2 2
A．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
3
2
B．圆锥内部有一个圆柱，并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内，当圆柱的体积最大时，圆柱的高为
3
2 3
C．圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
3
D．圆锥内部有一个正方体 ABCD A1B1C1D1 ，并使底面 ABCD 落在圆锥的底面内，当正方体的棱长最
4 6 5 6
大时，正方体的表面上与点 A 距离为 的点的集合形成一条曲线，则这条曲线长度为
9 9
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分，其中 14 题第一空 2 分，第二空 3
分．
2
y 5 3 3
12．在 x x y 的展开式中 x y 的系数为______．
x
13．直线 l 与抛物线 x2 4y 交于 A, B 两点，若 AB 6 ，则 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值是______．
．有序实数组 * 称为 维向量， 为该向量的范数，范数在度量
14 x1, x2 ,, xn n N n x1 x2 xn
向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知 n 维向量 a x1, x2 ,, xn ，其中 xi 0,1,2,i 1,2,,n
．记范数为奇数的 a 的个数为 An ，则 A4 ______； A2n1 ______．（用含 n 的式子表示）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（13 分）
在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 asinB 3bcosA ，角 A 的平分线交边 BC 于点
D ，且 AD 1．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 BC 2 5 ，求ABC 的面积．
16．（15 分）
x
已知函数 f x aex ,a R ．
ex
（1）当 a 0 时，求 f x 在 x 1处的切线方程；
（2）当 a 1时，求 f x 的单调区间和极值；
（3）若对任意 x R ，有 f x ex1 恒成立，求 a 的取值范围．
17．（15 分）
2 2 2
在平面直角坐标系中， F1, F2 分别为双曲线 C :3x y a a 0 的左右焦点，过 F2 的直线 l 与双曲线
C 的右支交于 A, B 两点．当 l 与 x 轴垂直时，ABF1 面积为 12．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
DF
（2）当 l 与 x 轴不垂直时，作线段 AB 的中垂线，交 x 轴于点 D ．试判断 2 是否为定值．若是，请求
AB
出该定值；若不是，请说明理由．
18．（17 分）
1
正 四 棱 台 ABCD A B C D 的 下 底 面 边 长 为 2 2 ， A B AB ， M 为 BC 中 点 ， 已 知 点 P 满 足
1 1 1 1 1 1 2
1
AP 1 AB AD AA ，其中 0,1 ．
2 1
（1）求证 D1P AC ；
3 2
（2）已知平面 AMC 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 ，当 时，求直线 DP 与平面 AMC 所成角
1 7 3 1
的正弦值．
19．（17 分）
入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这
个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接
拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了 A 和 B 两个套餐服
务，顾客可自由选择 A 和 B 两个套餐之一，并在 App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在
App 平台 10 天销售优惠券情况．
日期 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量 y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4
1 10 10 10
经计算可得： ， ， 2 ．
y yi 2.2 ti yi 118.73 ti 385
10 i1 i1 i1
（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第 10 天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减
少，现剔除第 10 天数据，求 y 关于 t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；
2 3
（2）若购买优惠券的顾客选择 A 套餐的概率为 ，选择 B 套餐的概率为 ，并且 A 套餐可以用一张优惠
5 5
券， B 套餐可以用两张优惠券，记 App 平台累计销售优惠券为 n 张的概率为 Pn ，求 Pn ；
（ ）记（ ）中所得概率 的值构成数列 * ．
3 2 Pn Pn n N
求 Pn 的最值；
数列收敛的定义：已知数列an ，若对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N0 ，使得当 n N0 时，
an a ，（ a 是一个确定的实数），则称数列 an 收敛于 a ．根据数列收敛的定义证明数列 Pn 收
敛．
n n
xi x yi y xi yi nx y
参考公式： i1 i1 ， ．
b n n a y bx
2 2 2
xi x xi nx
i1 i1
年东北三省四市教研联合体高考模拟（一）
参考答案
一、单项选择题：
．．．．．．．．
二、多项选择题：
．．．
三、填空题：（本大题共 小 题，每小题 分，共 分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
．．．；
四、解答题：
．（本小题满分 分）
【试题解析】（）因为 槡 ，
由正弦定理可得 槡 !!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
，所以，槡 ，
故 槡 ，； !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）由题意可知 ，
即 ，化简可得 ， !!!!!!!!!! 分
（）
在中，由余弦定理得 ，
（）
从而 ，解得 或 （舍），!!!!!!!!!!!! 分
所以 槡 ．!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
．（本小题满分 分）
【试题解析】（）当 时，（） ，则 （） ，（），（） ，
所以切线方程为 ； !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）当 时，（），（）（） ，!!!!!!! 分
令 （），（），
故 （）在 上单调递减，而 （），
因此 是 （）在 上的唯一零点，
即 是 （）在 上的唯一零点，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
当 变化时，（），（）的变化情况如下表：
（，） （，）
（）
（） 单调递增 单调递减
参考答案第页（共 页）
{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}
书
（）的单调递增区间为（，）；单调递减区间为（，），!!!!!!!!!! 分
（）的极大值为 （），无极小值；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）由题意知 ，即 ，即 ，
设 （） ，则 （） ，!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）
令 （），解得 ，
当 ， ，（），（）单调递增，当 ， ，（），（）单调递减，
( ) ( )
所以 （） ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
( )
所以 ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
．（本小题满分 分）
【试题解析】（）双曲线 可化为 ，!!!!!!!!!!!!! 分
槡
（ ） ，即 ， !!!!!!! 分
槡
双曲线 的标准方程为 ； !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）（，）设直线 的方程为 （），（，），（，），为 中点，
联立双曲线 与直线 ： 消去 可得：（ ） ，
{
因此 ， ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
进而可得 ，即 中点 的坐标为 ， !!!!!!!! 分
( )
线段 的中垂线为 （ ），!!!!!!!!!!!!!!! 分
则 （ ，），即 ， !!!!!!!!!!!!! 分
槡 （ ） 槡 （ ） ，!! 分
槡 槡
即 为定值 ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
．（本小题满分 分）
【试题解析】（）方法一： ， 槡 ， !!! 分
槡
，
参考答案第页（共 页）
{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}
（） （）， !!!!!!!!!! 分
( )
（） （） （）
[ ( ) ]
（） （） （）
( )
（） （），
( )
，即 ； !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为
，则有
（槡，槡，），（槡，槡，），（槡，槡，），（槡，槡，），
槡 槡 槡槡 槡 槡
， ，， ， ，， ， ，，（，槡，），
( ) ( ) ( )
（槡，槡，），
（）（，槡，） （槡，，） 槡，槡， 槡， 槡，，
( ) ( 槡 )
槡 ，槡 ，，
( )
槡 槡 槡 槡
， ，，!!!!!!!!!!!! 分
( )
故，所以 ；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）方法一：确定正四棱台的高（传统法），
取 中点 ，则 平面 ，作 ，垂足为 ，连接 ，
由三垂线定理得 ，
所以为平面 与平面 所成二面角的平面角，
因为 ， ， !!!!!!!!!!!!!!!!! 分
槡
， 槡 ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
， 槡 ，即 槡 ，，!!!!!!!! 分
方法二：确定正四棱台的高（空间向量）
设平面 的法向量为 （，，），
槡 槡
设平面 的法向量为 （，，），（槡，槡，）， ， ，，
( )
槡 槡
则有 ，即 ，
{ 槡 槡
{
令 槡，则 （槡，槡，），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
由题意可得 〈，〉 ，可得 ，!!!!!!!!!!! 分
槡
参考答案第页（共 页）
{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}
因为 ，经过计算可得 ，， ，
( )
，， ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分，
( 槡 槡 )
将 代入，可得平面 的法向量 （槡，槡，）， !!!!!!!!!! 分
设直线 与平面 所成的角为 ，
〈，〉 槡 ． !!!!!!!!!! 分
槡 槡
．（本小题满分 分）
．．
【试题解析】（）剔除第 天数据的（）新 ．，
…
（）新 ，( ) 新 ．．．；( ) 新 ，
．．
所以 ，
故 ． ，所以 ；!!!!!!!!!!!!!! 分
（以上每个新数据求解正确，可给 分）
（）由题意可知 （），其中 ， ，!! 分
将此式变形可得 ，
( ) ( )
令 ，解得 或 ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
方法一：
当 时，则 （），
所以 为常数列，
{ }
首项为 ，故 （），
将 （）变形可得 （），
( )
所以 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
{ }
故 ，即 ；!!!!!!!!!!!! 分
( ) ( )
方法二：
当 时，则 （ ）（），
参考答案第页（共 页）
{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}
所以 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
故 （）成立，
( )
（）… （ ）（ ）
…
[ ( ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
，
( )
( )
故 （），又 时， ，
( )
即 ， !!!!!!!!!!!!!!!! 分
( ) ( )
（）解答：
当 为偶数时， 单调递减，最大值为 ；
( ) ( )
当 为奇数时， 单调递增，最小值为 ；
( ) ( )
综上：数列的最大值为 ，最小值为 ． !!!!!!!!!!!!!!!!! 分
证明：对任意 总存在正整数 （其中表示取整函数），
[ ( ) ]
( )
当 时， ． !!
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
参考答案第页（共 页）
{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}