文科数学
考试时间 120 分钟，满分 150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用 0.5 毫米的黑色签
字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦
擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，
超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设全集U {1,2,3,4,5} ，若集合 M 满足{1,4} U M ，则
A． 4 M B．1 M C． 2 M D． 3 M
2．若复数 z 满足 z(1 i) 2 i ，则 z
1 i 1 i 1 3 1 3
A． B． C． i D． i
2 2 2 2 2 2 2 2
1
3 3 3 1
3． 2 ， 2 ， sin ， log2 四个数中最大的数是
2 3
1 3 1
A． 23 B． 23 C． sin D． log
2 2 3
xcos 2 x
4．函数 f() x 的图象大致是
ln(x2 1)
A B C D
5．地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起
源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文
的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数
的大小定义了基因库的复杂度 y （单位：1），
通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的
复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的
复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道
生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现
的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原
核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）
高三文科数学试题 第 1 页 （共 5 页）
中的基因复杂度的常用对数 lg y 与时间 x （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况
（其中回归方程为： lg y 0.89x 8.64 ，相关指数 R2 0.97 ）．根据题干与图中的信
息，下列说法错误的是
A．根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取
y 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型 y b 10ax k 来拟合
B．根据回归方程可以得到，每过 10 亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的
100.89 7.76 倍
C．虽然拟合相关指数为 0.97 ，但是样本点只有5 个，不能很好地阐释其统计规律，
所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程
D．根据物理界主流观点：地球的形成始于 45 亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初
时生物的复杂度大约为108.64 ，可以推断地球生命可能并非诞生于地球
6．若 a ， b 是平面上两个非零的向量，则“| a b | | a | | b | ”是“| ab | | a || b | ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3
7．在平面直角坐标系 xOy 中，角 ， 的始边均为 Ox ，终边相互垂直，若 cos ，
5
则 cos2
9 9 7 7
A． B． C． D．
25 25 25 25
8．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f( x ) x (1 ln x ) ，则当 x 0 时，
f (x) 的单调递增区间为
A． (,e) B． ( e,0) C． (,0) D． ( 1,0)
9．已知公比不为1 的等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn ，若数列{Sn an}是首项为1 的等差
数列，则 a3
1 2 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 8
5
10．已知点 P ， Q 分别是抛物线 C : y2 4x 和直线 l : x 上的动点，若抛物线 C 的焦点为
2
F ，则| PQ | | QF | 的最小值为
A． 3 B． 2 3 C． 2 3 D． 4
11．已知正方体以某直线为旋转轴旋转 角后与自身重合，则 不可能为
2 3
A． B． C． D．
2 3 4
4
12．若实数 x ， x 是 方 程 3 sin 2x cos 2x 在 区 间 (0, ) 上 不 同 的 两 根 ， 则
1 2 3
cos(x2 x1 )
高三文科数学试题 第 2 页 （共 5 页）
2 2 5 5
A． B． C． D．
3 3 3 3
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。
13．若双曲线 C 的渐近线方程为 2x y 0 ，则 C 的标准方程可以是_______（写出一个
你认为正确的答案即可）．
14．若圆锥的侧面展开图是半径为2 的半圆，则该圆锥的高为_______．
15．若正实数 a ， b 满足 a2 b2 m ，则 a b 的最大值为_______（用 m 表示）．
16．若函数 f (x) ex kx2 大于 0 的零点有且只有一个，则实数 k 的值为_______．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
1
在ABC 中， BC 5 ， AC 6 ， cos B ．
8
（1）求 AB 的长；
（2）求ABC 的面积．
18．（12 分）
为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读
书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生
的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽
取 200 名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）
数据分成 5 组：[2,4) ，[4,6) ，[6,8) ，[8,10) ，[10,12]，
根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求 a 的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于 8 小时的学生中抽出 6 人，再随机选
出 2 人作为该活动的形象大使，求这 2 人都来自[8,10) 这组的概率．
19．（12 分）
高三文科数学试题 第 3 页 （共 5 页）
已知在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是直角梯形，满足
ADBC ， AD DC ，若 PA AD DC 2 ， BC 3，点 M 为
PD 的中点，点 N 为 PC 的三等分点（靠近点 P ）．
（1）求证： AM 平面 PCD ；
（2）求三棱锥 P AMN 的体积．
20．（12 分）
x2 y2
已知椭圆 E : 1(a b 0) 上的点 M (2,1) 到焦点 F ， F 的距离之和为 4 2 ．
a2 b2 1 2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过点 N(4,0) 的直线交椭圆 E 于A，B 两点，直线 AM ， BM 分别交直线 x 4 于
P(xP , yP ) ， Q(xQ , yQ ) 两点，求证： yP yQ 0 ．
21．（12 分）
已知函数 f (x) ln x ，若数列{an}的各项由以下算法得到：
任取 ai a （其中 a 0 ），并令正整数 i 1 ；
求函数 f (x) 图象在 (ai , f (ai )) 处的切线在 y 轴上的截距 ai1 ；
判断 ai1 0 是否成立，若成立，执行第步；若不成立，跳至第步；
令 i i 1 ，返回第步；
结束算法，确定数列{a }的项依次为 a ， a ， ， a ．
n 1 2 i1
根据以上信息回答下列问题：
（1）求证： ai1 ln ai 1 ；
（2）是否存在实数 a 使得{an}为等差数列，若存在，求出数列{an}的项数 n ；若不存
1
1
在，请说明理由．参考数据： ee2 3.11 ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修44：坐标系与参数方程]（10 分）
x t ，
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C2 的参
y 3t
x a cos ，
数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极
y sin
坐标系．
（1）求 C1 与 C2 的极坐标方程；
高三文科数学试题 第 4 页 （共 5 页）
（2）若 C1 与 C2 的两不同交点 A ， B 满足 OA 2OB ，求 a 的值．
23．[选修45：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) x m ， g(x) x 2 ．
（1）当 m 1时，解不等式| f (x) | | g(x) | 5 ；
（2）若 x (1,) ，| f (x) | g(x 2) f (x) | g(x) | 0 成立，求 m 的取值范围．
高三文科数学试题 第 5 页 （共 5 页）
2024 届高三第三次模拟考试
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D B A B A C D D C C A
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。
y2 e2
13． x2 1 （或其它合理答案） 14． 3 15． 2m 16．
2 4
三、解答题：本题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）
解：（1）设角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，
由余弦定理，将 a 5 ，b 6 代入 b2 a2 c2 2accos B ， ………………2分
1
得 36 25 c2 2 5c ，化简得 4c2 5c 44 0 ，
8
11
解得 c 4 或 c （舍）； ………………6分
4
3 7
（2）因为 sin B 1 cos2 B ， ………………9分
8
1 1 3 7 15 7
所以 S acsin B 5 4 ． ………………12分
ABC 2 2 8 4
18．（12 分）
解：（1）由题易知组距为 2 ，
所以 (0.02 0.05 0.1 a 0.18) 2 1，解得 a 0.15 ， ………………2分
设平均数为 x ，则 x (3 0.02 5 0.18 7 0.15 9 0.1 11 0.05) 2 6.92 ，
估计全校学生周平均阅读时间的平均数为 6.92 小时； ………………6分
（2）由频率分布直方图可知不小于8 小时的分为[8,10) 和[10,12]两组，频数之比为 0.1: 0.05 2 :1，
这两组被抽取的人数分别为 4 ， 2 ，
记[8,10) 中的 4 人为 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，[10,12]中的 2 人为 b1 ， b2 ， ………………8分
从这 6 人中随机选出 2 人，则样本空间
，
a1a2 , a1a3 , a1a4 , a2 a3 , a2 a4 , a3 a4 , a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2b2 , a3b1 , a3b2 , a4b1 , a4b2 , b1b2
共 15 个基本事件， ………………10分
设事件 A 为这2 人都来自 [8,10) ， A {a1a2 ,a1a3 ,a1a4 ,a2a3 ,a2a4 ,a3a4}，共6 个样本点，
6 2
所以 P(A) ． ………………12分
15 5
1
19．（12 分）
解：（1）由题易知 PA CD ，又 AD CD ，
又因为 PA AD A ，
PA ， AD 平面 PAD ，所以 CD 平面 PAD ， ………………2分
又因为 AM 平面 PAD ，所以 AM CD ，
又因为 AP AD ，点 M 为 PD 中点，所以 AM PD ， ………………4分
又因为 CD PD D ， CD ， PD 平面 PCD ，
所以 AM 平面 PCD ； ………………6分
（2）由（1）知 CD 平面 PAD ，又 PD 平面 PAD ，所以 CD PD ，
1 1
所以 S PD CD 2 2 2 2 2 ， ………………8分
PCD 2 2
1 1 4
所以V S AM 2 2 2 ， ………………9分
APCD 3 PCD 3 3
1 1
因为 PM PD ， PN PC ，
2 3
1 1 1 1 1
所以 S PM PN sinCPD PD PC sinCPD S ，………………11分
PMN 2 2 2 3 6 PCD
1 2
所以三棱锥 P AMN 的体积V V V ． ………………12分
P AMN APMN 6 APCD 9
20．（12 分）
解：（1）由椭圆的定义知 2a 4 2 ，所以 a2 8 ，
4 1
将 M (2,1) 代入椭圆 E 的方程得 1，所以 b2 2 ，
8 b2
x2 y2
所以椭圆 E 的方程为 1 ； ………………4分
8 2
（2）当直线 AB 与 x 轴重合时，可设 A(2 2,0) ， B(2 2,0) ，
4 2 2 4 2 2
由相似三角形的性质得 y 2 ， y 2 ，
P 2 2 2 Q 2 2 2
所以 ； ……………… 分
yP yQ 0 7
当直线 AB 不与 x 轴重合时，设 AB 的方程为 x ty 4 ，
同时设点 A ， B 的坐标分别为 (,)x1 y 1 ， (x2 , y2 ) ，
由题意，直线 AB 不过点 M (2,1) 和 (2, 1) ，所以t 6 ，
2 2
x 4y 8 2 2
联立 得 (t 4)y 8ty 8 0 ，
x ty 4
8t 8
由题意知 0 ，所以 t 2 4 ，且 y y ， y y ， ………………9分
1 2 t 2 4 1 2 t 2 4
由题意知直线 ， 的斜率存在，则 y1 1 ，
AM BM lAM : y 1 (x 2)
x1 2
2(y 1) 2y 2 x 2 (t 2)y (t 2)y
当 时， 1 1 1 1 1 ，
x 4 yP 1
x1 2 x1 2 x1 2 ty1 2
2
(t 2)y2
同理可得 yQ ， ………………11分
ty2 2
2
(t 2)y1 (t 2)y2 (2t 4t)y1 y2 (2t 4)(y1 y2 )
所以 yP yQ ，
ty1 2 ty2 2 (ty1 2)(ty2 2)
又因为 y1 y2 ty1 y2 ，
2
(2t 4t)y1 y2 t(2t 4)y1 y2
所以 yP yQ 0 ，
(ty1 2)(ty2 2)
综上所述， yP yQ 0 ． ………………12分
21．（12 分）
1
解：（1）由题得 f (x) ，曲线 y f (x) 在点 (a , f (a )) 处的切线方程为
x i i
1 x
y f (ai ) (x ai ) ，即 y ln ai 1， ………………2分
ai ai
令 x 0 得 y ln ai 1，此切线交 y 轴于点 (0,ln ai 1) ，
所以 ai1 ln ai 1 ； ………………4分
（2）若{an}为等差数列，设其公差为 d ，
则 d ai1 ai ln ai ai 1，1 i n ，
1 1 x
令 g(x) ln x x 1，则 g(x) 1 ，
x x
当 x (0,1) 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递增，
当 x (1,) 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递减，
所以 g(x)max g(1) 2 ，
因此 d g(x) 最多有两不同的根，即最多3 项成等差数列， ………………8分
若 a1 ， a2 ， a3 成等差数列，即 a1 a3 2a2 ，
a2 1
由（1）知 a2 ln a1 1，所以 a1 e ，又 a3 ln a2 1，
1
记函数 h(x) ex1 ln x 1 2x ，则 h(x) ex1 2 ，
x
所以当 x (0,) 时， h(x) 0 ，所以 h(x) 在 (0,) 上单调递增， ……………10分
1 1 1
1 1 1
1 2 2 2 2 2
又 h( ) ee 2 1 ee 3 ee 3.2 0 ，
e2 e2 e2
又 h(1) e2 3 0 ，
1
所以存在 x ( ,1) ，使得 h(x ) 0 ，
0 e2 0
1
所以存在 a ( ,1) ，使得 a a 2a ，即{a }为等差数列
2 e2 1 3 2 n
a2 1
此时 a a1 e ，数列{an}的项数为3． ………………12分
3
22．（10 分）
解：（1）将 x cos ， y sin 代入 C1 的参数方程得 sin 3 cos ，
2
即 C 的极坐标方程为 ， R ， ………………2分
1 3
cos a cos
将 x cos ， y sin 代入 C2 的参数方程得 ，
sin sin
2 2
化简得曲线 C2 的极坐标方程为 2a cos a 1 0 ； ………………5分
2 2
（2）设 A( , ) ， B( , ) ，联立直线 C 与曲线 C 的极坐标方程，
1 3 2 3 1 2
2 2a cos a2 1 0
2 2
得 2 ，化简为 a a 1 0 ，
3
因为判别式 a2 4(a2 1) 4 3a2 0 ，即 3a2 4 ， ………………8分
2 2
又因为 OA 2OB ，所以 12 a 1 0 ，解得 a 1，
2a a
同时 2 ，所以 3 a ，解得 ， ，
1 2 1 2 2 1 3 2 3
2a2 4 3 7
所以 a2 1，结合1 a2 ，解得 a ． ………………10分
1 2 9 3 7
23．（10 分）
解：（1） m 1时，即解不等式| x 1| | x 2 | 5 ， ………………1分
当 x 2 时，不等式为 x 1 2 x 5 ，解得 x … 3， ………………2分
当 2 x 1时，不等式为 x 1 x 2 5 ，不等式恒成立， ………………3分
当 x … 1时，不等式为 x 1 x 2 5，解得 x 2 ， ………………4分
综上所述：不等式| f (x) | | g(x) | 5 的解集为{x | 3 x 2}； ………………5分
（2）| f (x) | g(x 2) f (x) | g(x) | 0 即为 x | x m | (x m) | x 2 | 0 ，
当 m 1时，不等式为 x(x m) (x m)(x 2) 0 ，
即 (x m )( x 1) 0 ，不等式恒成立， ………………7分
当 m 1时，对 1 x m 时，不等式为 2(x m) 0 ，
此时不等式对 x (1,) 不恒成立， ………………9分
综上所述： m 的取值范围为 m 1． ………………10分
4
解析：
1．【命题意图】涉及集合的表示方法，集合间的基本关系与基本运算，考查学生的逻辑推理能力。
【解析】因为{1,4} U M ，所以 M {2,3,5}，选B．
2．【命题意图】涉及复数的表示，四则运算，考查学生的符号意识与运算能力。
2 i (2 i)(1 i) 2 3i i2 1 3
【解析】 z i ，选D．
1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
3．【命题意图】考查学生对数的直观感知能力，及对基本初等函数的性质的理解。
1 3 1
【解析】 log 0 ， 23 1， sin 1， 23 1，选B．
2 3 2
4．【命题意图】考查学生阅读能力，快速获取信息能力，要求学生有直观感知图象，数学抽象的核心素
养。
【解析】因为函数 f (x) 的定义域为 {x | x 0} ，故排除D，又因为 f (x) 是奇函数，故排除B，令
x ，得 y 0 ，排除C，选A．
2 ln(2 1)
5．【命题意图】涉及函数的图象与性质考查学生对基本知识，基本方法，基本技能的考查。
【解析】因为 y 与 x 是相关关系，故B 选项中的“一定”用词不当，选B．
6．【命题意图】考查学生对向量的四则运算，模，数量积的理解，培养学生知识迁移能力，同时提高学
生数学思考水平。
【 解 析 】 设 | a b | | a | | b | ， 两 边 平 方 得 ab | a || b | ， 又 ab | a || b | cos a,b | a || b | ， 即
cos a,b 1， a,b ；| ab | | a || b || cos a,b | | a || b | ，即 cos a,b 1 ，故 a,b 0 或 ，
故前者是后者的充分不必要条件，选A．
7．【命题意图】涉及三角函数的定义，垂直的两角的三角函数值的数量关系，二倍角公式；培养学生良
好的数感、量感。
【解析】因为 2k(k Z) ，所以 sin2 sin2 ( 2k) cos2 ，所以 cos2 1 2sin2
2 2
7
1 2cos2 ，选C．
25
8．【命题意图】涉及函数与导数的关系，同时和奇偶性结合起来，考查学生对函数的基本性质的理解，
同时又需要学生函数的研究方法有深刻认识。
【解析】当 x 0 时， f (x) 的导函数 f (x) 1 ln x 1 ln x ，令 f (x) 0 ，解得 0 x 1，又因为 f (x)
为奇函数，在对称区间的单调性相同，所以 x 0 时， f (x) 单调递增区间为 ( 1,0) ，选D．
9．【命题意图】对数列必备知识有一定要求，对等差、等比数列性质的综合性应用较高，考查学生数学
运算的核心素养。
【 解 析 】 因 为 数 列 {Sn an}是 等 差 数 列 ， 所 以 Sn an Sn2 an2 2Sn1 2an1 ， 化 简 得
1
a 2a 3a ，由等比数列的性质得 1 2q2 3q ，解得 q （舍去1），又 S a 1，所以
n n2 n1 2 1 1
1 1 1
a ，所以 a a qn1 ( )n ，所以 a ，选D．
1 2 n 1 2 3 8
10．【命题意图】本题涉及抛物线、直线的几何性质，借用垂直平分线的思想将系数将目标转化为两线段
的和，再利用三角形的基本知识求得结果，有一定的创新性和综合性，考查数学建模、数学运算、直
观想象的核心素养。
【解析】设 P 的坐标为 (x0 , y 0 ) ， F(1,0) 关于 l 的对称点是 T (4,0) ，容易知道 | QF | | QT | ，所以
y2
| PQ | | QF | | PQ | | QT |… | PT | ， | PT | ( 0 4)2 y2 ， (y R) ， 由 二 次 函 数 的 性 质 得
4 0 0
|PT |… 2 3 ，选C．
5