数学试题
本试卷共4页，19 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知抛物线方程 C: y= 4 x2 ，则其焦点坐标为（ ）
1 1
A． 0,1 B． 0,2 C． 0, D． 0,
8 16
2．2024 届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有 ABCDE、 、 、 、 五名屏蔽生总分在
前9 名，现在确定第一、二、五名是 ABC、 、 三位同学，但 A 不是第一名， DE、 两名同学只知道在6
至9 名，且 D 的成绩比 E 好，则这5 位同学总分名次有多少种可能（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
n
3．已知“正项数列an 满足 an+1 a n = 4 ”，则“a2= 2 a 1 ”是“数列an 为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条
件
ex cos 2ex
4．函数 f x = （ e 为自然函数的底数）的图像大致为（ ）
e2x - 1
A．B．
C．D．
2b sin A+ sin C
5．已知角 ABC、 、 的对边分别为 a、 b、 c 满足 = ，则角 B 的最大值为（ ）
a- csin B
2
A． B． C． D．
6 4 3 3
2 4 1
6．已知事件 AB, 满足： PBPA =,,B =P BA = ，则 PA = （ ）
3 5 5
3 2 1 2
A． B． C． D．
4 9 3 3
7．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是 10，8，8，11，16，8，若这组
数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
8．已知函数 f x （ f x 不恒为零），其明 f x 为 f x 的异函数，对于任羍的 x, y R ，满足
f x+ y f x - y = f2 x - f 2 y ，且 f1 = 1, f 2 = 0 ，则（ ）
A． f 0 = 1 B． f x 是偶函数
8
C． f x +1 于直线 x = 1 对称D． f( k )= - 1
k=-1
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
1+ i
A．复数 z = - i （ i 为虚数单位）的虚部为 -2
i
2 2
B．已知复数 z1, z 2 ，若 z1+ z 2 = 0 ，则 z1= z 2 = 0
C．若 z=1, z C ，则 z - 2 的最小值为1
z1 z1
D．已知复数 z1, z 2 ，复数 z2 的虚部不为0，则 =
z2z 2
10．如图，在边长为1 的正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 为线段 AC1 上的动点，则（ ）
A．不存在点 P ，使得 AP^ CD1
uuuur uuur 1
B． D P AP 的最小值为 -
1 3
uuur2 uuur uuuur uuur
C．当 APAC= 时， D P^ AP
13 1 1
D．若平面 ABCD 上的动点 M 满足 MD C = ，则点 M 的轨迹是直线的一部分
1 6
11．已知函数 f x =sinw x + j w >0, j 0, 在0,2 上有且仅有5 个零点，则（ ）
2
A． f x 在 0,2 上有且仅有3 个极大值点
B． f x 在 0,2 上有且仅有2 个极小值点
12 29
C．当j = 时，w 的取值范围是 ,
5 5 10
D．当j = 时， f x 图像可能关于直线 x = 对称
5 2
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15分．
uuur uuur uuur uuur
12．在四边形 ABCD 中， BC= 2 AD ，且 AD= CD =1, AD ^ CD ，则 AA BD = ______．
13．设 f x 是 定 义 在 0,+ 上 的 函 数 ， f x 为 其 导 函 数 ， 且 满 足
5
x2 f x -2 + 2 xf x - 1 = 0, f 1 = ，则函数在 3,f 3 处的切线方程为______．
3
x2 y 2
14．如图，已知圆 O: x2+ y 2 = a 2 和 椭 圆 四 C:+ - = 1( a >b >0) ， 点 A0,- a , B 0, b ，
a2 b 2
a
，直线 交 轴于 ，直线 平行 轴交 于 （点 在 轴上方），
D,0 , H a ,0 , B1 0,- b AP x D PQ y C Q Q x
2
uuur uuur
TK= KH ，直线 BK 交 C 于多一点于 M ，直线 BM1 交 x 轴于点 N(3,0) ，则椭圆的长轴长为______．
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
某高校强基计划入围有3 道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通
过，否则就一直抽题到第3 次为止．李想同学答对每道题目的概率都是 0.6，假设对抽到的不同题目能否答
对是独立的．
（1）求李想第二次答题通过面试的概率；
（2）求李想最终通过面试的概率。
16．（本小题满分 15 分）
在 底 面 ABCD 为 梯 形 的 多 面 体
中． ABCDBC ,^ CDAB , = 2 CD = 2 2, CBD = 45 , BC = AE = DE ，且四边形 BDEN 为矩形．点
Q 在线段 EN 上．
（1）点Q 是线段 EN 中点时，求证： CQ平面 ADE ；
（2）是否存在点Q ，使得直线 BE 与平面QAD 所成的角为 60？若存在，求 EQ ．若不存在，请说明理
由．
17．（本小题满分 15 分）
*
已知数列an 满足 a1 = 1 ，且对任意 m,() nN m >n 均有 am+ n+ a m - n =2 a m + 2 a n ．
（1）设 bn= a m+1 - a m ，证明bn 为等差数列；
（2）求数列an 的通项公式；
2n n 1
（3）已知T= a + a( - 1)k , n N* ，求 n N* ．
n k k
k=1 k=1 Tk
18．（本小题满分 17 分）
x2
已知 AC, 分别为椭圆 M:+ y2 = 1 的左顶点利上顶点，过 C 点作一条斜率存在且不为0 的直线与 x 轴交
4
x + 2
于点 B ，该直线与 M 的一个交点为Q ，与曲线 y = 的另一个交点为 P ．
2 x + 1
（1）若 AC 平分 PAB ，求PAB 的内切圆半径；
（2）设直线 AP 与 M 的另一个交点为 R ，则直线 QR 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，说
明理由．
19．（本小题满分 17 分）
若 为 上的非负图像连续的函数，点 将区间 划分为
y= f x D= a, b a= x0< x 1 个 长 度 为 的 小 区 间 ． 记 ， 若 无 穷 和 的 极 限 xi Di= x i-1, x i i = 1,2,L , n l = maxxi n b lim fxiD x i 存在 xiD i ，并称其为区域 S 的精确面积，记为 f x dx ． l0 a i=1 b 1 （1）若有导函数 F x = f x ，则 f x dx= F b - F a ．求由直线 x=1, x = 100, y = 以及 a x 轴所围成封闭图形面积； n b-- a b a b （2）若区间 D 被等分为 n 个小区间，请推证： limf a+ i = f ( x ) dx ．并由此计算 n a i=1 n n 12024+ 2 2024 + + n 2024 无穷和极限 lim L 的值； n n2025 1 1 1 （3）求有限项和式1+ + + + 的整数部分． 2 3L 100 合肥一六八中学 2024 届高三最后一卷 数学参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8．D 二、选择题 9．ACD 10．BC 11．ACD 三、填空题 12．3 13． x-3 y + 2 3 = 0 14．8 四、解答题 15．（1）0.24 （2）0.936 16．略 17．略 18．略 19．略