数学试题
（分数：150 分，时间：120 分钟）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．“ a b 2 ，且 ab 1”是“ a 1，且b 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．复数 z i1 i3 i4 2i的实部为（ ）
A．1 B．3 C． 2 D． 1
3．2024 年 3 月 22 日国家文物局在北京公布 2023 年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨
盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区崧泽文化区良渚文化区钱山漾
文化区四大区域，总面积约 6 万平方米.该遗址延续时间长谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近
4000 年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史
学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲乙在内的 6 名研究生同学到这
4 个区域做考古志愿者，每人去 1 个区域，每个区域至少安排 1 个人，则甲乙两人安排在相同区域的方
法种数为（ ）
A．96 B．144 C．240 D．360
4．若正四面体 P ABC 的棱长为 2 3 ，M 为棱 PA 上的动点，则当三棱锥 M ABC 的外接球的体积最小
时，三棱锥 M ABC 的体积为（ ）
4 6
A． B． 4 2 C． 4 3 D．8 3
3
5．假设变量 x 与变量Y 的 n 对观测数据为 x1, y1 , x2 , y2 ,, xn , yn ，两个变量满足一元线性回归模型
Y bx e, n
2
2 .要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计b ，即求使Q(b) yi bxi 取最小
E e 0, De i1
值时的b 的值，则（ ）
n n
xi yi xi yi
i1 i1
A．b n B．b n
2 2
xi yi
i1 i1
n n
x x y y
xi yi i i
b i1 b i1
C． n n D． n n
x2 y2 2 2
i i xi x yi y
i1 i1 i1 i1
1 1
6．设 a ，b ln1.21， c 10sin ，则（ ）
10 100
A． a b c B．b a c C． c a b D． c b a
2
7．已知圆C ： x2 y 3 4 ，过点0,4 的直线l 与 x 轴交于点 P ，与圆C 交于 A ， B 两点，则
CP CA CB 的取值范围是（ ）
A．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2
2 1
8．设O 是 的外心，点 D 为 AC 的中点，满足 DO AB AC, R ，若 BC 2 ，则 AABC
3 2
面积的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． 4 2 D．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 2 分。
9．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元素个数有限，
1, x S
对于U 的任意一个子集S ，定义集合S 的指示函数1S x,1S x 若 A, B,C U ，则（ ）
0, x U S
注： f (x) 表示 M 中所有元素 x 所对应的函数值 f x 之和（其中 M 是 f x 定义域的子集）.
xM
A． 1A (x) 1A (x)
xA xU
B．1AB (x) 1A (x) 1AB (x)
C． 1AB (x) 1A (x) 1B (x) 1A (x)1B (x)
xU xU
D． 11A (x)11B (x)11C (x) 1U (x) 1ABC (x)
xU xU xU
10．已知圆O : x2 y2 1，圆C : (x a)2 (y 1)2 4,a R ，则（ ）
A．两圆的圆心距 OC 的最小值为 1
B．若圆O 与圆C 相切，则 a 2 2
C．若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则 2 2 a 2 2
D．若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为 2
11．已知集合 A x Z x2 2x 8 0，集合 B x 9x 3m ,m R, x R ，若 A B 有且仅有 3 个不同元
素，则实数 m 的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．在四边形 ABCD 中， BC 2AD ，点 P 是四边形 ABCD 所在平面上一点，满足
t
PA 10PB PC 10PD 0 .设 s,t 分别为四边形 ABCD 与APAB 的面积，则 .
s
x
13．若关于 x 的方程 m eln m eln x x 有解，则实数 m 的最大值为 .
ex
14．四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为正方形， PA 平面 ABCD ，且 PA 2 ， AB 1．四棱锥
P ABCD 的各个顶点均在球 O 的表面上， B l ，l OB ，则直线 l 与平面 PAC 所成夹角的范围
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
ln x
15．已知函数 f x ．
x
(1)求曲线 y f x 在点e, f e 处的切线方程；
(2)当 x 1时， xf x a x2 1 ，求 a 的取值范围．
16．在 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 2b c 2acosC 0 .
(1)求角 A ；
(2)射线 AB 绕 A 点旋转90 交线段 BC 于点 E ，且 AE 1，求 AABC 的面积的最小值.
17．某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记
为系统 A 和系统 B ），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出
现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统 A 和 B 分别
进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少
2 次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮
试验，若系统 A 不出现故障且系统 B 出现故障，则系统 A 得 1 分，系统 B 得-1 分；若系统 A 出现故障且系
统 B 不出现故障，则系统 A 得-1 分，系统 B 得 1 分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统
均得 0 分.系统 AB 出现故障的概率分别记为 和 ，一轮试验中系统 A 的得分为 X 分.
(1)求 X 的分布列；
(2)若系统 A 和 B 在试验开始时都赋予 2 分， pi i 0,1,2,3,4 表示“系统 A 的累计得分为i 时，最终认为系
统 A 比系统 B 更稳定”的概率，则 p0 0, p4 1， pi api1 bpi cpi1 i 1,2,3 ，其中
a P X 1,b P X 0,c P X 1 .现根据 p2 的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪
个系统，若 p2 0.1，则先启动系统 B ；若 p2 0.9 ，则先启动系统 A ；若 0.1 p2 0.9 ，则随机启动两个
系统中的一个，且先启动系统 A 的概率为 p2 .
(1)2 2
证明： p ；
2 2 (1 )2 (1)2 2
若 0.001, 0.002 ，由可求得 p2 0.8 ，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个
自动驾驶系统的概率.
y2 x2
18．双曲线C : 1(a,b 0) 的焦点为 F1, F2 （ F1 在 F2 下方），虚轴的右端点为 A ，过点 F2 且垂直于
a2 b2
y
轴的直线l 交双曲线于点 P （ P 在第一象限），与直线 AF1 交于点 B ，记ABF2 的周长为 m,BPF1 的周
长为 n, m n 4 ．
(1)若C 的一条渐近线为 y 2x ，求C 的方程；
(2)已知动直线l 与C 相切于点T ，过点T 且与l 垂直的直线分别交 x 轴， y 轴于 M , N 两点，Q 为线段 MN
上一点，设 MQ MN, (0,1) 为常数．若|| QF2 | | QF1 || 为定值，求 b 的最大值．
19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个
圆球.17 世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到 1739 年才为南美和北欧的弧
度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事
实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空
x2 y2 z2
间直角坐标系下，椭球面 : 1a 0,b 0,c 0 ，这说明椭球完全包含在由平面
a2 b2 c2
x a, y b, z c 所围成的长方体内，其中 a,b,c 按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半
x2
轴．某椭球面与坐标面 z 0 的截痕是椭圆 E : y2 1.
2
2 2
x y xx0 yy0
(1)已知椭圆 1a b 0 在其上一点Q x0 , y0 处的切线方程为 1．过椭圆 E 的左焦点 F1
a2 b2 a2 b2
作直线l 与椭圆 E 相交于 A, B 两点，过点 A, B 分别作椭圆的切线，两切线交于点 M ，求 面积的最
小值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于 5 世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用
现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截
得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当b c 时，椭球面 围成的椭球是一个旋
转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
重庆乌江新高考协作体 2024 届高考模拟监测（二）
数学答案
（分数：150 分，时间：120 分钟）
1-4．BBCA 5-8．ABDB
9．BCD
10．AD
11．AB
2
12．
11
1
13． / e1
e
14． 0, ．
4
1 1
15．（1）由于 f e ，则切点坐标为e, ，
e e
1 ln x
因为 f x ，所以切线斜率为 f e 0 ，
x2
1
故切线方程为 y ；
e
（2）当 x 1, 时， xf x a x2 1 等价于 ln x a x2 1 ，
令 g x a x2 1 ln x ， x 1, ，
2
2 1 2ax 1
ln x a x 1 恒成立，则 g x 0 恒成立， g x 2ax ，
x x
当 a 0 时， g x 0 ，函数 g x 在1, 上单调递减， g x g 1 0 ，不符合题意；
1 1
当 0 a 时，由 g x 0 ，得 x 1，
2 2a
1
x 1, 时， g 1 0 ，函数 g x 单调递减， g x g 1 0 ，不符合题意；
2a
1
当 a 时， 2a 1，因为 x 1，所以 2ax2 1 0 ，则 g x 0 ，
2
所以函数 g x 在1, 上单调递增 g x g 1 0 ，符合题意．
1 1
综上所述， a ，所以 a 的取值范围为[ ,) ．
2 2
16．（1）2b c 2acosC ，由正弦定理得 2sinB sinC 2sinAcosC ，
则 2sin A C sinC 2sinAcosC ，
即 2sin AcosC 2cosAsinC sinC 2sin AcosC 则 2cosAsinC sinC 0 ，
1 2
sinC 0 且 A0, ，cosA ， A ；
2 3
2 2
（2）由 BAC 和 AB AE ，可知 CAE ，
3 3 2 6
因为 SA ABC SA AEB SA AEC ，
1 1 1
所以 bcsin BAC c AE sin BAE b AE sin CAE ，
2 2 2
又因为 AE 1，
2 3 1
所以bcsin csin bsin ，即 bc c b ，
3 2 6 2 2
3 1 1
又 bc c b 2 c b 2bc ，
2 2 2
1 4 3 2 3
当且仅当 c b ，即b ,c 时，等号成立，
2 3 3
8
所以bc ，
3
1 1 8 3 2 3
所以 S bcsin BAC ，
A ABC 2 2 3 2 3
2 3
所以 的面积的最小值为 .
3
17．（1） X 的所有可能取值为 1,0,1.
P X 1 1 , P X 1 1 ，
P X 0 1 P X 1 P X 1 1 1 1 1 2 ，
所以 X 的分布列为
X -1 0 1
P 1 1 2 1
（2）由题意，
得 pi 1 pi1 1 1 1 pi 1 pi1 ，所以
1 1 pi 1 pi1 1 pi1
1 1 pi 1 pi1
所以 p ,i 1,2,3，
i1 1
又 p0 0, p4 1，
1 1 p1 1 p0
所以 p
2 1
1 1 p1
1
1 1 p2 1 p1
p
3 1
1
1 1 p2 1 p2
1 1
1
[ 1 1 ]2 1 1
p2 ,
1 1 1
1 1 p3 1 p2
p 1
4 1
所以
[ 1 1 ]2 1 1
1 1 p2 1 p2
1 1 1 1，
1
(1)2 2
所以 p ，
2 2 (1 )2 (1)2 2
记“该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统”为事件T ，“该型号汽车启动
自动驾驶功能后先启动系统 A ”为事件C ，
因为 0.001, 0.002, p2 0.80.1,0.9 ，
所以由题意，得 PC p2 0.8, PC 1 p2 0.2 ，
PTC 1 1 0.001, PTC 1 1 0.002 ，
所以 PT PC PTC PC PTC
0.81 0.001 0.21 0.002 0.9988 ，
即该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率为 0.9988.
18．（1）依题意，| m n ||| AB | | BF2 | | AF2 | (| BP | | PF1 | | BF1 |) |
|| AB | (| BP | | PF2 |) | AF1 | (| BP | | PF1 | | AB | | AF1 |) |
a
|| PF2 | | PF1 || 2a 4 ，解得 a 2 ，又双曲线的一条渐近线为 y 2x ，则 2 ，即b 2 ，
b
y2 x2
所以双曲线的方程为 1.
4 2
y2 x2
（2）由（1）知 a 2 ，则双曲线方程为 1，设T (x , y ) ，
4 b2 0 0
过T 的直线l 的方程为 y y0 k x x0 ，即 y kx y0 kx0 ，令 m y0 kx0 ，显然 k 0 ，
b2 y2 4x2 4b2
由 消去 y 得 (b2k 2 4)x2 2b2mkx b2m2 4b2 0，显然b2k 2 4 0 ，
y kx m
由直线l 与双曲线只有一个公共点，得 (2b2mk)2 4(b2k 2 4)(b2m2 4b2 ) 0 ，
2 2 2 2 2 2 2
化简得b k m 4 0 ，代入 m y0 kx0 得 (b x0 )k 2x0 y0k y0 4 0 ，
2 2
x0 y0 y x 4x0
由直线l 与双曲线相切，得 k ，而 0 0 ，于是 k ，
2 2 2 1 2
b x0 4 b b y0
2 2
b y0 b y0
过点 T 且与l 垂直的直线的直线斜率为 ，方程为 y y0 (x x0 ) ，
4x0 4x0
(b2 4)x (b2 4)x (b2 4)y (b2 4)y
令 y 0 ，得 x 0 ，即 M ( 0 ,0) ，令 x 0 ，得 y 0 ，即 N(0, 0 ) ，
b2 b2 4 4
2 b2
(1 )(b 4) x x
x 2 x0 0 2
b (1 )(b 4)
设 Q(x, y) ，由 ，得 ，即 ，
MQ MN(0 1) 2
(b 4) 4
y y0 y0 2 x
4 (b 4)
y2 x2
y2 x2 1
代入 0 0 1得 2 (b2 4)2 (1 )2 (b2 4)2 ，
4 b2
4 b2
y2 x2 2 (b2 4)2 (1 )2 (b2 4)2
依题意，该双曲线与双曲线 1共焦点，则 b2 4 ，
4 b2 4 b2
4
化简得[(b2 4) 4]2 0 ，于是 (0,1) ，
b2 4
4b 4b 1
b 2 1，当且仅当b 2 ， 时取等号，
b 4 2 b2 4 2
所以 b 的最大值为 1.
2
x 2
19．（1）椭圆 E 的标准方程为 y 1，则 F1 1,0．
2
当直线l 的倾斜角为 0 时， A, B 分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，
所以直线l 的倾斜角不为 0 ,
设直线l : x ty 1, A x1, y1 , B x2 , y2 ,
2
x 2
y 1 2 2
由 2 ,得t 2 y 2ty 1 0 ，
x ty 1
2t 1
则 8t 2 8 0, y y , y y ，
1 2 t 2 2 1 2 t 2 2
所以 2 2 2
AB 1 t y1 y2 1 t y1 y2 4y1 y2