绝密启用前
数学
本试卷共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若复数 z 3 4i ，则 z i z （ ）
A. 2 B.5 C. 5 2 D. 7 2
2.点 F1 2,0, F2 2,0 为等轴双曲线 C 的焦点，过 F2 作 x 轴的重线与 C 的两浙近线分别交于 AB 两点，
则A AOB 的面积为（ ）
A. 2 2 B.4 C. 4 2 D.8
3
3.“ 3 k 0 ”是“不等式 2kx2 kx 0 对一切实数 x 都成立”的（ ）
8
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.用 0,1,2,3,4 能组成没有重复数字且比 32000 小的数字（ ）个.
A.212 B.213 C.224 D.225
5.过圆锥 PO 高的中点 O 作平行于底面的截面，则截面分圆锥 PO 上部分圆锥与下部分圆台体积比为
（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 5 7
6.平面四边形 ABCD 中，点 EF 分别为 AD, BC 的中点， CD 2 AB 8, EF 5 ，则
cos AB, DC （ ）
5 55 55 23
A. B. C. D.
16 64 8 40
7.已知首项为 2 的数列an 满足 4an1 5an1an 2an 2 ，当an 的前 n 项和 Sn…16 时，则 n 的最小值
为（ ）
A.40 B.41 C.42 D.43
x
8.当 x 0, 成立， asin2x… 2sin 1 sinx 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
2 2
1
A. 0,1 B. 0, 2 1 C. 2 1, D. ,
2
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知五个数据 5,5,10,10,a 的80% 分位数为 15，则这组数据（ ）
A.平均数为 9 B.众数为 10
C.中位数为 10 D.方差为 30
10.已知函数 f x sin x ( 0) 在0, 上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是
3
（ ）
5 8
A. 的范围是 ,
3 3
B.函数 f x 在 0, 上单调递增
12
C. x 不可能是函数 y f x 的图像的一条对称轴
4
D. f x 的最小正周期可能为
2
x
11.已知函数 f x e 2x 2, g x 2lnx x 2 的零点分别为 x1, x2 ，则（ ）
x1
A. 2x1 x2 2 B. x1x2 e lnx2
4
C. x x D. 2x x e
1 2 3 1 2
三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
n2
n
3 1
12.已知 x x 1 x 的展开式中各项系数和为 8，则展开式中常数项为__________.
x
13.抛物线 C : y2 4x 上的动点 P 到直线 y x 3 的距离最短时， P 到 C 的焦点距离为__________.
14.下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，每行的第 n 个数从上
n1 *
到下形成以 2 为首项，以 3 为公比的等比数列，则该数阵第 n 行 n N 所有数据的和 Sn
__________.
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15.（13 分）在A ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 sinA 3sinBa c bsinC sinB .
（1）求角 C 的大小；
（2）若边 c 2 ，边 AB 的中点为 D ，求中线 CD 长的最大值.
16.（15 分）如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 中， M , N 分别为棱 A1B1,CC1 的中点， E, F 分别是棱
1
AA , BB 上的点， A E BF AA .
1 1 1 3 1
（1）求证：直线 MN 平面 CEF ；
（2）若三棱柱 ABC A1B1C1 为正三棱柱，求平面 CEF 和平面 ACC1 A1 的夹角的大小.
2
17.（15 分）已知 M 3,0 , N 3,0 ，平面内动点 P 满足直线 PM , PN 的斜率之积为 .
3
（1）求动点 P 的轨迹方程；
（2）过点 F 1,0 的直线交 P 的轨迹 E 于 A, B 两点，以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB （ O 为坐标
原点），若 C 恰为轨迹 E 上一点，求四边形 OACB 的面积.
18.（17 分）已知函数 f x alnx x .
（1）讨论 f x 的单调性；
a
a
（2）证明：当 a 0 时， f x 1.
e
19.一个质点在随机外力的作用下，从平面直角坐标系的原点 O 出发，每隔 1 秒等可能地向上向下向左或
向右移动一个单位.
（1）共移动两次，求质点与原点距离的分布列和数学期望；
（2）分别求移动 4 次和移动 6 次质点回到原点的概率；
2
N 1
（3）若共移动 次（ 大于 0，且 为偶数），求证：质点回到原点的概率为 2 .
N N N CN N
2