数 学
命题人：汤灏、伊波、赵志会 审题人：李云皇、汤灏、伊波、赵志会
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 A = x log2x >1 ,B = {x 0< x< 4}, 则 A B = ( )
A.{x 2< x< 4} B.{x 2 x< 4} C.{x 0< x 2} D.{x x 2}
2. 已知复数 z 满足 (1 - i)z = 2i, 且 z + ai(a R) 为实数, 则 a = ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
1 1
3. 设向量 a = (1,0),b = , , 则下列结论正确的是 ( )
2 2
2
A.|a| = |b| B.a b = C.a - b 与 b 垂直 D,a b
2
x
4. 已知 a 是函数 f(x) = 2 - log 1 x 的零点, 若 0< x0< a, 则 f x0 的值满足 ( )
2
A.f x0 = 0 B.f x0< 0
C.f x0 >0 D.f x0 的符号不确定
1
5. 若 sinx + cosx = ,x (0,), 则 sinx - cosx 的值为 ( )
3
17 17 1 17
A B.- C. p.
3 3 3 3
6. 用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )
A.8 B.24 C.48 D.120
7．函数 y = f x 的图象如图所示，则如图所示的函数图象所对应的函数解析式可能
为 ( )
1 1
A． y = f 1 - x B． y =-f 1 - x
2 2
C． y = f 4 - 2x D． y =-f 4 - 2x
1
8．刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，
展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是
全等的等腰三角形．若 AB = 25m,BC = AD = 10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角
14
形所在的平面与平面 ABCD 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为
5
( )
A． 102m B． 112m C． 117m D． 125m
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知变量 x,y 之间的经验回归方程为 y =-0.7x + 10.3, 且变量 x,y 之间的一组相关数据
如下表所示, 则下列说法正确的是 ( )
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A. 变量 x,y 之间成负相关关系
B.m = 4
C. 可以预测，当 x = 11 时，y 约为 2.6
D. 由表格数据知, 该经验回归直线必过点 (9,4)
10．一个矩形的周长为 l，面积为 S，则下列四组数对中，可作为数对 S,l 的有 ( )
1
A． 1,4 B． 6,8 C． 7,12 D． 3,
2
x2 y2
11. 直线 y = kx 与双曲线 - = 1 交于 P,Q 两点, 点 P 位于第一象限, 过点 P 作 x 轴的
4 3
垂线, 垂足为 N, 点 F 为双曲线的左焦点, 则 ( )
A. 若 |PQ| = 2 7, 则 PF QF
B. 若 PF QF, 则 PQF 的面积为 4
|PF|
C. >2
|PN|
D.|PF| -|PN| 的最小值为 4
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若曲线 y = xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 2x - y + 1 = 0, 则点 P 的坐标是
.
13．已知抛物线 C:x2 = 2py(p >0) 的焦点为 F，点 A 在抛物线 C 上，若点 A 到 x 轴的距离
是 AF - 2，则 p = .
14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空
间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下
一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关. 甲口袋中
各装有 1 个黑球和 2 个白球，乙口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取
一个球交换放入另一口袋，重复进行 n(n N*) 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为
Xn，恰有 1 个黑球的概率为 pn，则 p1 的值是 ；Xn 的数学期望 EXn 是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB = AC = AA1 = 2，BAC = 90，E，F
依次为 C1C ，BC 的中点．
(1) 求证：A1B B1C ；
(2) 求 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值．
3
16. (本小题满分 15 分)
ex(2x - 1)
已知画数 f(x) = .
x - 1
(1) 求函数 f(x) 的单调区间;
(2) 当 x< 1 时, 不等式 2xex - ax - ex + a 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围.
*
17．已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an+1 = 2Sn + 2n N .
(1) 求数列 an 的通项公式.
(2) 在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使这 n + 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列
dn 中是否存在 3 项 dm，dk，dp，(其中 m，k，p 成等差数列) 成等比数列? 若存在，求出这样
的 3 项，若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
2 2
y x 3 2
椭圆 C: + = 1(a >b >0) 的离心率为 , 短轴长为 2 , 点 P 为椭圆的右顶点. Q:x
a2 b2 2
+ (y + 1)2 = t2(0< t< 1), 过点 P 作 Q 的两条切线分别与椭圆交于 A,B 两点 (不同于点 P
).
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 当 t 变化时, 直线 PA,PB 的斜率乘积是否为定值, 若是, 求出这个定值; 若不是, 请说明
理由;
(3) 给定一个 t, 椭圆上的点到直线 AB 的距离的最大值为 d, 当 t 变化时, 求 d 的最大值, 并
求出此时 t 的值.
4
19. (本小题满分 17 分) 如图, 点 Z(a,b), 复数 z = a + bi(a,b R) 可用点 Z(a,b) 表示, 这
个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴. 显然, 实
轴上的点都表示实数; 除了原点外, 虚轴上的点都表示纯豦数. 按照这种表示方法，每一个复
数，有复平面内唯一的一个点和它对应, 反过来, 复平面内的每一个点, 有唯一的一个复数和
它对应. 一般地, 任何一个复数 z = a + bi 都可以表示成 r(cos + isin) 的形式, 即
a = rcos,
其中 r 为复数 z 模, 叫做复数 z 的辐角 (以 x 非负半轴为始边, OZ 所在射
b = rsin,
线为终边的角), 我们规定 0< 2 范围内的辐角 的值为辐角的主值, 记作 argz.
r(cos + isin) 叫做复数 z = a + bi 的三角形式。
复数三角形式的乘法公式: r1cos1 + isin1 r2cos2 + isin2 =
r1r2cos1 + 2 + isin1 + 2 .
棣莫佛提出了公式: [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn), 其中 r >0,n N 。
1 3 2 2 3
(1) 已知 z = + i,w = + i, 求 zw + zw 的三角形式;
2 2 2 2
(2) 已知 0 为定值，0 0 ，将复数 1 + cos0 + isin0 化为三角形式；
(3) 设复平面上单位圆内接正二十边形的 20 个顶点对应的复数依次为 z1,z2, ,z20, 求复数
2024 2024 2024
z1 ,z2 , ,z20 所对应不同点的个数.
5