四川省2025届高三秋季入学摸底考试-数学试题+答案

四川省2025届新高三秋季入学摸底考试

数学试卷

试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

9 6i

+ 2i

1. i 的虚部为（ ）

A. 7 B. 6 C. 7i D. 6i

2. 已知等差数列{an }满足 aa39=9, = 3 ，则 a12 = （ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1

3. 3sin ( +) sin + = 0 ，则 tan = （ ）

2

3 3 3 3

A. B. C. D.

2 3 2 3

x2 40 xx， ，

函数 = 的极值点个数为（ ）

4. fx( ) x

+e1，x< 0

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 已知某地区高考二检数学共有 8000 名考生参与，且二检的数学成绩 X 近似服从正态分布 N (95, 2 ) ，

若成绩在 80 分以下的有 1500 人，则可以估计 PX(95 110) =（ ）

5 5 11 3

A. B. C. D.

32 16 32 16

6. 定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的 交集为空集时，称为不交）的非空真子集

， ， ， * ， ， ， ，

A12 A Akk ( N ) 且 AA12 AUk = ，那么称子集族{AA12 Ak } 构成集合U 的 一个

第1页/共4页

k 划分.已知集合 Ix={ N | x2 6 x +< 5 0} ，则集合 I 的所有划分的个数为（ ）

A. 3 B. 4 C. 14 D. 16

7. 已知圆台的上下底面的面积分别为 4,25 ，侧面积为35 ，则该圆台外接球的球心到上底面的距离

为（ ）

27 27 37 37

A. B. C. D.

8 4 8 4

2

8. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C: x= 2 py ( p >0) 的焦点 F 到准线l 的距离为 1，过点 F 的直线l1 与 C

交于 MN, 两点，过点 M 作 C 的切线 l2 与 xy, 轴分别交于 PQ, 两点，则 PQ= ON （ ）

1 1 1 1

A. B. C. D.

2 2 4 4

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分

xx

9. 已知函数 f( x) =+=3sin ,gx( ) 3cos ，则（ ）

23 2

A. fx( ) 的最小正周期为 4

B. fx( ) 与 gx( ) 有相同的最小值

C. 直线 x = 为 fx( ) 图象的一条对称轴

D. 将 fx( ) 的图象向左平移 个单位长度后得到 gx( ) 的图像

3

1

10. 已知函数 fx( ) = x3 xf， ( x) 为 fx( ) 的导函数，则（ ）

3

A. f (00) =

B. fx( ) 在 (1, + ) 上单调递增

2

C. fx( ) 的极小值为

3

1

D. 方程 fx( ) = 有 3 个不等的实根

2

11. 已知正方体 ABCD A111 B C D 1的体积为 8，线段CC1, BC 的中点分别为 EF, ，动点 G 在下底面

内（含边界），动点 在直线 上，且 ，则（ ）

A1B1C1D1 H AD1 GE= AA1

第2页/共4页

A. 三棱锥 H DEF 的体积为定值

5

B. 动点 G 的轨迹长度为

2

C. 不存在点 G ，使得 EG 平面 DEF

15+ 2

D. 四面体 DEFG 体积的最大值为

6

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分

12. 已知向量 a==(7, 12), bx (6, ) ，若 ab ，则 x = ________.

13. 已知一组数据： 3,5,7,x ,9的平均数为 6，则该组数据的第 40 百分位数为________.

xy22

14. 已知 O 为坐标原点，双曲线C:=>1( ab 0, >0) 的左右焦点分别为 FF12, ，点 M 在以 F2 为

ab22

圆心 OF2 为半径的圆上，且直线 MF1 与圆 F2 相切，若直线 MF1 与 C 的一条渐近线交于点 N ，且

，则 的离心率为

F1 M= MN C __________.

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. 已知ABC 中，角 ABC， ， 所对的边分别为 abc， ， ，其中 3a sin B cos Ab= sin2 A.

（1）求 A 的值；

（2）若ABC 的面积为 3，周长为 6，求 a 的值.

16. 如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为正方形、 SA 平面 ABCD， M， N 分别为棱 SB， SC

的中点

第3页/共4页

（1）证明： MN //平面 SAD ;

（2）若 SA= AD ，求直线 SD 与平面 ADNM 所成角的正弦值

xy22 2 23

17. 已知椭圆 C:+ = 1( ab >>0) 的离心率为 ，右焦点为 F ，点 ( ,)在 C 上.

ab22 2 22

（1）求C 的方程；

（2）已知 O 为坐标原点，点 A 在直线 l:0 y=+ kx m( k ) 上，若直线 l 与 C 相切，且 FA l ，求 OA

的值.

18. 已知函数 fx( ) =ln x + xa.

（1）若 a = 0 ，求曲线 = ( )在 = 1处的切线方程；

（2）若 >0时 fx( )<0 ，求 a 的取值范围；

（3）若 01

22

19. 已知首项为 1 的数列{an }满足 an++11=++ aaa nnn44.

（1）若 a2 >0 ，在所有{ann }(14) 中随机抽取 2 个数列，记满足 a4< 0 的数列{an }的个数为 X ，求

X 的分布列及数学期望 EX ；

*

（2）若数列{an }满足：若存在 am 5，则存在 k{1, 2, , mm 1}( 2 且 m N ) ，使得

aakm=4 .

（i）若 a2 >0 ，证明：数列{an }是等差数列，并求数列{an }的前 n 项和 Sn ；

（ii）在所有满足条件的数列{an }中，求使得 as +=2025 0 成立的 s 的最小值.

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四川省 2025 届新高三秋季入学摸底考试

数学试卷

试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

9 6i

+ 2i

1. i 的虚部为（ ）

A. 7 B. 6 C. 7i D. 6i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算化简得 6 7i ，再根据虚部的定义即可求解．

9 6i 9i 6i2

【详解】 +=2i +=+= 2i 6 9i 2i 6 7i ，则所求虚部为 7 .

ii2

故选：A．

2. 已知等差数列{an }满足 aa39=9, = 3 ，则 a12 = （ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.

aa 39

【详解】由 aa=9, = 3 可得： d =93 = = 1，

39 93 6

所以 aad12= 9 +3 == 33 0，

故选：C

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3. 3sin ( +) sin + = 0 ，则 tan = （ ）

2

3 3 3 3

A. B. C. D.

2 3 2 3

【答案】D

【解析】

sin

【分析】利用诱导公式对 3sin ( +) sin + = 0 进行化简，再利用 tan = 进行求解即可.

2 cos

【详解】由 3sin ( +) sin + = 0 ，

2

则 3sin+= cos 0 ，

sin 3

因此可得 tan = = ，

cos 3

故选：D.

x2 40 xx， ，

函数 = 的极值点个数为（ ）

4. fx( ) x

+e1，x< 0

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得.

【详解】当 x 0 时， fxxxx( )==22 4 ( 2) 4 ，

此时函数在[0,2] 上单调递减，在[2,+ ) 上单调递增，故此时函数有一个极小值点为 2；

当 x< 0 时， fx()=+ ex 1，因 fx( ) = ex<0 恒成立，故函数 fx( ) 在 ( ,0) 上单调递减，

结合函数在[0,2] 上单调递减，可知 0 不是函数的极值点.

综上，函数 fx( ) 的极值点只有 1 个.

故选：B.

5. 已知某地区高考二检数学共有 8000 名考生参与，且二检的数学成绩 X 近似服从正态分布 N (95, 2 ) ，

若成绩在 80 分以下的有 1500 人，则可以估计 PX(95 110) =（ ）

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5 5 11 3

A. B. C. D.

32 16 32 16

【答案】B

【解析】

3

【分析】解法一，求出 PX(<= 80) ，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩

16

在 80 分至 95 分的人数，由对称性，再求出数学成绩在 95 分至 110 分的人数，即可求得答案.

1500 3

【详解】解法一：依题意，得 PX(<= 80) =，

8000 16

13 5

故 P(95 X 110) = P( 80 X 95) = PX (< 95) PX (< 80) ==；

2 16 16

解法二：数学成绩在 80 分至 95 分的有 4000= 1500 2500 人，

由对称性，数学成绩在 95 分至 110 分的也有 2500 人，

2500 5

故 PX(95 110) = = .

8000 16

故选：B.

6. 定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集

， ， ， * ， ， ， ，

A12 A Akk ( N ) 且 AA12 AUk = ，那么称子集族{AA12 Ak } 构成集合U 的 一个

k 划分.已知集合 Ix={ N | x2 6 x +< 5 0} ，则集合 I 的所有划分的个数为（ ）

A. 3 B. 4 C. 14 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】解二次不等式得到集合 I ，由子集族的定义对集合 I 进行划分，即可得到所有划分的个数.

【详解】依题意， Ix={ NN x2 6 x +< 5 0} ={ x 1<< x 5} ={ 2, 3, 4}，

I 的 2 划分为{{2,3},{4}} ,{ {2,4},{3}} ,{ {3,4},{2}} ，共 3 个，

I 的 3 划分为{{2,3,4} { } { }} ，共 1 个，

故集合 I 的所有划分的个数为 4.

故选：B.

7. 已知圆台的上下底面的面积分别为 4,25 ，侧面积为 35 ，则该圆台外接球的球心到上底面的距离

为（ ）

27 27 37 37

A. B. C. D.

8 4 8 4

【答案】C

第3页/共17页

【解析】

【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；

【详解】依题意，记圆台的上下底面半径分别为 rr12, ，

22

则 rr12=4, = 25 ，则 rr12=2, = 5 ，

设圆台的母线长为l ，

则 (r12+= rl) 35 ，解得 l = 5 ，

2

则圆台的高 h =52 ( 52) = 4，

记外接球球心到上底面的距离为 x ，

2 37

则 xx22+=24( ) + 52，解得 x = .

8

故选：C.

2

8. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C: x= 2 py ( p >0) 的焦点 F 到准线l 的距离为 1，过点 F 的直线l1 与C 交

于 MN, 两点，过点 M 作 C 的切线 l2 与 xy, 轴分别交于 PQ, 两点，则 PQ= ON （ ）

1 1 1 1

A. B. C. D.

2 2 4 4

【答案】C

【解析】

【分析】通过联立方程组的方法求得 PQ, 的坐标，然后根据向量数量积运算求得 PQ ON .

1 xx22

2 1 2 12

【详解】依题意，抛物线 Cx:2= y，即 yx= ，则 y= xF, 0, ，设 Mx12,, Nx , ，

2 2 22

xy2 = 2,

1

直线 ，联立 得 2 ，则 =

l1 : y= kx + 1 x2 kx = 10 xx12 1 .

2 y= kx + ,

2

x2 x2

而直线 l: y=1 xxx( ) ，即 y= xx 1 ，

22 11 1 2

x x x2 x2

令 y = 0 ，则 x = 1 ，即 P1 ,0 ，令 x = 0 ，则 y = 1 ，故Q0, 1 ，

2 2 2 2

xx2 xx x22 x 1

则 PQ =11, ，故 PQ= ON 12 1 2 =.

22 2 44

故选：C

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【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利

用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来

求得公共点的坐标.

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分

xx

9. 已知函数 f( x) =+=3sin ,gx( ) 3cos ，则（ ）

23 2

A. fx( ) 的最小正周期为 4

B. fx( ) 与 gx( ) 有相同的最小值

C. 直线 x = 为 fx( ) 图象的一条对称轴

D. 将 fx( ) 的图象向左平移 个单位长度后得到 gx( ) 的图像

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于 A：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于 B：根据解析式可得 fx( ) 与 gx( ) 的最小

值；对于 C：代入求 f () ，结合最值与对称性分析判断；对于 D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分

析判断.

xx

【详解】因为 f( x) =+=3sin ,gx( ) 3cos ，

23 2

2

T = = 4

对于选项 A： fx( ) 的最小正周期 1 ，故 A 正确；

2

对于选项 B： fx( ) 与 gx( ) 的最小值均为 3 ，故 B 正确；

5 3

对于选项 C：因为 f () =3sin = 3 ，

62

可知直线 x = 不为 fx( ) 图象的对称轴，故 C 错误；

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对于选项 D：将 fx( ) 的图象向左平移 个单位长度后，

3

xx

得到 f x+=3sin += 3cos =gx( ) ，故 D 正确.

3 22 2

故选：ABD.

1

10. 已知函数 fx( ) = x3 xf， ( x) 为 fx( ) 的导函数，则（ ）

3

A. f (00) =

B. fx( ) 在 (1, + ) 上单调递增

2

C. fx( ) 的极小值为

3

1

D. 方程 fx( ) = 有 3 个不等的实根

2

【答案】BD

【解析】

【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可.

1

【详解】因为 fx( ) = x3 x，所以 fx( ) = x2 1， f (01) = ，A 说法错误；

3

令 fx( ) >0 解得 x<1或 x >1，令 fx( )< 0 解得<11x<，

所以 fx( ) 在 (,1) 单调递增，在 (1,1) 单调递减，在 (1, +) 单调递增，B 说法正确；

21 2

fx( ) 的极大值点为 x = 1 ，极大值 f (=>1) ，极小值点为 x =1，极小值 f (10) =<，C 说法

32 3

错误；

因为当 x 时， fx( )< 0 ，当 x + 时， fx( ) >0 ，

1

所以方程 fx( ) = 有 3 个不等的实根，分别在 (,1) ， (1,1) 和 (1, +) 中，D 说法正确；

2

故选：BD

11. 已知正方体 ABCD A111 B C D 1的体积为 8，线段 CC1, BC 的中点分别为 EF, ，动点 G 在下底面

A1B1C1D1 内（含边界），动点 H 在直线 AD1 上，且 GE= AA1 ，则（ ）

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