2025 届新高三学情摸底考 (新高考卷)-数学试卷+答案

2025 届新高三学情摸底考（新课标卷）数学 全解全析及评分标准阅卷注意事项：1.阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准。2.请老师改卷前务必先做一遍试题， 了解自己所改试题的答案、评分细则、答题角度后，再开始改卷。3.请老师认真批阅，不可出现漏改、错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以点击回评按钮重评。4.成绩发布后， 如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评。5.解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明、证明过程或演算步骤，合理即可给分。6.解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明、证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不 能给满分；同样， 结果错误，但正确写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤应给分，因第(1)问中 结果算错，使后面最终结果出错(过程列式正确)，不宜重复扣分。7.阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术的老师(或 考试负责人）， 由其统一在技术 QQ 群里反馈问题并协助解决。1234567891011CABDDBCAACDACBCD一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 因为 M = ， M N = ，所以 4, 解得 a = 2 .故选 C. 设 z = a + bi, a, b R ，则 = a - bi，所以a + bi + 2 = 3 + i ，即 3a - bi = 3 + i ，所以 解得 1, 所以 z = 1 - i ，所以 = 1 + 2i ． 故选 A .3 ． B 【 解 析 】 由 题 意 ， 知 a - 2b = (3 - 2m, -2) ， a + b = (3 + m, 7) ． 由 向 量 a - 2b 与 a + b 共 线 ， 得 = 0 ， 即 12m = 27 ，解得 m = ． 故选 B .4． D 【解析】因为 f(x) = (x + a) cos x 为奇函数， 所以 f (0) = 0 ， 即 a = 0 ， 所以 f(x) = xcos x ． 求导， 得f’(x) = cos x - xsin x , 所以 f’() = -1 . 又 f() = - , 所以曲线 y = f(x) 在点( , f()) 处的切线方程为 y + 兀 = -(x - ) ，即x + y = 0 ． 故选 D .由 sin = sin ，得 sin = ，所以 sin = - cos , 所以 数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 13 页）所以 + k兀, k Z ，所以sin2 - 2 cos2 = - cos2 = - ． 故选 D .6．B 【解析】可将 x2 + y2 - 2x = 0 转化为 (x -1)2 + y2 = 1 ，所以圆心为C(1, 0) ，设直线l : y = mx + 2m(m >0) ，P 为直线l 上一动点. 由题意，得| PC | 的最小值为 ，即当 PC 与直线 l 垂直时， | PC | 取得最小值 ,则 . 因为 m >0 ，解得 ． 故选 B .7．C 【解析】取棱 AC 的中点 M ，连接 BM ，DM ．因为ABC 是边长为 2 的等边三角形，所以BM 丄 AC且 BM = ． 又因为 ACD 为等腰直角三角形且直线 BD 为该筝形的对称轴， 所以 AD = CD = ， DM 丄 AC 且 DM = AM = CM = 1．又因为 BD = 2 ，所以 BMD 为直角三角形，且 BM 丄 DM ．过ABC 的外接圆圆心 O 作直线l1 丄 平面 ABC ，过点 M 作直线l2 丄 平面 ACD ，直线l1 与直线l2 相交于点 O ， 则点 O 为四面体 ABCD 外接球的球心，计算，得四面体 ABCD 外接球的半径 所以四面体 ABCD 外接球的表面积S = 4R2 = ． 故选 C .8 ．A 【解析】设M(x, y)(x >0, y >0) ，则N(-x, y) ， .又tan = 所以 tantan 即 所以 e2 = 1 + = 4 ， 即 e = 2 ，所以双曲线 C 的离心率为 2.故选 A .二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9．ACD 【解析】对于 A， 由题意，知事件 A1 表示摸出的两个球的编号为 1,2 或 1,3，事件 A2 表示摸出的两个球的编号为 3,4，所以事件 A1 与事件 A2 是互斥事件， 故 A 正确；对于 B，事件 A3 表示摸出的两个球的编号为 1,3 或 2,3 或 3,4，因为 A1 A3 , 所以事件 A1 与事件 A3 不 是对立事件， 故 B 错误；对于 C， 因为 P ，所以 P 所以事件 A1 与事件 A3 是相互独立事件， 故 C 正确；对于 D， 因为事件 A2 A3 表示摸出的两个球的编号为 3,4，事件 A1 A3 表示摸出的两个球的编号为 1,3，数学 全解全析及评分标准 第 2 页（共 13 页）所以事件 A2 A3 与事件 A1 A3 是互斥事件， 故 D 正确 . 故选 ACD .10 ．AC 【解析】 由题意， 知点 M对于 2 = 4 - 2 ， 故 A 正确；对于 B， 当 x = = 4 - 2 = 4 - 2cos 3 = 4 + 2 为最大值， 故 B 错误； 对于 + k兀, k Z ，解得 + 2k, k Z ，所以点 是曲线 y = (x) 的一个对称中心， 故 C 正确；对于 D ，令2k 2k + , k Z ，解得4k + x 4k + k Z .又x [0, 4) ，所以 k = 0 ， , 所以 的单调递增区间为 ， 故 D 错误.故选 AC .11．BCD 【解析】对于 A，令x = y = 0 ，得 f(0) = 0 ，令y = -x ，得 f(-x) + f(x) = 0 ，所以 f(x) 为奇函数，故 A 错误；对于 B，令x = y = 1 ，得 f(2) = 2f(1)+ 2 ，令x = 1, y = 2 ，得 f(3) = f(1) + f(2) + 6 ，又 f(3) = 12 ，所以 + 8 = 12 ，所以 f ， 故 B 正确；对于 C， 由 f + xy2 + x2y ，得 f 记 也为奇函数.又当 x >0 时， 3g(x) = 3f(x) - x3 >0 ，即g(x) >0 .下面证明g(x) 在(0,+) 上单调递增， 设 x2 >x1 >0 ，则 g(x2 ) - g(x1 ) = g(x2 ) + g(-x1 ) = g(x2 -x1 ) >0 ，即当 x2 >x1 >0 时， g(x2 ) >g(x1 ) ，所以g(x) 在(0,+) 上单调递增. 又g(x) 为奇函数，当 x >0 时， g (x) >0 ，所以g(x) 在 R 上单调递增，所以 在 R 上单调递增， 故 C 正确；对于 D，令 y = 1 ，得 f(x + 1) = f(x) + f(1) + x2 + x ，所以 f’(x + 1) = f’(x) + 2x + 1 . 又 f(x) 为奇函数，所以 f’(x) 为偶函数.因为 及 的周期为 4，所以 2f’(sin i) = 506[f’(1) + f’(0) + f’(-1) + f’(0)] = 1012[f’(1) + f’(0)] .i=1 2数学 全解全析及评分标准 第 3 页（共 13 页）由 f’(3) = f’(2) + 5 = f’(1) + 8 = f’(0) + 9 = 10 , 解得 f’(1) = 2 , f’(0) = 1，所以 = 1012 = 3036 ， 故 D 正确 .故选 BCD .三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12． -23 【解析】因为 (x - 3)8 的展开式中 xk 的系数为 C-k (-3)8-k ， k = 0,1,…,8 ，所以所求的 x9 的系数为C(-3)1 + C (-3)0 = -24 + 1 = -23 ． 故填 -23 .13． 或 由 SABC = absin C = 2 1 sin C = ，得 sin C = . 因为 0< C< 兀 ,所以 或 兀 . 当 时， 由余弦定理 ，得 c2 = a2 + b2 - 2abcos C = 22 + 12 - 2 2 1 cos ，解得 ；当 兀 时 ，由余弦定理，得 c2 = a2 + b2 - 2abcos C = 22 + 12 - 2 2 1 cos 兀 ，解得 故填 或 - .14． 由题意 ，知射线OP : y = x ， | OR |= b ， | OT |= a ，联立 得x = y = ，| OS |= ，所以 .又圆 与圆C2 围成的图形的面积大 于圆 C1 的面积，所以 a2 - b2 >b2 ，即 a2 >2b2 ，所以 ，所以 令 又 y = t + 在 上单调递增 ，所以 故填 .说明：1． 第 12 题不用数字作答不给分；2． 第 13 题只写 3 或只写 均不给分；3． 第 14 题写 也给 5 分.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13 分）【解析】（1）设事件 M = “至少选到 2 箱 A 级苹果” .数学 全解全析及评分标准 第 4 页（共 13 页）由题意，知选到 1 箱 A 级苹果的概率为 ，（1分） 所以选到 1 箱非 A 级苹果的概率为 所以 即至少选到 2 箱 A 级苹果的概率为 .（4 分）（2） 由题意， 知选出的 10 箱苹果中，A 级苹果有 6 箱，B,C 级苹果共有 4 箱．（5 分） X 的所有可能取值为 0,1,2,3，（6 分）所以 X 的分布列为X0123P1303 101216（11 分） （13 分）说明：第一问：1.1 分段设至少选到 2 箱 A 级苹果为事件 M ,正确求出选到 1 箱 A 级苹果的概率，不设出事件 M不扣分；2.2 分段求出选到 1 箱非 A 级苹果的概率；3.4 分段求出至少选到 2 箱 A 级苹果的概率，分开写选到2 箱 A 级苹果和 3 箱 A 级苹果的概率，有一个正确给 1 分，答案写成 0.648 也给分. 第二问：1.5 分段写出用分层随机抽样的方法，得到 A 级苹果有 6 箱，B,C 级苹果共有 4 箱；2.6 分段写出X 的所有可能取值，有错不给分；3.10 分段写出 X 取每一个值的概率，对一个给 1 分，所有结果都正确但是结果不是最简的扣 1 分；4.11 分段写出 X 的分布列，不化简不重复扣分；5.12 分段列出E(X) 的式子；6.13 分段算出E(X) 的值.数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 13 页）16．（15 分）【解析】（1）设等比数列{an } 的公比为 ， 由 a3 = ，得a1q2 = 由 a1a2 = 得 aq = ，（2 分） 解得 a1 = 1, q = （4 分）所以 ， 即 的通项公式为 （5 分）（2） 由（1）， 知bn = n +1，（6 分）由 Sn = anb1 + an-1b2 + … + a2bn-1 + a1bn ，即 Sn = a1bn + a2bn-1 + … + an-1b2 + anb1 ，得 （8 分） 两式相减 ，得 所以 Sn = 2n ．（15 分）说明：第一问：1.1 分段将 用 a1， q 表示；2.2 分段将a1a2 = 用 a1， q 表示；3.4 分段计算出a1， q ,对 1 个给 1 分；4.5 分段写出{an } 的通项公式. 第二问：1.6 分段算出bn = n +1 ；2.8 分段将 Sn 倒序后写出；数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 13 页）3.10 分段将等式两边同时乘以 ；4.12 分段两式相减；5.13 分段利用等比数列求和公式求和；6.14 分段化简得出结果；7.15 分段得出 Sn .8.8 分段 Sn 不倒序， 直接利用 求和 ，按以下步骤给分： （8 分）2Sn = 两式相减，得—Sn = + 2 — 2 . n—1 — 2 = —2n ， 所以 Sn = 2n ．（15 分）17．（15 分）【解析】（1）因为 PD 丄 平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，所以 PD 丄 BC .（1 分） 又底面 ABCD 为矩形，所以BC 丄 CD .（2 分）又 PD CD = D ， PD， CD 平面 PCD ，所以 BC 丄 平面 PCD .（3 分） 又 BC 平面 PBC ，所以平面 PCD 丄 平面 PBC ．（4 分）（2） 因为 DA, DC, DP 两两垂直，所以以 D 为坐标原点， DA，DC，DP 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（5 分）则 A (2, 0, 0) ，B (2,3,0) ，C (0,3, 0) ,由题意，知在 RtPDM 中， 上PDM = 90o, PM = 2, DM = 1 ，所以 PD = 3 ，所以 P (0, 0, 3) ，（6 分）--- --- --- AC = (—2,3, 0), AB = (0, 3, 0), AP = (—2, 0, 3) .（7 分）过点Q 作QEAB 交 PA 于点E ，连接 EM ， 因为CQ 平面 PAM ，所以CQEM .数学 全解全析及评分标准 第 7 页（共 13 页）又 ABCD ，所以QECD ，所以四边形QEMC 是平行四边形，所以EQ = MC ，（8 分）所以 所以 设平面 PAB 的法向量为 , 则 z1 = 0, 令 z1 = 2 ， 则 x1 = , y1 = 0 ，得 m = ( , 0, 2) 是平面 PAB 的一个法向量．（11 分）设平面 ACQ 的法向量为 ， 则 z2 = 0, 令 x2 = 3 ， 则 y2 = 2 ， z2 = —2 得 n = (3,2,— 2) 是平面 ACQ 的一个法向量．（13 分） 设平面 PAB 与平面 ACQ 的夹角为 ,所以平面 PAB 与平面 ACQ 夹角的余弦值为 （15 分）说明：第一问：1.1 分段证 PD 丄 BC ；2.2 分段证 BC 丄 CD ；3.3 分段证 BC 丄 平面 PCD ，条件 PD CD = D ， PD， CD 平面 PCD 不写不扣分；4.4 分段得出平面 PCD 丄 平面 PBC ，条件 BC 平面 PBC 不写不扣分.第二问：1.5 分段建立空间直角坐标系，不说明 DA, DC, DP 两两垂直不扣分，详细说明坐标系的建立过程，但没 有在图中画出不扣分；2.6 分段求出各点坐标；3.7 分段写出各向量的坐标；数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 13 页）4.8 分段确定 Q 点位置，得出EQ = MC , 只要说明 Q 为 PB 上靠近 B 的三等分点就给分；---5.9 分段得出 Q 点坐标和 AQ ；6.10 分段写出平面 PAB 的法向量满足的关系；7.11 分段求出平面 PAB 的一个法向量；8.12 分段写出平面 ACQ 的法向量满足的关系；9.13 分段求出平面 ACQ 的一个法向量；10.15 分段得出平面 PAB 与平面 ACQ 夹角的余弦值， 结果写成 5 不扣分.18．（17 分）【解析】（1）由题意，知动圆的圆心为(, 0) ，（1 分）所以(x — 4)2 + y2 = ( x — 4 + 4)2 ，（2 分）2 2化简，得 y2 = 4x ，即点(x, y) 的轨迹 C 的方程为 y2 = 4x ．（4 分）（2）如图，由题意，知 A(4, 4) ，（5 分）设 由 A，B，E 三点共线，得 1解得 y0 = 1 或 y0 = 4 （舍去），所以B( ,1) ，（7 分）4所以点 B 关于 x 轴的对称点为 B’(，—1) .由题意，知直线 AQ 的斜率 k 存在，记直线 AB' 的斜率为kAB' ,且k >kAB’= ， 设直线 AQ ： y — 4 = k(x — 4)(k >) ， Q(xQ,yQ ) ， M(xM,yM ) ，因为点Q 在抛物线 C 上，由 得 y2 — y + —16 = 0 ，所以 yAyQ = —16 ，（8 分） 所以 yQ = — 4 ，所以 xQ = = 4( —1)2 .（9 分）又因为BM 丄 AQ ，所以直线 BM 的方程为 y —1 = — 数学 全解全析及评分标准 第 9 页（共 13 页）联立 解得 ---- ---因为| AM | . | AQ |= AM . AQ = (xM — 4, yM — 4) . (xQ — 4,yQ — 4) = (xM — 4)(xQ — 4) + (yM — 4)(yQ — 4) = (xM — 4)(xQ — 4) + k2 (xM — 4)(xQ — 4) = (k2 + 1)(xM — 4)(xQ — 4) （12 分） = —152 + 18 所以当 即当 时， | AM | . | AQ | 取得最大值 （17 分）说明：第一问：1.1 分段写出圆心坐标；2.2 分段利用半径建立等量关系；3.4 分段化简轨迹 C 的方程.另解： 由题意， 设 A1 (—4, 0) ， B1 (x, 0) ， C1 (0, y) ，所以 （1 分） 由题意， 知 所以 —4x + y2 = 0 ，（3 分）数学 全解全析及评分标准 第 10 页（共 13 页）所以 y2 = 4x ，即点(x, y) 的轨迹 C 的方程为 y2 = 4x ．（4 分）---- ----1.1 分段写出 A1C1 ， B1C1 的坐标；2.2 分段得出3.3 分段由数量积运算得出 —4x + y2 = 0 ；4.4 分段得出轨迹 C 的方程. 第二问：1.5 分段求出 A 点的坐标；2.6 分段由三点共线得出 B 点坐标满足的关系；3.7 分段求出 B 点的坐标；4.8 分段设出直线 AQ 的方程，并与抛物线方程组成方程组写出根与系数的关系；5.9 分段求出Q 点的坐标；6.10 分段写出直线 BM 的方程；7.11 分段解出 M 点的横坐标；8.12 分段将| AM | . | AQ | 用xM, xQ 表示；9.13 分段将xM, xQ 代入转化为用 k 表示；10.14 分段化简为关于k 的二次函数；11.15 分段求出二次函数在对称轴处取得最大值；12.17 分段得出| AM | . | AQ | 的最大值；13.求解过程中没有估计出k 的取值范围 ，最后不检验 是否取到扣 1 分.--- ---或者第二问也可以将求 | AM | . | AQ | 的最大值转化成求 AB . AQ 的最大值.19．（17 分）【解析】（1）由 f(x) = x(x —1)(x — 2)(x — 4) ，得 f(0) = f(1) = f(2) = f(4) = 0 ，（1 分）由 f(0) = f(1) ，根据罗尔定理，知存在 x1 (0,1) ，使得 f’(x1 ) = 0 ，（2 分） 由 f(1) = f(2) ，根据罗尔定理，知存在 x2 (1, 2) ，使得 f’(x2 ) = 0 ，（3 分）由 f(2) = f(4) ，根据罗尔定理，知存在x3 (2, 4) ，使得 f’(x3 ) = 0 ， 所以方程 f’(x) = 0 至少有三个根.（4 分）数学 全解全析及评分标准 第 11 页（共 13 页）又 f’(x) 为三次函数，所以方程 f’(x) = 0 至多有三个根，所以方程 f’(x) = 0 有三个根，且x1 (0,1) ， x2 (1, 2) ， x3 (2, 4) ．（5 分） 令 Fx ， 则F因为 f(x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 内可导，所以函数F(x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区 间(a, b) 内可导，且F(a) = F(b) ，由罗尔定理，知在开区间(a, b) 内至少存在一点c ，使得F’(c) = 0 .（8分）所以 ，即在开区间(a, b) 内至少存在一点c ，使得 f’ 由 0< a< b ，得0< a< 要证 (a +< aea + beb ，即证 — aea< beb — 令 g(x) = xex ，由（2），得对于区间 存在 ，使得 g ' 对于区间( , b) ，存在 c2 ( , b) ，使得 g'(c2 ) = =beb — e .（15 分）2因为 g’(x) = (1 + x)ex ，令 h(x) = (1 + x)ex , x >0 ，则 h'(x) = (2 + x)ex >0 ，所以g'(x) 在(0,+) 上单调递增， 又0< c1< c2 ，所以 g’(c1 )< g’(c2 ) ，（16 分）即 e — aea