数学试题
时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第卷
一 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x|2x-3>0},N={y|y=ex +1},则 ( )
3 3 3
A. M N 1, B. M N , C. M N D.CN M 1,
2 2 2
2.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D
是A的 ( ) 条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1
3. 函数 f x x3 的图像是( )
x
A. B. C. D.
4.已知 a,b,c 满足2a 3 ,bln2=1,3c 2 , 则 （ ）
A.a>b>c B.a>c>b C. b>c>a D.b>a>c
2x 1
5. 若在用二分法寻找函数 y ex （x>0）零点的过程中，依次确定了零点所在区
x
a b 4 1
间为a,b, ,b, a,b 则实数a 和b 分别等于( )
2 3 8
3 5 3 5 3 3 4 5
, , , ,
A. 2 2 B. 4 4 C. 4 2 D. 5 4
2025届高三数学第2次月考(试题卷)第1页共4页
6.在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图像如图所示，已知两图像
有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1),则( )
ex
函数 的最大值为1 函数y 的最小值为1
A. y=f(x)+x B. f x
x f x
C.函 数y= f xe 的最大值为1 函数 y x 的最小值为1
D. e
7.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1, F2 , P 是C 上一点，且PFF1F2 ,
H是线段PF1 上靠近F1 的四等分点，且OHPF1 =0,则C的离心率为( )
B. 3 1 C. 2 1 D.
8.已知函数 f x x2 4x aex2 ex2 有唯一零点，则a的值为( )
1
1
A.2 B. 2 C. 2 D. -1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
n
9.已知幂函数 f x x m （ m,n N ,m,n互质），下列关于 f x的结论正确的是（ ）
A.m,n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数
B. m是奇数，n 是偶数时，幂函数f(x)是偶函教
C. m是偶数，n 是奇数时，幂函数f(x)是偶函数
n
D.0 1时，幂函数f(x)在(0,+00)上是增函数
m
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10.已知函数f(x)的定义为(-00,0),其导函数f’(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则下列不等式
中正确的是( )
A.f(-2)<2f(-1) B.f(-2)>4f(-1)
C.f(-4)>4f(-2) D.f(-4)<4f(-2)
11.已知函数f(x)=ex 2 ,g(x)=x+ax(aR),h(x)=kx 2k 1(kR), 给出下列
四个命题，其中真命题为( )
A.存在实数k,使得方程f(x)=h(x)恰有两个根；
B.存在实数k,使得方程|f(x)=h(x)恰有三个根；
C. 任意实数a, 存在不相等的实数x,x,使得f(x)-f(x)=g(x)-g(x):
D.任意实数a,存在不相等的实数x,x,使得f(x)-f(x)=g(x)-g(x).
三。填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若代数式 x 1 2 x 有意义，则 x2 2x 1 4 x 24 .
13.函数y=f(x)的定义域为R.若对满足 x2 x1 t (t>0)的任意 x1, x2 ,均有f(x)-f(x1
)>t,则称函数y=f(x)具有“P(t)性质”,已知f(x)=ax3 ,且函数y=f(x)具有P(t)性质，则
实数a的取值范围为 .
14.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,A(x1 ,y),B(x,y),D(x3 ,y)为抛物线C上的任
意三点(异于坐标原点O), FA FB FD 0 ,且|FA|+|FB|+|FD|=6,若直线AB,AD,BD
的斜率分别为k AB ,k AD , kBD , 则p的值为
四。解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或推算步骤。
15. (13分)已知a、b、c分别是ABC 三个内角A、B、C的对边，且 3asin C c cos A c 0 .
(1)求角A;
3
(2)若a= 2 ,ABC的面积为 2 ，求b, c.
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海南中学2025届第二次月考数学试题
1
16.(15分)已知数列 是公差为3的等差数列，数列{b }满足b1 1,b2 ,anbn1 bn1 nbn ,
{an } n 3
(1)求数列{an },{bn }的通项公式；
n
(2)求数列{1 an bn }的前2n项和S2n 。
1 ln x
a ln x gx
17. (15分)已知f(x)= x , x 。
(1)求曲线y=g(x)在点(l,g(1))处的切线方程；
(2)讨论是否存在a<0,使函数h(x)=2f(x)-g(x)有极小值?并说明理由。
18.(17分)已知函数f(x)= x a a x
(1)若a=2,求函数f(x)的定义域；
(2)若a0,若f(x)=a有2个不同实数根，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a,使得函数f(x) 在定义域内具有单调性?若存在，求出a的取值范围
.
19.(17分)在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离
x2 y 2
之和相等，则称l为多边形的一条“等线”。双曲线E: 2 2 1的左、右焦点分别
a b
为 F1, F2 ,其离心率为2,且点P 为双曲线E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P,
且与E的渐进线交于A,B两点，且点A在点B上方。当PF2 x轴时，直线y=1为PF1F2
2
x2 y x x y y
的等线。已知双曲线E ： 1在其上一点 x , y 处的切线方程为 0 0 1。
a2 b2 P( 0 0 ) a2 b2
(1)求双曲线E 的方程；
(2)若y=2x是四边形AF1BF2 的等线，求四边形AF1BF2 的面积；
1
(3)已知O为坐标原点，设OG OP , 点G的轨迹为曲线 ，证明： 在点G处的切线n为
3
AF1F2 的等线。
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海南中学 2025 届高三年级第2 次月考
数学答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求
的.
)
1.【答案】C 【详解】:M = {x 2x - 3 >0} = (| , + ，N = {y y >1} = (1, +)
( ,
，因M N = 故 A 项错误；由M N = (1, +) ，知 B 项错误；
因M N ，故 C 项正确, 由cNM = 项错误.
2.【答案】B【解析】由题意得 A ，B ，C ，D 间的关系如
图．故 D 是 A 的必要不充分条件.
3. 【答案】D
= 3x2 + >0 ，函数f 在 上单调递增，且f
(1) = f (-1) = 0 。
因为2a = 3 ，b ln 2 = 1 ，3c = 2 ，所以a =
log2 3 ，b = = log2 e ，
c = log3 2< log3 3 = 1 ，因为y = log2 x 在定义域上单调递增，所以
log2 3 >log2 e >log2 2 = 1
所以a >b >1 ，c< 1 ，所以a >b >c ，故选：A
5.【答案】B【详解】由函数 = ex - = ex - 2 -
根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数f (x) 在(1, +) 上为单调递增函数，
所以函数f (x) 在(1, +) 至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为
0
[a, b],「 , b 「4 a, b- ，可得 ，即 ，得a = .故选 B.
L | ,|L 3
6 ．【答案】B
【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在 x 轴
上方，任何一个为导函数，则另外一
个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y = f, (x) ，实
线部分为y = f (x)，
对于 A, y, = f, (x)+1 >0恒成立，故y = f (x )+ x 在 R 上单调递增，
则 A 显然错误，
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对于 C,y , = f,(x).ex + f( x) .ex = ( f,( x) + f( x)) . ex >0 恒成立，
故y = f (x ). ex 在 R 上单调递增，则 C 显然错误，
对于 D ，y, = 由图像可知 ， y, = >0 恒成立，故
f
单调递增，当x , y, =< 0 ，y = 单调递减，
所以函数y = 在x = 0 处取得极大值，也为最大值， = 1 ，D 错误 B 正确.故选：B
7.【答案】C【解析】由题意，不妨设点 P 在第一象限，
如图.
PF F F
因为 2 丄 1 2 ，则iPF2 i = ， = 2a - iHF1 i = iPF1 i =
.
--- ---
OH PF
因为OH . PF1 = 0 ，则 丄 1 ，可知PF1F2 OF1H ，
2 2
则 即 整理得 2 - 2 2 .
c 2ac + a = 0
a
由 得 e2 - 2 2e +1 = 0，解得 2 1（舍去 +1），
所以 C 的离心率为 2 - 1.故答案为：C.
8.【答案】A 【详解】f(x) = x2 - 4x + a(ex-2 + e-x+2 ) =
(x - 2)2 - 4 + a(ex-2 + e-x+2 )
设t = x - 2 ，则f (t ) = t2 - 4 + a (et + e-t )
2
定义域为R ，f (-t) = (-t) - 4 + a (e-t + et ) = f (t )
所以f (t ) 为偶函数，所以f (x ) 的图像关于x =2 成轴对
要使f (x ) 有唯一零点，则只能f (2) = 0 ，即-4 + 2a = 0 ，解得a = 2 ，故答案为：2 .
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二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分
.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有
选错的得 0 分.
对 A ，当 m ，n 是奇数时，f (x) 的定义域为 ，关于原点对称，R
= -f 则幂函数f (x) 是奇函数，故 A 中的结论正确；
对 B ，当 m 是奇数，n 是偶数时，f (x) 的定义域为 R，关于原点对称，
则幂函数 是偶函数
= f f (x) ，故 B 中的结论正确 ；
对 C ，当 m 是偶数，n 是奇数，幂函数f (x) 在 对 D ，0<<1 时，幂函数f (x) 在(0, +) 上是增函数，故 D 中的结论正确；故选：ABD. 10.【答案】BC【详解】 由题意知， 当 x (-, 0) 时， xf, (x)- 2f (x) >0 ， 所以 g(x)在(-, 0) 上单调递减， - 4< -2 g f ； 选：BC. 11.【答案】ABC 【详解】画出 f (x ) = ex - 2 的函数图象 ，如图： h (x ) = kx - 2k +1 经过定点(2, 1) ，从图中可以看出存在实数 k， f h x 恰 使得方程 = ( ) (x) 有两个 根；A 正确； 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 3 页 共 11 页