秘密启用前 【考试时间:10 月 29 日 14:30-16:30】
数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上,并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条
形码.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如
需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时.将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项
是符合题目要求的.
Z x, y z 1 1
1. 设复数 z 在复平面内对应的点为 ,若 ,则( )
2 2
A. x 1 y2 1 B. x 1 y2 1
2 2
C. x2 y 1 1 D. x2 y 1 1
1
2. 已知 e , e 都为单位向量,若 e 在 e 上的投影向量为 e ,则 e e ( )
1 2 1 2 2 2 1 2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
3. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,下列说法错误的是( )
A. AD AC B. AD 与 BD 所成角为
1 1 1 3
C. AD // 平面 BDC D. AD 与平面 ACC 所成角为
1 1 1 1 3
4. 在践行“乡村振兴”战略的过程中,某地大力发展特色花卉种植业.某农户种植一种观赏花,为了解
花卉的长势,随机测量了100枝花的高度(单位: cm ),得到花枝高度的频率分布直方图,如图所示,则
( )
第 1页/共 5页
A. 样本花卉高度的极差不超过 20cm
B. 样本花卉高度的中位数不小于众数
C. 样本花的高度的平均数不小于中位数
D. 样本花升高度小于 60cm 的占比不超过 70%
5. 设等比数列an公比为 q ,则“ q 1 ”是“an为递增数列”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件
6. 已知圆台的母线长为 4 ,高为 7 ,体积为 7 7 ,则圆台的侧面积为( )
A. 48 B. 24 C. 20 D. 10
7. 已知 A 、B 为直线 l 上的两个定点,AB 2 ,P 为 l 上的动点.在平面直角坐标系中,F1 3,0 、F2 3,0 ,
以 F1 为圆心, PA 为半径作圆 F1 ;以 F2 为圆心, PB 为半径作圆 F2 ,则两圆公共点的轨迹方程为( )
y2 x2 x2 y2 x2
A. x2 1 B. y2 1 C. 1 D. y2 1
8 8 9 8 10
m
8. 已知函数 f (x) ln x 和两点 A(1,0) ,B e ,m ,设曲线 y f (x) 过原点的切线为 l ,且 lAB ,则 m 所
在的大致区间为( )
A. (1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 已知函数 f (x) sinx acosx( 0) 的最大值为 2 ,其部分图象如图所示,则( )
第 2页/共 5页
A. 1
B. 函数 y f x 为偶函数
4
13 17
C. y f (x) 在[0,m] 上有 4 个零点,则 m
4 4
f (x)
D. 当 x0, 时,函数 y 的值域为 1, 3
3 cos x
10. 已知函数 f (x) x3 ax 2(aR) ,则( )
a
A. f (2) f (2) 4 B. 若 a 0 ,则 f (x) 的极大值点为 x
3
C. 若 f (x) 至少有两个零点,则 a 3 D. f (x) 在区间 (,a 1) 上单调递增
11. 抛物线 C: y2 4x 的准线为 l ,过焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点,分别过 A,B 作 l 的垂线,垂足
分别为 , ,记 , , 的面积分别为 , , ,则( )
A B AAF ABF BBF S1 S2 S3
A. ABF 为锐角三角形 B. S2 的最小值为 4
1 1
C. S , S , S 成等差数列 D. S , S , S 成等比数列
1 2 2 3 1 2 2 3
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
1 sin 2 3
12 已知 ,则 tan ______.
. cos 2 5 4
在正项数列 中, ,且 6 ,则 .
13. an ln an1 ln an 2 a1a3 e an ______
14. 甲口袋中有标号为1、 2 、 3 的三张卡片,乙口袋中有标号为 4 、 5 、 6 、 7 的四张卡片,从两个口袋
中不放回地随机抽出三张卡片,每个口袋至少抽一张,则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同
抽法共有______种(用数字作答)
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第 3页/共 5页
15. 在VABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,且 a cos B b cos A c b .
(1)求角 A ;
(2)已知 A 的角平分线交 BC 于点 D ,若 c 2 , AB AC 4 ,求 AD .
16. 如图,在多面体 ABC A1B1C1 中, A1 A ,B1B ,C1C 均垂直于平面 ABC ,ABC 120 , A1 A 4 ,
C1C 1 , AB BC B1B 2 .
(1)求证: AB1 平面 A1B1C1 ;
(2)求二面角 A B1C1 C 的正弦值.
17. 一项没有平局的对抗赛分为两个阶段,参赛者在第一阶段中共参加 2 场比赛,若至少有一场获胜,则进
入第二阶段比赛,否则被淘汰,比赛结束;进入第二阶段比赛的参赛者共参加 3 场比赛.在两个阶段的每
场比赛中,获胜方记 1 分,负方记 0 分,参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和,若甲在第一阶段比赛中
1
每场获胜的概率都为 p0 p 1 ,在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为 ,每场比赛是否获胜相互独
3
8
立.已知甲参赛总分为 2 分的概率为 .
27
(1)求 p ;
(2)求甲参赛总分 X 的分布列和数学期望.
x2 1 1 e
18. 设椭圆 C : y 2 1a 1 的右焦点为 F ,右顶点为 A ,已知 ,下中 O 为原点,
a2 OF OA AF
e 为椭圆的离心率.
(1)求 C 的方程;
(2)设点 P 为 C 上一动点,过 P 作不与坐标轴垂直的直线 l .
若 l 与 C 交于另一点T , E 为 PT 中点,记 l 斜率为 k , OE 斜率为 k0 ,证明: k k0 为定值;
若 l 与 C 相切,且与直线 x 2 相交于点 Q ,以 PQ 为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;
若否,请说明理由.
第 4页/共 5页
19. 行列式最早起源于对线性方程组的研究,起初是一种速记的表达式,发展到现在已经成为一种非常有用
a a a
a b a b 1 2 3
的数学工具.已知 表示二阶行列式,规定 ad bc ; b b b 表示三分行列式,规定
c d c d 1 2 3
c1 c2 c3
a1 a2 a3 x 0 3x
b2 b3 a2 a3 a2 a3
b1 b2 b3 a1 b1 c1 .设 f (x) 3 x 0 .
c2 c3 c2 c3 b2 b3
c1 c2 c3 1 1 x
(1)求 f (x) ;
(2)以 An xn , f xn 为切点,作直线 ln1 交 f (x) 的图象于异于 An 的另一点 An1 xn1, f xn1 ,其中
nN .若 x0 0 ,当 n 1时,设点 An 的横坐标 xn 构成数列 .
求 的通项公式;
1 1 1
证明: .
ln 1 ln 1 ln 1 1
a1 1 a2 1 an 1
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秘密启用前 【考试时间:10 月 29 日 14:30-16:30】
昆明市五华区 2025 届高三上学期期中教学质量检测
数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上,并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条
形码.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如
需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时.将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项
是符合题目要求的.
Z x, y z 1 1
1. 设复数 z 在复平面内对应的点为 ,若 ,则( )
2 2
A. x 1 y2 1 B. x 1 y2 1
2 2
C. x2 y 1 1 D. x2 y 1 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的几何意义可得出 z x yi ,再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结果.
【详解】由复数的几何意义可得 z x yi ,
2 2
所以, z 1 x 1 yi x 1 y 2 1 ,化简可得 x 1 y2 1.
故选:A.
1
2. 已知 e , e 都为单位向量,若 e 在 e 上的投影向量为 e ,则 e e ( )
1 2 1 2 2 2 1 2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
1
【分析】根据题意结合投影向量可得 e e ,平方结合数量积的运算律分析求解.
1 2 2
第 1页/共 23页
【详解】由题意可知: e1 e2 1,
ur ur
e e ur ur ur ur 1 ur 1
因为 在 上的投影向量为 1 2 ,可得 ,
e e ur 2 e2 e1 e2 e2 e2 e1 e2
1 2 2 2
e2
ur ur 2 ur2 ur ur ur2 1
又因为 e e e 2e e e 1 2 1 3,所以 e e 3 .
1 2 1 1 2 2 2 1 2
故选:B.
3. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,下列说法错误的是( )
A. AD AC B. AD 与 BD 所成角为
1 1 1 3
C. AD // 平面 BDC D. AD 与平面 ACC 所成角为
1 1 1 1 3
【答案】D
【解析】
【分析】设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1,以点 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为
x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1,以点 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直
线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系,
则 A1,0,0、 B1,1,0 、 C 0,1,0 、 D 0,0,0 、 A1 1,0,1 、 B1 1,1,1 、 C1 0,1,1 、 D1 0,0,1 ,
对于 选项, , ,
A AD1 1,0,1 A1C 1,1,1
则 ,所以, , 对;
AD1 A1C 1 0 1 0 AD1 A1C A
AD1 DB 1 1
对于 B 选项, DB 1,1,0 ,则 cos AD1, DB ,
AD1 DB 2 2 2
第 2页/共 23页
所以, AD 与 BD 所成角的大小为 ,B 对;
1 3
对于 选项,设平面 的法向量为 , ,
C BDC1 m x1, y1, z1 DC1 0,1,1
m DB x y 0
则 1 1 ,取 ,则 ,
y1 1 m 1, 1,1
m DC1 y1 z1 0
则 ,所以, ,
AD1 m 1 0 1 0 AD1 m
又因为 AD1 平面 BDC1 ,所以, AD1 // 平面 BDC1 ,C 对;
对于 选项,设平面 的法向量为 , , ,
D ACC1 n x2 , y2 , z2 CC1 0,0,1 CA 1,1,0
n CC z 0 r
则 1 2 ,取 ,则 ,
x2 1 n 1,1,0
n CA x2 y2 0
AD1 n 1
所以, cos AD1, n ,
AD1 n 2
所以, AD 与平面 ACC 所成角为为 ,D 错.
1 1 6
故选:D.
4. 在践行“乡村振兴”战略的过程中,某地大力发展特色花卉种植业.某农户种植一种观赏花,为了解
花卉的长势,随机测量了100枝花的高度(单位: cm ),得到花枝高度的频率分布直方图,如图所示,则
( )
A. 样本花卉高度的极差不超过 20cm
B. 样本花卉高度的中位数不小于众数
C. 样本花的高度的平均数不小于中位数
D. 样本花升高度小于 60cm 的占比不超过 70%
【答案】D
【解析】
【分析】利用极差的定义可判断 A 选项;利用中位数和众数的定义可判断 B 选项;利用平均数公式求出样
本花卉高度的平均数,可判断 C 选项;计算出样本花升高度小于 60cm 的占比,可判断 D 选项.
第 3页/共 23页
【详解】对于 A 选项,由频率分布直方图可知,样本花卉高度的极差为 70 40 30cm ,A 错;
55 60
对于 B 选项,样本花卉高度的众数为 57.5cm ,
2
设样本花卉高度的中位数为 acm ,
前三个矩形的面积和为 0.012 0.028 0.0365 0.38 ,
前四个矩形的面积和为 0.38 0.0565 0.66,故 a 55,60 ,
由中位数的定义可得 0.38 a 550.056 0.5,解得 a 57.14cm ,则 a 57.5,
所以,样本花卉高度的中位数小于众数,B 错;
对于 C 选项,由频率分布直方图可知,
样本花卉高度的平均数为
x 42.5 0.06 47.5 0.14 52.5 0.18 57.5 0.28 62.5 0.24 67.5 0.1 56.5 cm ,
且 x a ,所以,样本花的高度的平均数小于中位数,C 错;
对于 D 选项,由 B 选项可知,样本花升高度小于 60cm 的占比为 66% ,D 对.
故选:D.
5. 设等比数列an公比为 q ,则“ q 1 ”是“an为递增数列”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】要判断“ q 1 ”与“等比数列{an}为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两
方面进行分析,即看“ q 1 ”能否推出“等比数列{an}为递增数列”,以及“等比数列{an}为递增数列”
能否推出“ q 1 ”.
n1
【详解】假设 q 1 .对于等比数列{an},其通项公式为 an a1q .
当 q = 2 , a1 2 时,根据通项公式可得 a2 a1q 2 2 4 .
此时 a2 a1 ,等比数列{an}不是递增数列.
这说明仅仅 q 1 不能保证等比数列{an}一定是递增数列,
所以“ q 1 ”不是“等比数列{an}为递增数列”的充分条件.
第 4页/共 23页
假设等比数列{an}为递增数列,那么 an1 an .
由通项公式可得 n1 , n ,所以 n n1
an a1q an1 a1q a1q a1q .
当 时,不等式两边同时除以 n1 (因为 , n1 ,不等号方向改变),
a1 0 a1q a1 0 q 0
得到 qn qn1 .例如当 n 2 时, q2 q ,解得 0 q 1.
这说明等比数列{an}为递增数列时,不一定有 q 1 ,
所以“ q 1 ”不是“等比数列{an}为递增数列”的必要条件.
则“ q 1 ”是“ 为递增数列”的既不充分又不必要条件.
故选:D.
6. 已知圆台的母线长为 4 ,高为 7 ,体积为 7 7 ,则圆台的侧面积为( )
A. 48 B. 24 C. 20 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用母线长和高,求出上底面半径和下底面半径的等式关系,然后利用体积求出上底面半径和下
底面半径的另一个等式关系,然后求出上下底面半径,再用侧面积公式即可求解.
【详解】如下图所示,
设圆台上底面半径为 r ,下底面半径为 R ,则 R r ,
设 AC 为圆台的一条母线,连接 OA、 O1C ,则四边形 OO1CA 为直角梯形,
过点 C 在平面 OO1CA 内作 CB OA ,垂足为点 B ,
根据题意, , , , ,
AC 4 OO1 7 O1C r OA R
因为 O1C//OA , OO1 OA , BC OA ,则四边形 OO1CB 为矩形,
所以, , ,则 ,
BC OO1 7 OB O1C r AB OAOB R r
第 5页/共 23页