第七节 抛物线方程与性质（教师版）

第七节抛物线方程与性质知识框架知识点归纳1.抛物线的定义(1)平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))离心率e1准线方程xeq\f(p,2)xeq\f(p,2)yeq\f(p,2)yeq\f(p,2)范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下[常用结论]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y22px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|x0eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.题型归类题型一抛物线的定义和标准方程例1(1)已知抛物线y24x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF||NF|5，则线段MN的中点到y轴的距离为________.答案eq\f(3,2)解析由题意知抛物线的准线方程为x1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M，N(图略)，根据抛物线的定义得|MF||MM|，|NF||NN|，所以|MF||NF||MM||NN|，所以线段MN的中点到准线的距离为eq\f(1,2)(|MF||NF|)eq\f(5,2)，所以线段MN的中点到y轴的距离为eq\f(5,2)1eq\f(3,2).(2)(2022全国乙卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF||BF|，则|AB|________.答案2eq\r(2)解析由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x1.设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，则由抛物线的定义可知|AF|eq\f(yeq\o\al(2,0),4)1.因为|BF|312，所以由|AF||BF|，可得eq\f(yeq\o\al(2,0),4)12，解得y02，所以A(1，2)或A(1，2).不妨取A(1，2)，则|AB|eq\r(（13）2（20）2)eq\r(8)2eq\r(2).(3)(2021新高考卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若|FQ|6，则C的准线方程为________.答案xeq\f(3,2)解析法一(解直角三角形法)由题意易得|OF|eq\f(p,2)，|PF|p，OPFPQF，所以tanOPFtanPQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)eq\f(p,6)，解得p3，所以C的准线方程为xeq\f(3,2).法二(应用射影定理法)由题意易得|OF|eq\f(p,2)，|PF|p，|PF|2|OF||FQ|，即p2eq\f(p,2)6，解得p3或p0(舍去)，所以C的准线方程为xeq\f(3,2).法三(斜率法)抛物线C：y22px(p0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，因为P为C上一点，PF与x轴垂直，所以不妨取Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，所以kOP2.因为PQOP，所以kPQeq\f(1,2)，因为Q为x轴上一点，所以设Q(x0，0)，则eq\f(0p,x0\f(p,2))eq\f(1,2)，x0eq\f(5p,2)，所以|FQ|eq\f(5p,2)eq\f(p,2)6，p3，所以C的准线方程为xeq\f(3,2).感悟提升求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.题型二抛物线的几何性质及应用角度1焦半径和焦点弦例2(1)已知点F为抛物线C：y24x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6())teq\o(FB,\s\up6())(t1)，|AB|eq\f(16,3)，则t________.答案3解析由题意得焦点F(1，0)，设直线l为xy1(0)，代入抛物线方程得y24y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y24，由eq\o(AF,\s\up6())teq\o(FB,\s\up6())，即(1x1，y1)t(x21，y2)，有y1ty2，由得y2eq\f(2,\r(t))，y12eq\r(t)或y2eq\f(2,\r(t))，y12eq\r(t)，即x1t，x2eq\f(1,t)，|AB|x1x2peq\f(1,t)t2eq\f(16,3)，化简得3t210t30，t3或teq\f(1,3)(舍).(2)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p________.答案2解析直线AB的方程为yxeq\f(p,2)，与抛物线方程消去y得x23pxeq\f(1,4)p20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义，得|AB|x1x2p4p8，p2.角度2与抛物线有关的最值问题例3(1)若在抛物线y24x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))解析如图，y24x，p2，焦点坐标为(1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y1代入抛物线方程求得xeq\f(1,4)，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).(2)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.答案2解析由题意知抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l交l于点A1，过点B作BB1l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1，则|MM1|eq\f(|AA1||BB1|,2).|AB||AF||BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF||BF|6，|AA1||BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，故最短距离为2.感悟提升与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.题型三抛物线的综合问题例4已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF||BF|4，求直线l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6())3eq\o(PB,\s\up6())，求|AB|.解设直线l的方程为yeq\f(3,2)xt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF||BF|x1x2eq\f(3,2).又|AF||BF|4，所以x1x2eq\f(5,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y\f(3,2)xt，,y23x，))可得9x212(t1)x4t20，其中144(12t)>0，则x1x2eq\f(12（t1）,9)，从而eq\f(12（t1）,9)eq\f(5,2)，得teq\f(7,8)(满足>0)，所以l的方程为yeq\f(3,2)xeq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6())3eq\o(PB,\s\up6())，可得y13y2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y\f(3,2)xt，,y23x，))可得y22y2t0，其中48t>0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2eq\f(1,3).所以A(3，3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))，故|AB|eq\f(4\r(13),3).感悟提升1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.题型四抛物线中的二级结论抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB是过抛物线y22px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2eq\f(p2,4)，y1y2p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|eq\f(p,1cos)，|BF|eq\f(p,1cos)，弦长|AB|x1x2peq\f(2p,sin2)(为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)eq\f(1,|FB|)eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.例1过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A.4B.eq\f(9,2)C.5D.6答案B解析[通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yk（x1），,y24x，))得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1，因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xBeq\f(1,2)，所以|AB||AF||BF|xAxBpeq\f(9,2).[优解]法一由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD||AF|2m，|BC||BF|m，所以coseq\f(|AE|,|AB|)eq\f(1,3)，所以sin2eq\f(8,9).又y24x，知2p4，故利用弦长公式|AB|eq\f(2p,sin2)eq\f(9,2).法二因为|AF|2|BF|，所以eq\f(1,|AF|)eq\f(1,|BF|)eq\f(1,2|BF|)eq\f(1,|BF|)eq\f(3,2|BF|)eq\f(2,p)1，解得|BF|eq\f(3,2)，|AF|3，故|AB||AF||BF|eq\f(9,2).例2(2023福州联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过F且倾斜角为eq\f(,3)的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为eq\r(3)，则|AB|()A.eq\f(8,3)B.4C.8D.24答案C解析[通法]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，kABeq\f(y1y2,x1x2)eq\f(y1y2,\f(yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2),2p))eq\f(2p,y1y2).线段AB中点的纵坐标为eq\r(3)，y1y22eq\r(3)，又直线AB的倾斜角为eq\f(,3)，kABeq\r(3)，即eq\f(2p,2\r(3))eq\r(3)，得p3.抛物线C的方程为y26x，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，直线AB的方程为yeq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,2)))，与抛物线方程y26x联立并整理，得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,2)))eq\s\up12(2)6x，即x25xeq\f(9,4)0，x1x25，|AB|x1x2p538.[优解]抛物线y22px(p0)的焦点弦的弦长leq\f(2p,sin2)，其中为焦点弦所在直线的倾斜角.在求出p3后，可直接利用此二级结论得出|AB|eq\f(2p,sin2)eq\f(6,sin2\f(,3))8.训练(1)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D.eq\f(9,4)答案D解析[通法]由已知得焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为yeq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,4)))，即4x4eq\r(3)y30.与抛物线方程联立，化简得4y212eq\r(3)y90，则yAyB3eq\r(3)，yAyBeq\f(9,4)，故|yAyB|eq\r(（yAyB）24yAyB)6.因此SOABeq\f(1,2)|OF||yAyB|eq\f(1,2)eq\f(3,4)6eq\f(9,4).[优解]由2p3，及|AB|eq\f(2p,sin2)得|AB|eq\f(2p,sin2)eq\f(3,sin230)12.原点到直线AB的距离d|OF|sin30eq\f(3,8)，故SAOBeq\f(1,2)|AB|deq\f(1,2)12eq\f(3,8)eq\f(9,4).(2)(2023广州模拟)已知抛物线C1：y24x，圆C2：(x2)2y22，直线l：yk(x1)与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若|AB|8，则|MN|________________.答案eq\r(6)解析[通法]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y24x，,yk（x1），))得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知0，x1x2eq\f(2k24,k2)eq\f(4,k2)2，l：yk(x1)过抛物线C1的焦点(1，0)，|AB|x1x22eq\f(4,k2)228，解得k1，由对称性可知k1和k1时，|MN|相同，故不妨取k1，则l的方程为：xy10，圆心(2，0)到l的距离deq\f(|201|,\r(2))eq\f(\r(2),2)，|MN|2eq\r(2d2)2eq\r(2\f(1,2))eq\r(6).[优解]由题意知l：yk(x1)过抛物线的焦点(1，0)，故线段AB为焦点弦，设直线l的倾斜角为，|AB|eq\f(4,sin2)8，sineq\f(\r(2),2)，故k1.以下同通法.课时训练一、单选题1．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则（）A．4B．C．8D．【答案】A【分析】将点A的坐标代入抛物线方程求出p，在根据两点距离公式计算.【详解】将代入抛物线方程得，解得，则，故；故选：A.2．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴，若以为直径的圆截直线所得的弦长为2，则A．2B．C．4D．【答案】B【分析】求出直线AM的方程，根据垂径定理列方程得出p的值．【详解】把代入可得，不妨设M在第一象限，则，又，直线AM的方程为，即，原点O到直线AP的距离，以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，，解得．故选B．【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．3．设斜率为1的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点，若（为坐标原点）的面积为2，则（）．A．4B．8C．D．【答案】D【分析】把抛物线方程化为标准方程，求出焦点坐标与直线的方程，进而可得点的坐标，再结合三角形面积公式即可求解【详解】由题意可知：抛物线的焦点，直线的方程为，将代入得，，，．故选：D4．直线：与抛物线：交于不同两点、，是的焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将直线方程变形代入抛物线方程消去，再设出，，利用韦达定理得出与，根据抛物线的定义得出，，根据已知列出式子，结合韦达定理得出的式子即可解出，，，再通过点到直线距离得出高，通过切线公式得出，即可求出答案.【详解】直线：与抛物线：交于不同两点、，，直线：即为，代入抛物线方程可得：，且需，设，，则、，则，，由于抛物线的准线为，根据抛物线的定义可得，，，，由解得：，，，检验，成立，，直线：，点到直线的距离为：，根据抛物线的弦长公式可得：，，故选：B.5．已知抛物线：的焦点为，点为上一点，若，则的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由给定条件求出，再借助抛物线定义即可计算作答.【详解】因点在抛物线上，则，抛物线的准线：，又，于是由得：，因此，，而，解得，所以的准线方程为.故选：B6．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】过A，B作垂直准线，垂足为，过B作垂线，垂足为C，即可根据长度关系求出，继而得出倾斜角.【详解】如图，过A，B作垂直准线，垂足为，过B作垂线，垂足为C，由抛物线定义知,所以，，所以直线倾斜角为.故选:C.【点睛】本题考查抛物线性质的应用，属于基础题.二、多选题7．已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．为定值D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条【答案】ABC【分析】对于A，由抛物线的定义进行判断即可；对于B，由抛物线的定义和梯形的性质进行判断；对于C，由抛物线的焦半径得，而，代入中化简可得答案，对于D，过与抛物线相切的直线有2条，与轴平行的直线有1条，从而可判断【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，其中对于A，由抛物线的定义可知，，所以A正确；对于B，取的中点，在直线上的投影为，在直线上的投影为，则由抛物线的定义可得，因为梯形两腰的中点，所以，所以以为直径的圆与准线相切，所以B正确；对于C，若直线的斜率存在，设直线方程为，由，得，则，由抛物线的定义可知，所以，所以C正确；对于D，过点M与抛物线相切的直线有2条，而过M与轴平行的直线有1条，所以过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，所以D错误故选：ABC8．（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．若，则D．【答案】ABD【分析】由抛物线的定义可判断A；由抛物线焦点弦的性质可判断B，D；由抛物线的定义，可知，所以的最小值为，求出，可判断C.【详解】对于A，由抛物线的定义，知，故A正确．对于B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，点到直线的距离为，所以，以为直径的圆与准线相切，B正确；对于C，由抛物线的定义，可知，所以的最小值为．又的坐标为，所以，故C错误．对于D，连接，则由，得，又轴，所以，同理，所以，所以，所以，所以D正确.故选：ABD.三、填空题9．抛物线的焦点到准线的距离为______.【答案】1.【解析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.10．已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与交于两点，则以线段为直径的圆被轴所截得的弦长为___________.【答案】【分析】根据题意求得线段的长度，从而求得圆半径，再利用弦长公式即可求得结果.【详解】对抛物线：，其焦点为，令，可得，故，则所求圆的半径，又圆心到轴的距离为，故以线段为直径的圆被轴所截得的弦长为.故答案为：.11．已知抛物线的焦点为F，圆为抛物线上一点，且，过M作圆F的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围为____________．【答案】【分析】首先求得抛物线方程，结合四边形的图形特点，列出四边形的面积公式，并表示，根据焦半径公式，求得焦半径的范围，即可求得的取值范围.【详解】由题意知圆F的圆心为，半径，抛物线方程，四边形的面积，又，所以，由抛物线定义，得，又，所以，所以，所以．故答案为：12．已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则___________．【答案】【分析】设直线斜率为，得出的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出，两点的坐标的关系，再根据列方程解出即可．【详解】解：：由题意，知抛物线的焦点为，设直线的方程为，联立消去，得，设，则，，所以，，因为，所以，，因为，所以，整理得，所以，即，所以．故答案为：1.四、解答题13．已知抛物线上的一点M的纵坐标为1，求点M到焦点的距离.【答案】【分析】根据抛物线焦半径公式即可求解．【详解】由抛物线得，设焦点为，则14．如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点，相交于点P，求P点的轨迹方程.【答案】【解析】设点P，M，其中则点E的坐标为，根据，得到直线的方程，根据点在直线上求得m，再根据点P在直线OE的上求解.【详解】设点P，M，其中则点E的坐标为，因为，所以直线的方程为：，因为点在上，所以，又直线OE的方程为，因为点P在OE上，消去得：，15．已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点A(2,4)．在此抛物线上求一点P，使|PF||PA|的值最小．【答案】【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到该抛物线焦点的距离转化为点到其准线的距离，当共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值..【详解】(2)2<84，点A(2,4)在抛物线x28y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B．由抛物线的定义可知，|PF||PA||PQ||PA||AQ||AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF||PA|取得最小值，即为|AB|.A(2,4)，不妨设|PF||PA|的值最小时，点P的坐标为(2，y0)．将点P坐标代入方程x28y，得y0.故使|PF||PA|的值最小时，抛物线上的点P的坐标为16．如图，曲线G的方程为，.以原点为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（）设曲线G上点D的横坐标为a2，求证：直线CD的斜率为定值.【答案】（）；（）证明见解析.【分析】（）根据题意可知、，由进而可得，利用直线的截距式方程写出直线的方程，将代入方程化简即可；（）根据题意求出点D的坐标，利用两点坐标求直线斜率公式表示出，整理化简即可得出结论.【详解】（）由题意知，．因为，所以．由于，故有，由点的坐标知，直线的方程为．又点A在直线上，故有，将代入上式，得，解得．（）因为点D在曲线上，则，所以，所以直线的斜率为．所以直线的斜率为定值．