专题 08 计数原理、概率及统计
考点一 众数、中位数、平均数
1．【多选】（2023新高考）有一组样本数据 x1 ， x2 ， ， x6 ，其中 x1 是最小值， x6 是最大值，则 (
)
A． x2 ， x3 ， x4 ， x5 的平均数等于 x1 ， x2 ， ， x6 的平均数
B． x2 ， x3 ， x4 ， x5 的中位数等于 x1 ， x2 ， ， x6 的中位数
C． x2 ， x3 ， x4 ， x5 的标准差不小于 x1 ， x2 ， ， x6 的标准差
D． x2 ， x3 ， x4 ， x5 的极差不大于 x1 ， x2 ， ， x6 的极差
【解析】 A 选项， x2 ， x3 ， x4 ， x5 的平均数不一定等于 x1 ， x2 ， ， x6 的平均数， A 错误；
x x x x
B 选项， x ， x ， x ， x 的中位数等于 3 4 ， x ， x ， ， x 的中位数等于 3 4 ， B 正确；
2 3 4 5 2 1 2 6 2
C 选项，设样本数据 x1 ， x2 ， ， x6 为 0，1，2，8，9，10，可知 x1 ， x2 ， ， x6 的平均数是 5， x2 ，
x3 ， x4 ， x5 的平均数是 5，
1 50
x ， x ， ， x 的方差 s 2 [(0 5)2 (1 5)2 (2 5)2 (8 5)2 (9 5)2 (10 5)2 ] ，
1 2 6 1 6 3
1 25
x ， x ， x ， x 的方差 s 2 [(1 5)2 (2 5)2 (8 5)2 (9 5)2 ] ，
2 3 4 5 2 4 2
2 2
s1 s2 ，s1 s2 ， C 错误．
D 选项， x6 x5 ， x2 x1 ， x6 x1 x5 x2 ， D 正确．
故选： BD ．
2．（2023上海）现有某地一年四个季度的 GDP （亿元），第一季度 GDP 为 232（亿元），第四季度 GDP
为 241（亿元），四个季度的 GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的 GDP 为 ．
【解析】设第二季度 GDP 为 x 亿元，第三季度 GDP 为 y 亿元，则 232 x y 241，
中位数与平均数相同，
x y 232 x y 241
，
2 4
x y 473 ，
该地一年的 GDP 为 232 x y 241 946 （亿元）．
故答案为：946（亿元）．
3．（2020上海）已知有四个数 1，2， a ， b ，这四个数的中位数是 3，平均数是 4，则 ab ．
【解析】因为四个数的平均数为 4，所以 a b 4 4 1 2 13 ，
2 a
因为中位数是 3，所以 3，解得 a 4 ，代入上式得 b 13 4 9 ，
2
所以 ab 36 ，
故答案为：36．
考点二 极差、方差与标准差
4．【多选】（2021新高考）下列统计量中，能度量样本 x1 ， x2 ， ， xn 的离散程度的有 ( )
A．样本 x1 ， x2 ， ， xn 的标准差 B．样本 x1 ， x2 ， ， xn 的中位数
C．样本 x1 ， x2 ， ， xn 的极差 D．样本 x1 ， x2 ， ， xn 的平均数
【解析】中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，
极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，
平均数是反应数据的平均水平，
故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．
故选： AC ．
5．【多选】（2021新高考）有一组样本数据 x1 ， x2 ， ， xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 ， y2 ，
， yn ，其中 yi xi c(i 1 ，2， ， n) ， c 为非零常数，则 ( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【解析】对于 A ，两组数据的平均数的差为 c ，故 A 错误；
对于 B ，两组样本数据的样本中位数的差是 c ，故 B 错误；
对于 C ，标准差 D(yi ) D(xi c) D(xi ) ，
两组样本数据的样本标准差相同，故 C 正确；
对于 D ， yi xi c(i 1，2， ， n) ， c 为非零常数，
x 的极差为 xmax xmin ， y 的极差为 (xmax c) (xmin c) xmax xmin ，
两组样本数据的样本极差相同，故 D 正确．
故选： CD ．
考点三 古典概型及其概率计算公式
6．（2022新高考）从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为 ( )
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
2
【解析】从 2 至 8 的 7 个整数中任取两个数共有 C7 21种方式，
其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共 14 种，
14 2
故所求概率为 ．
21 3
故选： D ．
7．（2022上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类 1 项，球类 3 项，田径类 4 项共 8 项项目中随
机抽取 4 项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
【解析】从游泳类 1 项，球类 3 项，田径类 4 项共 8 项项目中随机抽取 4 项进行检测，
1 1 2 1 2 1
则每一类都被抽到的方法共有 C1 C3 C4 C1 C3 C4 种，
4
而所有的抽取方法共有 C8 种，
C1 C1 C 2 C1 C 2 C1 30 3
故每一类都被抽到的概率为 1 3 4 1 3 4 ，
4
C8 70 7
3
故答案为： ．
7
8．（2021上海）已知花博会有四个不同的场馆 A ， B ， C ， D ，甲、乙两人每人选 2 个去参观，则他们
的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．
2 2
【解析】甲选 2 个去参观，有 C4 6 种，乙选 2 个去参观，有 C4 6 种，共有 6 6 36 种，
1 2
若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有 C4 4 种，然后从剩余 3 个馆种选 2 个进行排列，有 A3 6
种，共有 4 6 24 种，
24 2
则对应概率 P ，
36 3
2
故答案为： ．
3
9．（2019上海）某三位数密码，每位数字可在 0 9 这 10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两
位数字相同的概率是 ．
【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在 0 9 数字中选取，
总的基本事件个数为 1000，
1 2 1
其中恰有两位数字相同的个数为 C10C3 C9 270 ，
270 27
则其中恰有两位数字相同的概率是 ；
1000 100
方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在 0 9 数字中选取，
总的基本事件个数为 1000，
其中三位数字均不同和全相同的个数为10 98 10 730 ，
730 27
可得其中恰有两位数字相同的概率是1 ．
1000 100
27
故答案为： ．
100
考点四 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
10．（2021新高考）有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每
次取 1 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙
表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【解析】由题意可知，两点数和为 8 的所有可能为： (2,6) ， (3,5) ， (4,4) ， (5,3) ， (6,2) ，
两点数和为 7 的所有可能为 (1,6) ， (2,5) ， (3,4) ， (4,3) ， (5,2) ， (6,1) ，
1 1 5 5 6 1
P （甲 ) ， P （乙 ) ， P （丙 ) ， P （丁 ) ，
6 6 6 6 36 6 6 6
A: P （甲丙） 0 P （甲 )P （丙 ) ，
1
B : P （甲丁） P （甲 )P （丁 ) ，
36
1
C : P （乙丙） P （乙 )P （丙 ) ，
36
D : P （丙丁） 0 P （丙 )P （丁 ) ，
故选： B ．
11．【多选】（2023新高考）在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 1 的概率
为 (0 1) ，收到 0 的概率为1 ；发送 1 时，收到 0 的概率为 (0 1) ，收到 1 的概率为1
．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号
重复发送 3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，
收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 1，0，1，则译码为1)( )
A．采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的概率为 (1)(1 )2
B．采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为 (1 )2
C．采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为 (1 )2 (1 )3
D．当 0 0.5 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为 0
的概率
【解析】采用单次传输方案，若依次发送 1， 0， 1， 则 依 次 收 到 1， 0， 1 的 概 率 为 ：
(1 )(1)(1 ) (1)(1 )2 ，故 A 正确；
采用三次传输方案，若发送 1，依次收到 1，0，1 的概率为： (1 ) (1 ) (1 )2 ，故 B 正确；
采用三次传输方案，若发送 1，
则译码为 1 包含收到的信号为包含两个 1 或 3 个 1，
2 2 3
故所求概率为： C3 (2 ) (1 ) ，故 C 错误；
2 2 3
三次传输方案发送 0，译码为 0 的概率 P1 C3 (1) (1) ，
单次传输发送 0 译码为 0 的概率 P2 1 ，
2 2 3 2 2
P2 P1 (1) C3 (1) (1) (1)[1 C3 (1) (1) ]
(1)(2 2 )
(1)(2 1) ，
当 0 0.5 时， P2 P1 0 ，
故 P2 P1 ，故 D 正确．
故选： ABD ．
考点五 频率分布直方图
12．（2023新高考）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差
异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c ，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人
判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p （c）；误诊率是将未患病者判定
为阳性的概率，记为 q （c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 p （c） 0.5% 时，求临界值 c 和误诊率 q （c）；
（2）设函数 f （c） p （c） q （c）．当 c [95 ，105]，求 f （c）的解析式，并求 f （c）在区间[95 ，
105]的最小值．
【解析】（1）当漏诊率 p （c） 0.5% 时，
则 (c 95) 0.002 0.5% ，解得 c 97.5 ；
q （c） 0.01 2.5 5 0.002 0.035 3.5% ；
（2）当 c [95 ，100] 时，
f （c） p （c） q （c） (c 95) 0.002 (100 c) 0.01 5 0.002 0.008c 0.82… 0.02 ，
当 c (100 ，105]时， f （c） p （c） q （c）
5 0.002 (c 100) 0.012 (105 c) 0.002 0.01c 0.98 0.02 ，
0.008c 0.82,95 c 100
故 f （c） ，
0.01c 0.98,100 c 105
所以 f （c）的最小值为 0.02．
13．（2022新高考）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的
样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20 ， 70) 的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为 0.1% ，该地区年龄位于区间[40 ， 50) 的人口占该地区总人口的
16% ．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40 ， 50) ，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中
患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001 ) ．
【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
x 5 0.00110 15 0.00210 25 0.01210 35 0.017 10 45 0.02310 55 0.02010 65 0.017 10 75 0.00610 85 0.00210 47.9 岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20 ， 70) 的频率为：
(0.012 0.017 0.023 0.020 0.017) 10 0.89 ，
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20 ， 70) 的概率为 0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40 ， 50) 为事件 B ，此人患这种疾病为事件 C ，
P(BC) 0.1% 0.02310
则 P(C | B) 0.0014 ．
P(B) 16%
考点六 分类加法计数原理
14．（2020上海）已知 A {3 ， 2 ， 1，0，1，2， 3}， a 、 b A ，则| a || b | 的情况有种．
【解析】当 a 3 ，0 种，
当 a 2 ，2 种，
当 a 1，4 种；
当 a 0 ，6 种，
当 a 1，4 种；
当 a 2 ，2 种，
当 a 3 ，0 种，
故共有： 2 4 6 4 2 18 ．
故答案为：18．
考点七 排列、组合及简单计数问题
15．（2023新高考）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学
生，则不同的抽样结果共有 ( )
45 15 20 40
A． C400 C200 种 B． C400 C200 种
30 30 40 20
C． C400 C200 种 D． C400 C200 种
【解析】初中部和高中部分别有 400 和 200 名学生，
人数比例为 400 : 200 2 :1 ，
则需要从初中部抽取 40 人，高中部取 20 人即可，
40 20
则有 C400 C200 种．
故选： D ．
16．（2022新高考）甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有 ( )
A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种
2 4
【解析】把丙和丁捆绑在一起，4 个人任意排列，有 A2 A4 48 种情况，
1 3 2
甲站在两端的情况有 C2 A3 A2 24 种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 48 24 24 种，
故选： B ．
17．（2020海南）要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一
名志愿者，则不同的安排方法共有 ( )
A．2 种 B．3 种 C．6 种 D．8 种
【解析】要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：
2 1 2
C3 C1 A2 6 ．
故选： C ．
18．（2020山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，
乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有 ( )
A．120 种 B．90 种 C．60 种 D．30 种
【解析】因为每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，
1
甲场馆从 6 人中挑一人有： C6 6 种结果；
2
乙场馆从余下的 5 人中挑 2 人有： C5 10 种结果；
余下的 3 人去丙场馆；
故共有： 610 60 种安排方法；
故选： C ．
19．（2023新高考）某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2
门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
1 1
【解析】若选 2 门，则只能各选 1 门，有 C4C4 16 种，
如选 3 门，则分体育类选修课选 2，艺术类选修课选 1，或体育类选修课选 1，艺术类选修课选 2，
1 2 2 1
则有 C4C4 C4 C4 24 24 48 ，
综上共有16 48 64 种不同的方案．
故答案为：64．
20．（2020上海）从 6 个人挑选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，
第三天安排 2 个人，则共有种安排情况．
1 1 2
【解析】根据题意，可得排法共有 C6C5C4 180 种．
故答案为：180．
21．（2019上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其
中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）
3
【解析】在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 4A3 24 种，
故答案为：24．
考点八 二项式定理
100 100 2 99 100
22．（2023上海） 已知 (1 2023x) (2023 x) a0 a1x a2 x a99 x a100 x ，若存在 k {0 ，
1，2， ，100}使得 ak 0 ，则 k 的最大值为 ．
100 r r r r r
【解析】二项式 (1 2023x) 的通项为Tr1 C100 (2023x) C100 2023 x ， r {0 ，1，2， ，100}，
100 r 100r r r 100r r r
二项式 (2023 x) 的通项为Tr1 C100 2023 (x) C100 2023 (1) x ， r {0 ，1，2， ，100}，
k k k 100k k k k 100k k
ak C100 2023 C100 2023 (1) C100[2023 2023 (1) ] ， k {0 ，1，2， ，100}，
若 ak 0 ，则 k 为奇数，
k k 100k
此时 ak C100 (2023 2023 ) ，
2023k 2023100k 0 ，
k 100 k ，
k 50 ，
又k 为奇数，
k 的最大值为 49．
故答案为：49．
23．（2022上海）二项式 (3 x)n 的展开式中， x2 项的系数是常数项的 5 倍，则 n ．
【解析】二项式 (3 x)n 的展开式中， x2 项的系数是常数项的 5 倍，
n(n 1)
即 C 2 3n2 5C 0 3n ，即 5 9 ，
n n 2
n 10 ，
故答案为：10．
4 2 3 4 5
24．（ 2022浙江） 已 知 多 项 式 (x 2)(x 1) a0 a1x a2 x a3 x a4 x a5 x ， 则 a2 ，
a1 a2 a3 a4 a5 ．
【解析】(x 1)4 x4 4x3 6x2 4x 1，
a2 4 12 8 ；
令 x 0 ，则 a0 2 ，
令 x 1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 0 ，
a1 a2 a3 a4 a5 2 ．
故答案为：8， 2 ．
y
25．（2022新高考） (1 )(x y)8 的展开式中 x2 y6 的系数为 （用数字作答）．
x
8 r 8r r
【解析】 (x y) 的通项公式为Tr1 C8 x y ，
6 2 6 5 3 5
当 r 6 时，T7 C8 x y ，当 r 5 时，T6 C8 x y ，
y 8! 8!
(1 )(x y)8 的展开式中 x2 y6 的系数为 C 6 C5 28 56 28 ．
x 8 8 6! 2! 5!3!
故答案为： 28 ．
3 4 4 3 2
26．（ 2021浙江） 已 知 多 项 式 (x 1) (x 1) x a1x a2 x a3 x a4 ， 则 a1 ； a2 a3 a4
．
3
【解析】 a1 即为展开式中 x 的系数，