2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则MN中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）已知角的终边经过点（4，3），则cos=（）A．B．C．D．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|2x1}B．{x|1x0}C．{x|0x1}D．{x|x1}4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x1）的反函数是（）A．y=（1ex）3（x1）B．y=（ex1）3（x1）C．y=（1ex）3（xR）D．y=（ex1）3（xR）6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60，则（2）=（）A．1B．0C．1D．27．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=110．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16C．9D．11．（5分）双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．2B．1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x2）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是 ．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 ．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．三、解答题17．（10分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1an+2．（）设bn=an+1an，证明{bn}是等差数列；（）求{an}的通项公式．18．（12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2．（）证明：AC1A1B；（）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a0）．（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则MN中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】5J：集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，MN={1，2，6}，即MN中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知角的终边经过点（4，3），则cos=（）A．B．C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值．【解答】解：角的终边经过点（4，3），x=4，y=3，r==5．cos===，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|2x1}B．{x|1x0}C．{x|0x1}D．{x|x1}【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得 ，解得0x1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，E为AB的中点，EFDB，则CEF为异面直线BD与CE所成的角，ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x1）的反函数是（）A．y=（1ex）3（x1）B．y=（ex1）3（x1）C．y=（1ex）3（xR）D．y=（ex1）3（xR）【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：y=ln（+1），+1=ey，即=ey1，x=（ey1）3，所求反函数为y=（ex1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60，则（2）=（）A．1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2）的值．【解答】解：由题意可得，=11cos60=，=1，（2）=2=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有155=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4S2，S6S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4S2，S6S4成等比数列，即3，12，S615成等比数列，可得122=3（S615），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4S2，S6S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：AF1B的周长为4，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，，c=1，b==，椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16C．9D．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为4（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：：=1（a0，b0）的离心率为2，e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bxay=0，则c=2a，b=，焦点F（c，0）到渐近线bxay=0的距离为，d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．2B．1C．0D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，设g（x）=f（x+2），则g（x）=g（x），即f（x+2）=f（x+2），f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x+2）=f（x2），即f（x+4）=f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x2）6的展开式中x3的系数是160．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x2）6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6r（2）r=（1）r2rC6rx6r，令6r=3可得r=3，此时T4=（1）323C63x3=160x3，即x3的系数是160；故答案为160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x2）6的展开式的通项．14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=，结合1sinx1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=又1sinx1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意1sinx1的条件．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时zmax=1+41=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sin= 的值，可得cos、tan 的值，再根据tan2=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，sin==，cos=，tan==，tan2===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1an+2．（）设bn=an+1an，证明{bn}是等差数列；（）求{an}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（）将an+2=2an+1an+2变形为：an+2an+1=an+1an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；（）由（）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1an并令n从1开始取值，依次得（n1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an．【解答】解：（）由an+2=2an+1an+2得，an+2an+1=an+1an+2，由bn=an+1an得，bn+1=bn+2，即bn+1bn=2，又b1=a2a1=1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．（）由（）得，bn=1+2（n1）=2n1，由bn=an+1an得，an+1an=2n1，则a2a1=1，a3a2=3，a4a3=5，…，anan1=2（n1）1，所以，ana1=1+3+5+…+2（n1）1==（n1）2，又a1=1，所以{an}的通项公式an=（n1）2+1=n22n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[（A+C）]=tan（A+C）即可得出．【解答】解：3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，3tanA=2tanC，tanA=，2tanC=3=1，解得tanC=．tanB=tan[（A+C）]=tan（A+C）===1，B（0，），B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2．（）证明：AC1A1B；（）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（）作辅助线可证A1FD为二面角A1ABC的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（）A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，平面AA1C1C平面ABC，又BCACBC平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1A1C，又AC1BC，A1CBC=C，AC1平面A1BC，AB1平面A1BC，AC1A1B；（）BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，平面AA1C1C平面BCC1B1，作A1ECC1，E为垂足，可得A1E平面BCC1B1，又直线AA1平面BCC1B1，A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，A1C为ACC1的平分线，A1D=A1E=，作DFAB，F为垂足，连结A1F，又可得ABA1D，A1FA1D=A1，AB平面A1DF，A1F平面A1DFA1FAB，A1FD为二面角A1ABC的平面角，由AD==1可知D为AC中点，DF==，tanA1FD==，二面角A1ABC的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】（）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（）由（）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.060.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.60.50.50.4+（10.6）0.50.50.4+0.6（10.5）0.50.4+0.60.5（10.5）0.4+0.60.50.5（10.4）=0.31．（）由（）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.310.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为 0.60.50.50.4=0.060.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a0）．（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用．【分析】（）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（）当a0，x0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f（1）0且f（2）0，即可求a的取值范围．【解答】解：（）函数f（x）=ax3+3x2+3x，f（x）=3ax2+6x+3，令f（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则=36（1a），若a1时，则0，f（x）0，f（x）在R上是增函数；因为a0，a1且a0时，0，f（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0a1时，则当x（，x2）或（x1，+）时，f（x）0，故函数在（，x2）或（x1，+）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a0时，则当x（，x1）或（x2，+），f（x）0，故函数在（，x1）或（x2，+）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（）当a0，x0时，f（x）=3ax2+6x+30 故a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f（1）0且f（2）0，解得，a的取值范围[）（0，+）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．（）设l的方程为 x=my+1 （m0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p0），可得x0=，点P（0，4），|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，+=，求得 p=2，或 p=2（舍去）．故C的方程为 y2=4x．（）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为 x=my+1（m0），代入抛物线方程可得y24my4=0，显然判别式=16m2+160，y1+y2=4m，y1y2=4．AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1y2|==4（m2+1）．又直线l的斜率为m，直线l的方程为 x=y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，把线l的方程代入抛物线方程可得 y2+y4（2m2+3）=0，y3+y4=，y3y4=4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），|MN|=|y3y4|=，MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，+DE2=MN2，4（m2+1）2 ++=，化简可得 m21=0，m=1，直线l的方程为 xy1=0，或 x+y1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．