2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，nN}，B={6，8，10，12，14}，则集合AB中元素的个数为（）A．5B．4C．3D．22．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量=（）A．（7，4）B．（7，4）C．（1，4）D．（1，4）3．（5分）已知复数z满足（z1）i=1+i，则z=（）A．2iB．2+iC．2iD．2+i4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10D．128．（5分）函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A．（k，k+），kzB．（2k，2k+），kzC．（k，k+），kzD．（，2k+），kz9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=3，则f（6a）=（）A．B．C．D．11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A．1B．2C．4D．812．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=x对称，且f（2）+f（4）=1，则a=（）A．1B．1C．2D．4二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= ．14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．15．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 ．16．（5分）已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当APF周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD．（）证明：平面AEC平面BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2yx．根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=．20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）2=1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若=12，其中O为坐标原点，求|MN|．21．（12分）设函数f（x）=e2xalnx．（）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（）证明：当a0时，f（x）2a+aln．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E．（）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若OA=CE，求ACB的大小．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积．六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+1|2|xa|，a0．（）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，nN}，B={6，8，10，12，14}，则集合AB中元素的个数为（）A．5B．4C．3D．2【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x=3n+2，nN}={2，5，8，11，14，17，…}，则AB={8，14}，故集合AB中元素的个数为2个，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量=（）A．（7，4）B．（7，4）C．（1，4）D．（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（4，3），则向量==（7，4）；故选：A．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．3．（5分）已知复数z满足（z1）i=1+i，则z=（）A．2iB．2+iC．2iD．2+i【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z1，进一步求得z．【解答】解：由（z1）i=1+i，得z1=，z=2i．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3B．6C．9D．12【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=2，由，解得y=3，所以A（2，3），B（2，3）．|AB|=6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为（）25，1斛米的体积约为1.62立方，1.6222，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10D．12【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4，8a1+1=4（4a1+），解得a1=．则a10=+91=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A．（k，k+），kzB．（2k，2k+），kzC．（k，k+），kzD．（，2k+），kz【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出，由五点法作图求出，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解：由函数f（x）=cos（x+）的部分图象，可得函数的周期为=2（）=2，=，f（x）=cos（x+）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+=，kz，即=，f（x）=cos（x+）．由2kx+2k+，求得 2kx2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），kz，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=3，则f（6a）=（）A．B．C．D．【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，求出a，再求f（6a）．【解答】解：由题意，a1时，212=3，无解；a1时，log2（a+1）=3，=7，f（6a）=f（1）=2112=．故选：A．【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A．1B．2C．4D．8【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】5Q：立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：4r2+r22r2r+2r2r+r2=5r2+4r2，又该几何体的表面积为16+20，5r2+4r2=16+20，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=x对称，且f（2）+f（4）=1，则a=（）A．1B．1C．2D．4【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用．【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2xa（x0），即g（x）=log2xa，（x0）．函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=x对称，f（x）=g（x）=log2（x）+a，x0，f（2）+f（4）=1，log22+alog24+a=1，解得，a=2，故选：C．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=6．【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：an+1=2an，，a1=2，数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，Sn===2n+12=126，2n+1=128，n+1=7，n=6．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f（x）=3ax2+1，f（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：ya2=（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2=（3a+1）（21），解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=3x+y为y=3x+z，由图可知，当直线y=3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为31+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当APF周长最小时，该三角形的面积为12．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义，确定APF周长最小时，P的坐标，即可求出APF周长最小时，该三角形的面积．【解答】解：由题意，设F是左焦点，则APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF|+2|AF|+|AF|+2（A，P，F三点共线时，取等号），直线AF的方程为与x2=1联立可得y2+6y96=0，P的纵坐标为2，APF周长最小时，该三角形的面积为=12．故答案为：12．【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】58：解三角形．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：0，代入可得（bk）2=2akck，b2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，B=90，且a=，a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．SABC==1．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD．（）证明：平面AEC平面BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC平面BED；（）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．【解答】证明：（）四边形ABCD为菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，则AC平面BED，AC平面AEC，平面AEC平面BED；解：（）设AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120，得AG=GC=x，GB=GD=，BE平面ABCD，BEBG，则EBG为直角三角形，EG=AC=AG=x，则BE==x，三棱锥EACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，ABC=120，AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+42=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE=EC=ED，AEEC，EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，AE2=6，则AE=，从而得AE=EC=ED=，EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EFAD于F，则AE=，AF==，则EF=，EAD的面积和ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2yx．根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=．【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】（）根据散点图，即可判断出，（）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，==563686.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（）（i）由（）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.60.249=66.32，（ii）根据（）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）x=x+13.6+20.12，当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）2=1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若=12，其中O为坐标原点，求|MN|．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】26：开放型；5B：直线与圆．【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kxy+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由1，故当k，过点A（0，1）的直线与圆C：（x2）2+（y3）2=1相交于M，N两点．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x2）2+（y3）2=1，可得 （1+k2）x24（k+1）x+7=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=k2+k+1=，由=x1x2+y1y2==12，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 xy+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．21．（12分）设函数f（x）=e2xalnx．（）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（）证明：当a0时，f（x）2a+aln．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（）先求导，在分类讨论，当a0时，当a0时，根据零点存在定理，即可求出；（）设导函数f（x）在（0，+）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0），只要最小值大于2a+aln，问题得以证明．【解答】解：（）f（x）=e2xalnx的定义域为（0，+），f（x）=2e2x．当a0时，f（x）0恒成立，故f（x）没有零点，当a0时，y=e2x为单调递增，y=单调递增，f（x）在（0，+）单调递增，又f（a）0，假设存在b满足0bln时，且b，f（b）0，故当a0时，导函数f（x）存在唯一的零点，（）由（）知，可设导函数f（x）在（0，+）上的唯一零点为x0，当x（0，x0）时，f（x）0，当x（x0+）时，f（x）0，故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+）单调递增，所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），由于=0，所以f（x0）=+2ax0+aln2a+aln．故当a0时，f（x）2a+aln．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E．（）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若OA=CE，求ACB的大小．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆．【分析】（）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得OED=90，可得DE是O的切线；（）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（）连接AE，由已知得AEBC，ACAB，在RTABC中，由已知可得DE=DC，DEC=DCE，连接OE，则OBE=OEB，又ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是O的切线；（）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CEBE，x2=，即x4+x212=0，解方程可得x=ACB=60【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（）由条件根据x=cos，y=sin求得C1，C2的极坐标方程．（）把直线C3的极坐标方程代入23+4=0，求得1和2的值，结合圆的半径可得C2MC2N，从而求得C2MN的面积C2MC2N的值．【解答】解：（）由于x=cos，y=sin，C1：x=2 的极坐标方程为 cos=2，故C2：（x1）2+（y2）2=1的极坐标方程为：（cos1）2+（sin2）2=1，化简可得2（2cos+4sin）+4=0．（）把直线C3的极坐标方程=（R）代入圆C2：（x1）2+（y2）2=1，可得2（2cos+4sin）+4=0，求得1=2，2=，|MN|=|12|=，由于圆C2的半径为1，C2MC2N，C2MN的面积为C2MC2N=11=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+1|2|xa|，a0．（）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（）当a=1时，不等式f（x）1，即|x+1|2|x1|1，即，或，或．解求得x，解求得x1，解求得1x2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（）函数f（x）=|x+1|2|xa|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由ABC的面积大于6，可得[2a+1]（a+1）6，求得a2．故要求的a的范围为（2，+）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．