2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则AB中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）复平面内表示复数z=i（2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）已知sincos=，则sin2=（）A．B．C．D．5．（5分）设x，y满足约束条件则z=xy的取值范围是（）A．[3，0]B．[3，2]C．[0，2]D．[0，3]6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x）的最大值为（）A．B．1C．D．7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5B．4C．3D．29．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1EDC1B．A1EBDC．A1EBC1D．A1EAC11．（5分）已知椭圆C：=1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a=（）A．B．C．D．1二、填空题13．（5分）已知向量=（2，3），=（3，m），且，则m= ．14．（5分）双曲线（a0）的一条渐近线方程为y=x，则a= ．15．（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60，b=，c=3，则A= ．16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x）1的x的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19．（12分）如图四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明f（x）2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin）=0，M为l3与C的交点，求M的极径．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1||x2|．（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则AB中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义先求出AB，由此能求出AB中元素的个数．【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，AB={2，4}，AB中元素的个数为2．故选：B．【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）复平面内表示复数z=i（2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z=i（2+i）=2i1对应的点（1，2）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A．【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．4．（5分）已知sincos=，则sin2=（）A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：sincos=，（sincos）2=12sincos=1sin2=，sin2=，故选：A．【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．5．（5分）设x，y满足约束条件则z=xy的取值范围是（）A．[3，0]B．[3，2]C．[0，2]D．[0，3]【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=xy，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：3，目标函数的取值范围：[3，2]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x）的最大值为（）A．B．1C．D．【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x）=sin（x+）+cos（x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x0+，f（x）0，排除A、C，当x=时，y=1+，排除B．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5B．4C．3D．2【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，要使输出S的值小于91，应满足“tN”，则进入循环体，从而S=100，M=10，t=2，要使输出S的值小于91，应接着满足“tN”，则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，要使输出S的值小于91，应不满足“tN”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选：D．【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积．【解答】解：圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径r==，该圆柱的体积：V=Sh==．故选：B．【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1EDC1B．A1EBDC．A1EBC1D．A1EAC【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】法一：连B1C，推导出BC1B1C，A1B1BC1，从而BC1平面A1ECB1，由此得到A1EBC1．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1B1C，A1B1平面B1BCC1，且BC1平面B1BCC1，A1B1BC1，A1B1B1C=B1，BC1平面A1ECB1，A1E平面A1ECB1，A1EBC1．故选：C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（2，1，2），=（0，2，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（2，2，0），=2，=2，=0，=6，A1EBC1．故选：C．【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．（5分）已知椭圆C：=1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．椭圆C的离心率e===．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a=（）A．B．C．D．1【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1（x1）2的图象与y=a（ex1+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a0、a0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．【解答】解：因为f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）=1+（x1）2+a（ex1+）=0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1（x1）2=a（ex1+）有唯一解，等价于函数y=1（x1）2的图象与y=a（ex1+）的图象只有一个交点．当a=0时，f（x）=x22x1，此时有两个零点，矛盾；当a0时，由于y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且y=a（ex1+）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数y=1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex1+）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a01，此时函数y=1（x1）2的图象与y=a（ex1+）的图象有两个交点，矛盾；当a0时，由于y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且y=a（ex1+）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数y=1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；综上所述，a=，故选：C．【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．二、填空题13．（5分）已知向量=（2，3），=（3，m），且，则m=2．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：向量=（2，3），=（3，m），且，=6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．14．（5分）双曲线（a0）的一条渐近线方程为y=x，则a=5．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．【解答】解：双曲线（a0）的一条渐近线方程为y=x，可得，解得a=5．故答案为：5．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．15．（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60，b=，c=3，则A=75．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60，b=，c=3，sinB==，bc，B=45，A=180BC=1804560=75，故答案为：75．【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x）1的x的取值范围是（，+）．【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．【解答】解：若x0，则x，则f（x）+f（x）1等价为x+1+x+11，即2x，则x，此时x0，当x0时，f（x）=2x1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）1恒成立，当0x，即x0时，f（x）=x+1=x+，此时f（x）+f（x）1恒成立，综上x，故答案为：（，+）．【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．三、解答题17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）==．利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n1）an=2n．n2时，a1+3a2+…+（2n3）an1=2（n1）．（2n1）an=2．an=．当n=1时，a1=2，上式也成立．an=．（2）==．数列{}的前n项和=++…+=1=．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20C时，需求量为200，求出Y=100元，从而当温度大于等于20时，Y0，由此能估计估计Y大于零的概率．【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p==．（2）当温度大于等于25C时，需求量为500，Y=4502=900元，当温度在[20，25）C时，需求量为300，Y=3002（450300）2=300元，当温度低于20C时，需求量为200，Y=400（450200）2=100元，当温度大于等于20时，Y0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20C的天数有：90（2+16）=72，估计Y大于零的概率P=．【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（12分）如图四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DOAC，BOAC，从而AC平面BDO，由此能证明ACBD．（2）法一：连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，SDCE=SBCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，推导出BODO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AEEC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，ABC是正三角形，AD=CD，DOAC，BOAC，DOBO=O，AC平面BDO，BD平面BDO，ACBD．解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC平面OBD，OE平面OBD，OEAC，设AD=CD=，则OC=OA=1，EC=EA，AECE，AC=2，EC2+EA2=AC2，EC=EA==CD，E是线段AC垂直平分线上的点，EC=EA=CD=，由余弦定理得：cosCBD==，即，解得BE=1或BE=2，BEBD=2，BE=1，BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，BE=ED，SDCE=SBCE，四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO==，BO2+DO2=BD2，BODO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），设E（a，b，c），，（01），则（a，b，c1）=（0，，1），解得E（0，，1），=（1，），=（1，），AEEC，=1+32+（1）2=0，由[0，1]，解得，DE=BE，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，DE=BE，SDCE=SBCE，四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5B：直线与圆．【分析】（1）设曲线y=x2+mx2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设ACBC，运用直线的斜率之积为1，即可判断是否存在这样的情况；（2）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0），由题意可得D=m，F=2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2=2，若ACBC，则kACkBC=1，即有=1，即为x1x2=1这与x1x2=2矛盾，故不出现ACBC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0），由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx2=0等价，可得D=m，F=2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey2=0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E2=0，可得E=1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y2=0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA||OB|=|OC||OH|，即有2=|OH|，再令x=0，可得y2+y2=0，解得y=1或2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明f（x）2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论；48：分析法；53：导数的综合应用．【分析】（1）题干求导可知f（x）=（x0），分a=0、a0、a0三种情况讨论f（x）与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知f（x）max=f（）=1ln2+ln（），进而转化可知问题转化为证明：当t0时t+lnt1+ln2．进而令g（t）=t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，求导f（x）=+2ax+（2a+1）==，（x0），当a=0时，f（x）=+10恒成立，此时y=f（x）在（0，+）上单调递增；当a0，由于x0，所以（2ax+1）（x+1）0恒成立，此时y=f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）=0，解得：x=．因为当x（0，）f（x）0、当x（，+）f（x）0，所以y=f（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减．综上可知：当a0时f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当a0时f（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减，所以当x=时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（）=1ln2+ln（）．从而要证f（x）2，即证f（）2，即证1ln2+ln（）2，即证（）+ln（）1+ln2．令t=，则t0，问题转化为证明：t+lnt1+ln2．…（*） 令g（t）=t+lnt，则g（t）=+，令g（t）=0可知t=2，则当0t2时g（t）0，当t2时g（t）0，所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+）上单调递减，即g（t）g（2）=2+ln2=1+ln2，即（*）式成立，所以当a0时，f（x）2成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin）=0，M为l3与C的交点，求M的极径．【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x2）与x=2+ky；联立，消去k可得C的普通方程为x2y2=4；（2）将l3的极坐标方程为（cos+sin）=0化为普通方程：x+y=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为=．【解答】解：（1）直线l1的参数方程为，（t为参数），消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x2）；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x=2+ky；联立，消去k得：x2y2=4，即C的普通方程为x2y2=4（x2且y0）；（2）l3的极坐标方程为（cos+sin）=0，其普通方程为：x+y=0，联立得：，2=x2+y2=+=5．l3与C的交点M的极径为=．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1||x2|．（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】（1）由于f（x）=|x+1||x2|=，解不等式f（x）1可分1x2与x2两类讨论即可解得不等式f（x）1的解集；（2）依题意可得m[f（x）x2+x]max，设g（x）=f（x）x2+x，分x1、1x2、x2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+1||x2|=，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为{x|x1}．（2）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即m[f（x）x2+x]max，设g（x）=f（x）x2+x．由（1）知，g（x）=，当x1时，g（x）=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x=1，g（x）g（1）=113=5；当1x2时，g（x）=x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x=（1，2），g（x）g（）=+1=；当x2时，g（x）=x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=2，g（x）g（2）=4+2+3=1；综上，g（x）max=，m的取值范围为（，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．