2015年海南省高考数学试题及答案（理科）

2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）理科数学注意事项1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=-2，-1,0,2，B=x|（X-1）（x+2）0,则AB= （A）1，0 （B）0，1 （C）-1，0，1 （D）0，1，22.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=4i，则a = （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列an满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 = （A）21 （B）42 （C）63 （D）845.设函数f(x)=，则f (2)+ f (log212) = （A）3 （B）6 （C）9 （D）12一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 （A） （B） （C） （D）7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则= （A）2 （B）8 （C）4 （D）108.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18， 则输出的a= （A）0 （B）2 （C）4 （D）14已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体 积的最大值为36，则球O的表面积为 （A）36 （B）64 （C）144 （D）256如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与 DA运动，BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x） 的图像大致为已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为 120，则E的离心率为 (A) (B)2 (C) (D)12.设函数f’(x)是奇函数f (x)(xR)的导函数，f（-1）=0，当x>0时，x f’(x)f (x)0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是 (A) (，1)(0，1) (B) (1，0)(1，) (C) (，1)(1，0) (D) (0，1)(1，)第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数=________.(用数字填写答案)14.若x，y满足约束条件，则z= xy的最大值为____________..15.(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________.16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，an+1=Sn Sn+1，则Sn=________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD是ADC面积的2倍。() 求；() 若AD=1，DC=，求BD和AC的长.18. （本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率19. （本小题满分12分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求直线AF与平面所成角的正弦值（本小题满分12分）已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0) QUOTE \* MERGEFORMAT ，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. （ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若l过点(，m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？ 若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.21. （本小题满分12分）设函数fx=emx+x2-mx. ()证明：f(x)在（，0）单调递减，在（0，）单调递增；（）若对于任意x1, x2[-1,1],都有f(x1)- f(x2)e-1,求m的取值范围 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点. （ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）证明：EF平行于BC（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1:，其中0 ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，曲线C3：=cos . （ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）.求C2与C3交点的直角坐标 （ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明： （ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）若abcd ，则； （ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）是的充要条件.（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设均为正数，且,证明： （ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）若，则； （ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）是的充要条件.2015年海南省数学理科高考试题及答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知集合A=-2，-1,0，1,2，B=x|（X-1）（x+2）0,则AB=（ ）（A）--1,0 （B）0,1 （C）-1,0,1 （D）,0,，1，2【答案】A【解析】由已知得，故，故选A（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2【答案】B【解析】[来源:Z_xx_k.Com]（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著2007年我国治理二氧化硫排放显现2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．（4）等比数列an满足a1=3， =21，则 ( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84【答案】B【解析】（5）设函数,( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故．（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=（A）2 （B）8 （C）4 （D）10【答案】C【解析】（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B[来源:Z.xx.k.Com]【解析】程序在执行过程中，，的值依次为，；；；；；，此时程序结束，输出的值为2，故选B．（9）已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A．36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为[来源:]【答案】B【解析】的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（A）5 （B）2 （C）3 （D）2【答案】D【解析】（12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，f（-1）=0，当时，，则使得成立的x的取值范围是（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．二、填空题（13）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． 【答案】【解析】因为向量与平行，所以，则所以．（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．【答案】（15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．（16）设是数列的前n项和，且，，则________．【答案】【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．三．解答题17．（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．() 求；()若，，求和的长． 【答案】()；()． ()因为，所以．在和中，由余弦定理得，．．由()知，所以．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；A地区B地区456789（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【答案】（）详见解析；（）．【解析】试题分析：（）将两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（）事件“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”分为两种情况：当B地区满意度等级为不满意时，A地区的满意度等级为满意或非常满意；当B地区满意度等级为满意时，A地区满意度等级为非常满意．再利用互斥事件和独立事件的概率来求解．试题解析：（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下A地区B地区4567896 81 3 6 432 4 5 5 6 4 23 3 4 6 96 8 8 6 4 33 2 19 2 8 6 5 11 37 5 5 2表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．则与独立，与独立，与互斥，．．由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．故，，，，故．考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件．19．（本题满分12分）如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．DD1C1A1EFABCB1（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（）详见解析；（）．【解析】试题分析：（）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；（）由交线围成的正方形，计算相关数据．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并求平面的法向量和直线的方向向量，利用求直线与平面所成角的正弦值．试题解析：（）交线围成的正方形如图：（）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是，所以．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．20．（本题满分12分） 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．【答案】()详见解析；（）能，或．【解析】试题分析：()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；（）根据()中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值．试题解析：()设直线，，，．将代入得，故，．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（）四边形能为平行四边形．因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．由()得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是．解得，．因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．21．（本题满分12分）设函数．()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围．【答案】()详见解析；（）．【解析】试题分析：()先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可；（）恒成立，等价于．由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由()可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．考点：导数的综合应用．（请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。高三网www.gaosan.com）22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点．GAEFONDBCM （）证明：；（） 若等于的半径，且，求四边形的面积．【答案】（）详见解析；（）．【解析】试题分析：（）由已知得，欲证明，只需证明，由切线长定理可得，故只需证明是角平分线即可；（）连接，，在中，易求得，故和都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面积．四边形的面积为两个等边三角形面积之差．试题解析：（）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．（）由（）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．因为，，所以．于是，．所以四边形的面积．考点：1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．（）.求与交点的直角坐标；（）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值．【答案】（）和；（）．【解析】试题分析：（）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（）分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理．试题解析：（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．（）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：（）若，则；（）是的充要条件．【答案】（）详见解析；（）详见解析．考点：推理证明．