2015年海南省高考数学试题及答案(理科)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)理科数学注意事项1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=-2,-1,0,2,B=x|(X-1)(x+2)0,则AB= (A)1,0 (B)0,1 (C)-1,0,1 (D)0,1,22.若a为实数且(2+ai)(a-2i)=4i,则a = (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是 (A)逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B)2007年我国治理二氧化硫排放显现 (C)2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列an满足a1=3,a1+ a3+ a5=21,则a3+ a5+ a7 = (A)21 (B)42 (C)63 (D)845.设函数f(x)=,则f (2)+ f (log212) = (A)3 (B)6 (C)9 (D)12一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 (A) (B) (C) (D)7.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则= (A)2 (B)8 (C)4 (D)108.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18, 则输出的a= (A)0 (B)2 (C)4 (D)14已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体 积的最大值为36,则球O的表面积为 (A)36 (B)64 (C)144 (D)256如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与 DA运动,BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x) 的图像大致为已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为 120,则E的离心率为 (A) (B)2 (C) (D)12.设函数f’(x)是奇函数f (x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,x f’(x)f (x)0,则使得f (x) >0成立的x的取值范围是 (A) (,1)(0,1) (B) (1,0)(1,) (C) (,1)(1,0) (D) (0,1)(1,)第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。13.设向量a,b不平行,向量ab与a2b平行,则实数=________.(用数字填写答案)14.若x,y满足约束条件,则z= xy的最大值为____________..15.(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a =__________.16.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,an+1=Sn Sn+1,则Sn=________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD是ADC面积的2倍。() 求;() 若AD=1,DC=,求BD和AC的长.18. (本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79()根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);()根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率19. (本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F。过带你E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)()求直线AF与平面所成角的正弦值(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+ y2 = m2 (m>0) QUOTE \* MERGEFORMAT ,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. ( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; ( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否平行四边行? 若能,求此时l的斜率,若不能,说明理由.21. (本小题满分12分)设函数fx=emx+x2-mx. ()证明:f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增;()若对于任意x1, x2[-1,1],都有f(x1)- f(x2)e-1,求m的取值范围 请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G,且与AB、AC分别相切于E、F两点. ( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)证明:EF平行于BC( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II) 若AG等于圆O的半径,且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。23(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:,其中0 ,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin,曲线C3:=cos . ( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I).求C2与C3交点的直角坐标 ( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II).若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值(24)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 设a、b、c、d均为正数,且a+b=c+d,证明: ( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)若abcd ,则; ( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)是的充要条件.(24)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 设均为正数,且,证明: ( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)若,则; ( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)是的充要条件.2015海南省数学理科高考试题及答案解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。已知集合A=-2,-1,0,1,2,B=x|(X-1)(x+2)0,则AB=( )(A)--1,0 (B)0,1 (C)-1,0,1 (D),0,,1,2【答案】A【解析】由已知得,故,故选A(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2【答案】B【解析】[来源:Z_xx_k.Com](3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是( )逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著2007年我国治理二氧化硫排放显现2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关.(4)等比数列an满足a1=3, =21,则 ( )(A)21 (B)42 (C)63 (D)84【答案】B【解析】(5)设函数,( )(A)3 (B)6 (C)9 (D)12【答案】C【解析】由已知得,又,所以,故.(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】由三视图得,在正方体中,截去四面体,如图所示,,设正方体棱长为,则,故剩余几何体体积为,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.(7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则=(A)2 (B)8 (C)4 (D)10【答案】C【解析】(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B[来源:Z.xx.k.Com]【解析】程序在执行过程中,,的值依次为,;;;;;,此时程序结束,输出的值为2,故选B.(9)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为A.36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如图所示,当点C位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球的半径为,此时,故,则球的表面积为,故选C.10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为[来源:]【答案】B【解析】的运动过程可以看出,轨迹关于直线对称,且,且轨迹非线型,故选B.(11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为(A)5 (B)2 (C)3 (D)2【答案】D【解析】(12)设函数f’(x)是奇函数的导函数,f(-1)=0,当时,,则使得成立的x的取值范围是(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】记函数,则,因为当时,,故当时,,所以在单调递减;又因为函数是奇函数,故函数是偶函数,所以在单调递减,且.当时,,则;当时,,则,综上所述,使得成立的的取值范围是,故选A.二、填空题(13)设向量,不平行,向量与平行,则实数_________. 【答案】【解析】因为向量与平行,所以,则所以.(14)若x,y满足约束条件,则的最大值为____________.【答案】(15)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则__________.【答案】【解析】由已知得,故的展开式中x的奇数次幂项分别为,,,,,其系数之和为,解得.(16)设是数列的前n项和,且,,则________.【答案】【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.三.解答题17.(本题满分12分)中,是上的点,平分,面积是面积的2倍.() 求;()若,,求和的长. 【答案】();(). ()因为,所以.在和中,由余弦定理得,..由()知,所以.考点:1、三角形面积公式;2、正弦定理和余弦定理.18.(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从,两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79()根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);A地区B地区456789()根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.【答案】()详见解析;().【解析】试题分析:()将两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧,并根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小;()事件“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”分为两种情况:当B地区满意度等级为不满意时,A地区的满意度等级为满意或非常满意;当B地区满意度等级为满意时,A地区满意度等级为非常满意.再利用互斥事件和独立事件的概率来求解.试题解析:()两地区用户满意度评分的茎叶图如下A地区B地区4567896 81 3 6 432 4 5 5 6 4 23 3 4 6 96 8 8 6 4 33 2 19 2 8 6 5 11 37 5 5 2表示事件:“B地区用户满意度等级为满意”.则与独立,与独立,与互斥,..由所给数据得,,,发生的概率分别为,,,.故,,,,故.考点:1、茎叶图和特征数;2、互斥事件和独立事件.19.(本题满分12分)如图,长方体中,,,,点,分别在,上,.过点,的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.DD1C1A1EFABCB1()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);()求直线与平面所成角的正弦值.【答案】()详见解析;().【解析】试题分析:()由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线;()由交线围成的正方形,计算相关数据.以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,并求平面的法向量和直线的方向向量,利用求直线与平面所成角的正弦值.试题解析:()交线围成的正方形如图:()作,垂足为,则,,因为为正方形,所以.于是,所以.以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,.设是平面的法向量,则即所以可取.又,故.所以直线与平面所成角的正弦值为.考点:1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.20.(本题满分12分) 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为. ()证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;()若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.【答案】()详见解析;()能,或.【解析】试题分析:()题中涉及弦的中点坐标问题,故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解:设端点的坐标,代入椭圆方程并作差,出现弦的中点和直线的斜率;设直线的方程同时和椭圆方程联立,利用韦达定理求弦的中点,并寻找两条直线斜率关系;()根据()中结论,设直线方程并与椭圆方程联立,求得坐标,利用以及直线过点列方程求的值.试题解析:()设直线,,,.将代入得,故,.于是直线的斜率,即.所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.()四边形能为平行四边形.因为直线过点,所以不过原点且与有两个交点的充要条件是,.由()得的方程为.设点的横坐标为.由得,即.将点的坐标代入直线的方程得,因此.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,即.于是.解得,.因为,,,所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形.考点:1、弦的中点问题;2、直线和椭圆的位置关系.21.(本题满分12分)设函数.()证明:在单调递减,在单调递增;()若对于任意,都有,求的取值范围.【答案】()详见解析;().【解析】试题分析:()先求导函数,根据的范围讨论导函数在和的符号即可;()恒成立,等价于.由是两个独立的变量,故可求研究的值域,由()可得最小值为,最大值可能是或,故只需,从而得关于的不等式,因不易解出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得解.考点:导数的综合应用.(请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。高三网www.gaosan.com)22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,为等腰三角形内一点,圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点,与、分别相切于、两点.GAEFONDBCM ()证明:;() 若等于的半径,且,求四边形的面积.【答案】()详见解析;().【解析】试题分析:()由已知得,欲证明,只需证明,由切线长定理可得,故只需证明是角平分线即可;()连接,,在中,易求得,故和都是等边三角形,求得其边长,进而可求其面积.四边形的面积为两个等边三角形面积之差.试题解析:()由于是等腰三角形,,所以是的平分线.又因为分别与、相切于、两点,所以,故.从而.()由()知,,,故是的垂直平分线,又是的弦,所以在上.连接,,则.由等于的半径得,所以.所以和都是等边三角形.因为,所以,.因为,,所以.于是,.所以四边形的面积.考点:1.等腰三角形的性质;2、圆的切线长定理;3、圆的切线的性质.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线(为参数,),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.().求与交点的直角坐标;().若与相交于点,与相交于点,求的最大值.【答案】()和;().【解析】试题分析:()将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程,联立求交点,得其交点的直角坐标,也可以直接联立极坐标方程,求得交点的极坐标,再化为直角坐标;()分别联立与和与的极坐标方程,求得的极坐标,由极径的概念将表示,转化为三角函数的最大值问题处理.试题解析:()曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.联立解得或所以与交点的直角坐标为和.()曲线的极坐标方程为,其中.因此得到极坐标为,的极坐标为.所以,当时,取得最大值,最大值为.考点:1、极坐标方程和直角坐标方程的转化;2、三角函数的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设均为正数,且,证明:()若,则;()是的充要条件.【答案】()详见解析;()详见解析.考点:推理证明.

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