2021年全国高考甲卷数学（理）试题（原卷版）

绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3. 已知，则（ ）A B. C. D. 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.65. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 6. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A. B. C. D. 7. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）A. 346B. 373C. 446D. 4739. 若，则（ ）A. B. C. D. 10. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 11. 已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 12. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 曲线在点处的切线方程为__________．14. 已知向量．若，则________．15. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．16. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818. 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立．数列是等差数列：数列是等差数列；．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点． （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?20. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．21. 已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23. 已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．