2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

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2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷) 数学(理)一、选择题1.设,则( )A.B.C.D.答案:C解析:设,则,,所以,,所以.2.已知集合,,则( )A.B.C.D.答案:C解析:,;当,时,;当,时,.所以,.故选C.3.已知命题;命题,则下列命题中为真命题的是( )A.B.C.D.答案:A解析:根据正弦函数的值域,故,,为真命题,而函数为偶函数,且时,,故,恒成立.,则也为真命题,所以为真,选A.4.设函数,则下列函数中为奇函数的是( )A.B.C.D.答案:B解析:,向右平移一个单位,向上平移一个单位得到为奇函数.5.在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为( )A.B.C.D.答案:D解析:如图,为直线与所成角的平面角.易知为正三角形,又为中点,所以.6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰,短道速滑冰球和冰壶个项目进行培训,每名志愿者只分配到个项目,每个项目至少分配名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.种B.种C.种D.种答案:C解析:所求分配方案数为.7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )A.B.C.D.答案:B解析:逆向:.故选B.8.在区间与中各随机取个数,则两数之和大于的概率为( )A.B.C.D.答案:B解析:由题意记,,题目即求的概率,绘图如下所示.故.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图,点在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”,则海岛的高( )A.B.C.D.答案:A解析:连接交于,则.记,,则.而,.所以.故,所以高.10.设,若为函数的极大值点,则A.B.C.D.答案:D解析:若,其图像如图(1),此时,;若,时图像如图(2),此时,.综上,.11.设是椭圆:的上顶点,若上的任意一点都满足,,则的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.答案:C解析:由题意,点,设,则,故,.由题意,当时,最大,则,,,,.12.设,,,则( )A.B.C.D.答案:B解析:设,则,易得.当时,,故.所以在上单调递减,所以,故.再设,则,易得.当时,,所以在上.故在上单调递增,所以,故.综上,.二、填空题13.已知双曲线:的一条渐近线为,则的焦距为 .答案:解析:易知双曲线渐近线方程为,由题意得,,且一条渐近线方程为,则有(舍去),,故焦距为.14.已知向量,,若,则 .答案:解析:由题意得,即,解得.15.记的内角,,的对边分别为,,,面积为, ,,则 .答案:解析:,所以,由余弦定理,,所以.16.以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).答案:或解析:由高度可知,侧视图只能为或.侧视图为,如图(1),平面平面,,,,俯视图为.俯视图为,如图(2),平面,,,,俯视图为.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品,得到产品该项指标数据如下: 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和, 样本方差分别己为和.(1)求,,,:(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 , 否则不认为有显著提高 ) 。答案:见解析解析:(1)各项所求值如下所示.,,,.(2)由(1)中数据得.显然.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18.如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,为的中点,且.(1)求;(2)求二面角的正弦值.答案:见解析解析:(1)因为平面,且矩形中,.所以以,,分别为,,轴正方向,为原点建立空间直角坐标系.设,,,,,所以,因为,所以所以,所以.(2)设平面的一个法向量为,由于,则.令,的.设平面的一个法向量为,则.令,的.所以,所以二面角的正弦值为.19.记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.(1)证明:数列是等差数列;(2)求的通项公式.答案:见解析解析:(1)由已知,则,,,故是以为首项,为公差的等差数列.(2)由(1)知,则,时,,时,,故.20.设函数,已知是函数的极值点.(1)求;(2)设函数,证明:.答案:见解析解析:(1)令则.是函数的极值点..解得:;由(1)可知: ,要证,即证(且).当时,.当时,.只需证明令,且易知.则(i)当时,易得,则在上单调递减,,,得证.(ii)当时,易得,则在上单调递增.,,得证.综上证得.21.已知抛物线:的焦点为,且与圆:上点的距离的最小值为.(1)求;(2)若点在上,,是的两条切线,,是切点,求面积的最大值.答案:见解析解析:(1)焦点到的最短距离为,所以.(2)抛物线,设,,,得:,:,且,,都过点,则,故:,即,联立,得,,所以,,所以.而,故当时,达到最大,最大值为.22.在直角坐标系中,的圆心为,半径为.(1)写出的一个参数方程;(2)过点作的两条切线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.答案:见解析解析:(1)的参数方程为(为参数)(2)的方程为当直线斜率不存在时,直线方程为,此时圆心到直线距离为,舍去;当直线斜率存在时,设直线方程为,化简为,此时圆心到直线的距离为,化简得,两边平方有,所以.代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为或.23.已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,求的取值范围.答案:见解析解析:当时,,当时,不等式,解得;当时,不等式,解得;当时,不等式,解得.综上,原不等式的解集为.(2)若,即,因为(当且仅当时,等号成立),所以,所以,即或,解得.

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