绝密 启用前
本试卷共 10 页，19 小题，满分 150 分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
A= x -5< x3< 5 , B = { - 3, - 1,0,2,3}
1. 已知集合 ，则 ABI = （ ）
A. {- 1,0} B. {2,3} C. {-- 3, 1,0} D. {- 1,0,2}
z
2. 若 =1 + i ，则 z = （ ）
z -1
A. --1 i B. -1 + i C. 1- i D. 1+ i
r r r
3. 已知向量 ar =(0,1), b = (2, x ) ，若 b^( b - 4 ar ) ，则 x = （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 已知 cos(a+ b ) =m ,tan a tan b = 2 ，则 cos(a- b ) = （ ）
m m
A. -3m B. - C. D. 3m
3 3
5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3 ，则圆锥的体积为（ ）
A. 2 3 B. 3 3 C. 6 3 D. 9 3
-x2 -2 ax - a , x< 0
已知函数为 f() x ，在 上单调递增，则 取值的范围是（ ）
6. = x R a
e+ ln(x + 1), x 0
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A. (- ,0] B. [- 1,0] C. [- 1,1] D. [0,+ )
p
7. 当 x [0,2p ] 时，曲线 y= sin x 与 y=2sin 3 x - 的交点个数为（ ）
6
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知函数为 f() x 的定义域为 R， f( x )>f ( x - 1) + f ( x - 2) ，且当 x< 3 时 f() x= x ，则下列结论中一
定正确的是（ ）
A. f (10)>100 B. f (20)>1000
C. f (10)< 1000 D. f (20)< 10000
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0
分.
9. 为了解推动出口后的 亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本
均值 x = 2.1，样本方差 s2 = 0.01，已知该种植区以往的亩收入 X 服从正态分布 N 1.8,0.12 ，假设推动
出口后的亩收入 Y 服从正态分布 N x, s2 ，则（ ）（若随机变量 Z 服从正态分布 N u,s 2 ，
P(Z< u +s ) 0.8413 ）
A. P(X >2) >0.2 B. P(X >2)< 0.5
C. P(Y >2) >0.5 D. P(Y >2)< 0.8
10. 设函数 f( x )= ( x - 1)2 ( x - 4) ，则（ ）
A. x = 3 是 f() x 的极小值点 B. 当 0 C. 当1 11. 造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 C 的一部分.已知 C 过坐标原点 O.且 C 上的点满足横坐 标大于 -2 ，到点 F(2,0) 的距离与到定直线 x= a( a< 0) 的距离之积为 4，则（ ） A. a = -2 B. 点 (2 2,0) 在 C 上 4 C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 D. 当点 x0, y 0 在 C 上时， y0 x0 + 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. x2 y 2 12. 设双曲线 C:- = 1( a >0, b >0) 的左右焦点分别为 FF、 ，过 F 作平行于 y 轴的直线交 C 于 A，B a2 b 2 1 2 2 两点，若| F1 A |=13,| AB |=10 ，则 C 的离心率为___________． 13. 若曲线 y=ex + x 在点 0,1 处的切线也是曲线 y=ln( x + 1) + a 的切线，则 a = __________. 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的 卡片上分别标有数字 1，3，5，7，乙的卡 片上分别标有数字 2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选 一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的 卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 2 15. 记 VABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinCB= 2 cos ， a+ b - c = 2 ab （1）求 B； （2）若 VABC 的面积为 3+ 3 ，求 c． 3 x2 y 2 16. 已知 A(0,3) 和 P3, 为 椭圆 C:+ = 1( a >b >0) 上两点. 2 a2 b 2 （1）求 C 的离心率; （2）若过 P 的直线l 交 C 于另一点 B，且VABP 的面积为 9，求l 的方程． 17. 如图，四棱锥 P- ABCD 中， PA ^ 底面 ABCD， PA= AC = 2 ， BC=1, AB = 3 ． （1）若 AD^ PB ，证明： AD// 平面 PBC ； 42 （2）若 AD^ DC ，且二面角 A-- CP D 的正弦值为 ，求 AD ． 7 x 18. 已知函数 f( x )= ln + ax + b ( x - 1)3 2 - x （1）若 b = 0 ，且 f (x ) 0 ，求 a 的最小值； （2）证明：曲线 y= f() x 是中心对称图形； （3）若 f( x )>- 2 当且仅当1 19. 设 m 为正整数，数列 a1, a 2 ,..., a 4m+ 2 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 ai 和 aj i< j 后剩余 的 4m 项可被平均分为 m 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 a1, a 2 ,..., a 4m+ 2 是 i, j - 可分 数列． （1）写出所有的i, j ，1i< j 6 ，使数列 a1, a 2 ,..., a 6 是 i, j - 可分数列； （2）当 m 3 时，证明：数列 a1, a 2 ,..., a 4m+ 2 是 2,13 - 可分数列； （3）从1,2,...,4m + 2 中一次任取两个数 i 和 j i< j ，记数列 a1, a 2 ,..., a 4m+ 2 是 i, j - 可分数列的概率 1 为 P ，证明： P >． m m 8