理科数学
一、选择题
(AB)
1.设集合A{xx3k1,kZ},B{xx3k2,kZ}，U为整数集，U（）
A.{x|x3k,kZ}B.{xx3k1,kZ}
C.{xx3k2,kZ}D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集Zx|x3k,kZx|x3k1,kZx|x3k2,kZ，UZ，所
以，UABx|x3k,kZ．
故选：A．
2.若复数ai1ai2,aR，则a（）
A.-1B.0C.1D.2
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为ai1aiaa2iia2a1a2i2，
2a2
所以，解得：．
2a1
1a0
故选：C.
3.执行下面的程序框遇，输出的B（）
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A.21B.34C.55D.89
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．
【详解】当n1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A123，B325，n112；
当n2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A358，B8513，n213；
当n3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A81321，B211334，n314；
当n4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B34．
故选：B.
4.向量ab1,c2，且abc0，则cosac,bc（）
1224
A.B.C.D.
5555
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
r
rr
【详解】因为abc0,所以a+b=-c,
r
222r
即ab2abc,即112ab2,所以ab0.
如图,设OAa,OBb,OCc,
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由题知,OAOB1,OC2,OAB是等腰直角三角形,
22
AB边上的高OD,AD,
22
232
所以CDCOOD2,
22
AD13
tanACD,cosACD,
CD310
2
cosac,bccosACBcos2ACD2cosACD1
2
34
21.
105
故选:D.
5.已知正项等比数列an中，a11,Sn为an前n项和，S55S34，则S4（）
A.7B.9C.15D.30
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出关于q的方程,计算出q,即可求出S4.
2342
【详解】由题知1qqqq51qq4,
即q3q44q4q2,即q3q24q40,即(q2)(q1)(q2)0.
由题知q0,所以q=2.
所以S4124815.
故选:C.
6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球
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俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）
A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1
【答案】A
【解析】
【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件
概率的知识求解.
【详解】报名两个俱乐部的人数为50607040，
记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，
505404
则P(A),P(AB)，
707707
4
P(AB)
所以P(BA)70.8.
P(A)5
7
故选:A.
7.“sin2sin21”是“sincos0”的（）
A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当sin2sin21时，例如,0但sincos0，
2
即sin2sin21推不出sincos0；
当sincos0时，sin2sin2(cos)2sin21，
即sincos0能推出sin2sin21.
综上可知，sin2sin21是sincos0成立的必要不充分条件.
故选：B
x2y2
8.已知双曲线1(a0,b0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x2)2(y3)21交于A，
a2b2
B两点，则|AB|（）
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152545
A.B.C.D.
5555
【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
c2a2b2b2
【详解】由e5，则15，
a2a2a2
b
解得2，
a
所以双曲线的一条渐近线不妨取y2x，
|223|5
则圆心(2,3)到渐近线的距离d，
2215
145
所以弦长|AB|2r2d221.
55
故选：D
9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连
续参加两天服务的选择种数为（）
A.120B.60C.40D.30
【答案】B
【解析】
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e，
2
假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A412
种方法，
同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260种.
故选：B.
11
10.已知fx为函数ycos2x向左平移个单位所得函数，则yfx与yx的交点个
6622
数为（）
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A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
11
【分析】先利用三角函数平移的性质求得fxsin2x，再作出fx与yx的部分大致图像，
22
11
考虑特殊点处fx与yx的大小关系，从而精确图像，由此得解.
22
【详解】因为ycos2x向左平移个单位所得函数为
66
ycos2xcos2xsin2x，所以fxsin2x，
662
111
而yx显然过0,与1,0两点，
222
11
作出fx与yx的部分大致图像如下，
22
33733711
考虑2x,2x,2x，即x,x,x处fx与yx的大小关系，
22244422
33313134
当x时，fsin1，y1；
4422428
33313134
当x时，fsin1，y1；
4422428
77717174
当x时，fsin1，y1；
4422428
11
所以由图可知，fx与yx的交点个数为3.
22
故选：C.
11.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，AB4,PCPD3,PCA45，则PBC的面
积为（）
A.22B.32C.42D.52
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【答案】C
【解析】
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDOPCO，PDBPCA，从而得到PAPB，
再在PAC中利用余弦定理求得PA17，从而求得PB17，由此在PBC中利用余弦定理与三角
形面积公式即可得解；
1
法二：先在PAC中利用余弦定理求得PA17，cosPCB，从而求得PAPC3，再利用空
3
间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,BPD的方程组，从而求得PB17，由此在PBC中利用
余弦定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，
因为底面ABCD为正方形，AB4，所以ACBD42，则DOCO22，
又PCPD3，POOP，所以PDOPCO，则PDOPCO，
又PCPD3，ACBD42，所以PDBPCA，则PAPB，
在PAC中，PC3,AC42,PCA45，
2
则由余弦定理可得PA2AC2PC22ACPCcosPCA329242317，
2
故PA17，则PB17，
故在PBC中，PC3,PB17,BC4，
PC2BC2PB2916171
所以cosPCB，
2PCBC2343
22
又0PCB，所以sinPCB1cos2PCB，
3
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1122
所以PBC的面积为SPCBCsinPCB3442.
223
法二：
连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，
因为底面ABCD为正方形，AB4，所以ACBD42，
在PAC中，PC3,PCA45，
2
则由余弦定理可得PA2AC2PC22ACPCcosPCA329242317，故
2
PA17，
PA2PC2AC21793217
所以cosAPC，则
2PAPC217317
17
PAPCPAPCcosAPC1733，
17
不妨记PBm,BPD，
1122
因为POPAPCPBPD，所以PAPCPBPD，
22
2222
即PAPC2PAPCPBPD2PBPD，
2
则17923m923mcos，整理得m26mcos110，
又在PBD中，BD2PB2PD22PBPDcosBPD，即32m296mcos，则
m26mcos230，
两式相加得2m2340，故PBm17，
故在PBC中，PC3,PB17,BC4，
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PC2BC2PB2916171
所以cosPCB，
2PCBC2343
22
又0PCB，所以sinPCB1cos2PCB，
3
1122
所以PBC的面积为SPCBCsinPCB3442.
223
故选：C.
x2y23
12.己知椭圆1，F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosF1PF2，则|PO|
965
（）
230335
A.B.C.D.
5252
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出PF1F2的面积，即可得到点P的坐标，从而得出OP的
值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出22，再结合中线的向量公式以及数量积
PF1PF2,PF1PF2
即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出22，即可根据中线定理求出．
PF1PF2
FPF
【详解】方法一：设FPF2,0，所以Sb2tan12b2tan，
122PF1F22
cos2sin21tan231
由cosFPFcos2，解得：tan，
12cos2+sin21tan252
由椭圆方程可知，a29,b26,c2a2b23，
1112
所以，SFFy23y6，解得：yp3，
PF1F2212p2p2
23922930
即xp91，因此OPxy3．
62pp22
故选：B．
方法二：因为，222，
PF1PF22a6PF1PF22PF1PF2F1PF2F1F2
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226
即PFPFPFPF12，联立，
12512
1522
解得：PFPF,PFPF21，
12212
11
而，所以，
POPF1PF2OPPOPF1PF2
22
1122131530
即POPFPFPF2PFPFPF212．
212211222522
故选：B．
方法三：因为，222，
PF1PF22a6PF1PF22PF1PF2F1PF2F1F2
22622
即PFPFPFPF12，联立，解得：PFPF21，
1251212
2222
由中线定理可知，，易知，解得：30．
2OPF1F22PF1PF242F1F223OP
2
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常
规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
二、填空题
2
13.若y(x1)axsinx为偶函数，则a________．
2
【答案】2
【解析】
【分析】利用偶函数的性质得到ff，从而求得a2，再检验即可得解.
22
22
【详解】因为yfxx1axsinxx1axcosx为偶函数，定义域为R，
2
22
所以ff，即asa，1co1cos
22222222
22
则a112，故a2，
22
2
此时fxx12xcosxx21cosx，
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