一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
13i3i
1.在复平面内，对应的点位于（）．
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为13i3i38i3i268i，
则所求复数对应的点为6,8，位于第一象限.
故选：A.
2.设集合A0,a，B1,a2,2a2，若AB，则a（）．
2
A.2B.1C.D.1
3
【答案】B
【解析】
【分析】根据包含关系分a20和2a20两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为AB，则有：
若a20，解得a2，此时A0,2，B1,0,2，不符合题意；
若2a20，解得a1，此时A0,1，B1,1,0，符合题意；
综上所述：a1.
故选：B.
3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高
中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有
（）．
4515种2040种
A.C400C200B.C400C200
3030种4020种
C.C400C200D.C400C200
【答案】D
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【解析】
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
400200
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取6040人，高中部共抽取6020，
600600
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020种
C400C200.
故选：D.
2x1
4.若fxxaln为偶函数，则a（）．
2x1
1
A.1B.0C.D.1
2
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.
1
【详解】因为f(x)为偶函数，则f(1)f(1)，(1a)ln(1a)ln3，解得a0，
3
2x111
当a0时，fxxln，2x12x10，解得x或x，
2x122
11
则其定义域为xx或x，关于原点对称.
22
1
2x12x12x12x1
fxxlnxlnxlnxlnfx，
2x12x12x12x1
故此时fx为偶函数.
故选：B.
2
x2
5.已知椭圆C:y1的左、右焦点分别为F1，F2，直线yxm与C交于A，B两点，若F1AB
3
面积是F2AB面积的2倍，则m（）．
2222
A.B.C.D.
3333
【答案】C
【解析】
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方
程，解出即可.
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yxm
【详解】将直线yxm与椭圆联立2，消去y可得22，
x24x6mx3m30
y1
3
因为直线与椭圆相交于A,B点，则36m2443m230，解得2m2，
设到的距离到距离，易知，
F1ABd1,F2ABd2F12,0,F22,0
则|2m|，|2m|，
d1d2
22
|2m|
S
F1AB2|2m|2
2，解得m或32（舍去），
S
F2AB|2m||2m|3
2
故选：C.
x
6.已知函数fxaelnx在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（）．
A.e2B.eC.e1D.e2
【答案】C
【解析】
1
【分析】根据fxaex0在1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
x
11
【详解】依题可知，fxaex0在1,2上恒成立，显然a0，所以xex，
xa
设gxxex,x1,2，所以gxx1ex0，所以gx在1,2上单调递增，
11
gxg1e，故e，即ae1，即a的最小值为e1．
ae
故选：C．
15
7.已知为锐角，cos，则sin（）．
42
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35153515
A.B.C.D.
8844
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
15
【详解】因为cos12sin2，而为锐角，
24
2
解得：sin355151．
2
8164
故选：D．
8.记Sn为等比数列an的前n项和，若S45，S621S2，则S8（）．
A.120B.85C.85D.120
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据S4,S8的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列an的公比为q，首项为a1，
若q1，则S66a132a13S2，与题意不符，所以q1；
a1q4a1q6a1q2
由，可得，1，11，
S45S621S2521
1q1q1q
由可得，1q2q421，解得：q24，
a1q8a1q4
所以114．
S81q511685
1q1q
故选：C．
方法二：设等比数列an的公比为q，
因为S45，S621S2，所以q1，否则S40，
从而，S2,S4S2,S6S4,S8S6成等比数列，
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25
所以有，5SS21S5，解得：S21或S，
22224
当S21时，S2,S4S2,S6S4,S8S6，即为1,4,16,S821，
易知，S82164，即S885；
522
当S时，S4a1a2a3a4a1a21q1qS20，
24
与S45矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握S4,S8的关
系，从而减少相关量的求解，简化运算．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，APB120，PA2，点C在底面圆周上，
且二面角PACO为45，则（）．
A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为43
C.AC22D.PAC的面积为3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，APB120，PA2，所以OP1,OAOB3，
12
A选项，圆锥的体积为31，A选项正确；
3
B选项，圆锥的侧面积为3223，B选项错误；
C选项，设D是AC的中点，连接OD,PD，
则ACOD,ACPD，所以PDO是二面角PACO的平面角，
则PDO45，所以OPOD1，
故ADCD312，则AC22，C选项正确；
1
选项，22，所以，选项错误
DPD112SPAC2222D.
2
故选：AC.
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2
10.设O为坐标原点，直线y3x1过抛物线C:y2pxp0的焦点，且与C交于M，N两点，
l为C的准线，则（）．
8
A.p2B.MN
3
C.以MN为直径的圆与l相切D.OMN为等腰三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】先求得焦点坐标，从而求得p，根据弦长公式求得MN，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
2
【详解】A选项：直线y3x1过点1,0，所以抛物线C:y2pxp0的焦点F1,0，
p
所以1,p2,2p4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y24x.
2
B选项：设Mx1,y1,Nx2,y2，
y3x12
由消去y并化简得3x10x3x33x10，
2
y4x
1116
解得x3,x，所以MNxxp32，B选项错误.
1231233
C选项：设MN的中点为A，M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d，
111
因为dddMFNFMN，
21222
即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.
D选项：直线y3x1，即3xy30，
3
O到直线3xy30的距离为d，
2
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116343
所以三角形OMN的面积为，
2323
由上述分析可知123，
y133123,y231
33
22
2
所以212313，
OM32321,ON
333
所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
bc
11.若函数fxalnxa0既有极大值也有极小值，则（）．
xx2
A.bc0B.ab0C.b28ac0D.ac0
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数f(x)的导数f(x)，由已知可得f(x)在(0,)上有两个变号零点，转化为一元二次方
程有两个不等的正根判断作答.
bcab2cax2bx2c
【详解】函数f(x)alnx的定义域为(0,)，求导得f(x)，
xx2xx2x3x3
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f(x)在(0,)上有两个变号零点，而a0，
2
因此方程axbx2c0有两个不等的正根x1,x2，
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b28ac0
b22
于是x1x20，即有b8ac0，ab0，ac0，显然abc0，即bc0，A错误，BCD
a
2c
x1x20
a
正确.
故选：BCD
12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)，收到0的
概率为1；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1.考虑两种传输方案：单次
传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号
需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的
即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1)(1)2
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为(1)2
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为(1)2(1)3
D.当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概
率
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求
出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1
接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1)(1)(1)(1)(1)2，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1)(1)(1)2，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，
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它们互斥，由选项知，所以所求的概率为2232，错误；
BC3(1)(1)(1)(12)C
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P(1)2(12)，
单次传输发送0，则译码为0的概率P1，而00.5，
因此PP(1)2(12)(1)(1)(12)0，即PP，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b满足ab3，ab2ab，则b______．
【答案】3
【解析】
rrr
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令cab，结合数量积的运算
律运算求解.
22
【详解】法一：因为ab2ab，即ab2ab，
r2rrr2r2rrr22
则a2abb4a4abb，整理得a2ab0，
2
又因为ab3，即ab3，
r2rrr2r2
则a2abbb3，所以b3.
rrrrrrrrr
rrr
法二：设cab，则c3,abc2b,2ab2cb，
rr2rr2
r2rrr2r2rrr2
由题意可得：c2b2cb，则c4cb4b4c4cbb，
rr
r2r2
整理得：cb，即bc3.
故答案为：3.
14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所
得棱台的体积为______．
【答案】28
【解析】
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体
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的体积公式直接运算求解.
21
【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，
42
1
所以正四棱锥的体积为44632，
3
1
截去的正四棱锥的体积为2234，
3
所以棱台的体积为32428.
1
方法二：棱台的体积为316416428.
3
故答案为：28.
28
15.已知直线l:xmy10与C:x1y24交于A，B两点，写出满足“ABC面积为”的m
5
的一个值______．
11
【答案】2（2,2,,中任意一个皆可以）
22
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB24d2，
18
所以2，解得：45或25，
SABCd24ddd
2555
1122452251
由d，所以或，解得：m2或m．
1m21m21m251m252
11
故答案为：2（2,2,,中任意一个皆可以）．
22
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