数学试题
本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3
至6页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试
题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上
的作答一律无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1
1.已知集合Axx，Bxy4x1，则AB（）
2
11111
A.,B.0,C.,D.,
22424
z
2.已知z1i，则（）
1z
13133131
A.iB.iC.iD.i
55555555
3.已知向量a，b满足a3，b2，2ab213，则a与b的夹角为（）
235
A.B.C.D.
2346
4.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）
A.6B.8C.16D.20
15
5.“0x1”是“2x”的（）
2x2
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2
6.已知P为抛物线x24y上的一点，过P作圆x2y31的两条切线，切点分别为A，B，则cosAPB
的最小值是（）
1237
A.B.C.D.
2349
已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（）
7.anan1anfna11
若，则是等差数列
A.fn2n1an
若，则是等差数列
B.fn2nan
若，则是等比数列
C.fn2an
若n1，则是等比数列
D.fn32an
8.已知定义在R上的奇函数fx满足fxfax，则对所有这样的函数fx，由下列条件一定能得
到f1f3f9的是（）
A.a2B.a3C.a4D.a5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
已知圆：22和圆：22，则（）
9.C1x1y1C2xy4x4y40
圆的半径为
A.C24
轴为圆与的公切线
B.yC1C2
圆与公共弦所在的直线方程为
C.C1C2x2y10
圆与上共有个点到直线的距离为
D.C1C262xy201
由变量和变量组成的个成对样本数据得到的经验回归方程为
10.xy10x1,y1,x2,y2,,x10,y10
110110
，设过点，的直线方程为，记，，则（）
y2x0.1x2,y2x9,y9ymxnxxiyyi
10i110i1
A.变量x，y正相关
B.若x1，则y1.9
经验回归直线至少经过中的一个点
C.y2x0.1xi,yii1,2,,10
1010
22
D.yi2xi0.1yimxin
i1i1
11.已知函数fxsin3xsin2xx0,2，则（）
2
A.f0B.fx恰有5个零点
5
C.fx必有极值点D.fx在,上单调递减
63
x2
12.已知椭圆y21的左项点为A，上、下顶点分别为C，D，动点Px,y，Qx,y在椭圆上（点
41122
P在第一象限，点Q在第四象限），O是坐标原点，若OPQ的面积为1，则（）
y
A.1为定值B.CPAQ
x2
C.OCP与OAQ的面积相等D.OCP与ODQ的面积和为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
4
13.x21x2的展开式中x2的系数为___________（用数字作答）.
14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB
（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年全球产生的数
据量为，年增长到若从年起，全球产生的数据量与年份的关系为t2008，
0.500ZB20101.125ZB.2008PtPP0a
其中，均是正的常数，则年全球产生的数据量是年的倍
P0a20232022___________.
过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥，与三棱台
15.PABCPHABCA1B1C1PA1B1C1
5
ABCABC的表面积之比为$，则直线PA与底面ABC所成角的正切值为___________.
11116
已知等比数列满足且2，则的取值范围是
16.anan0a1a2a32a2a2a3a41a1___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsinA3a2c2b2.
（1）求B的大小；
1
（2）若cosA，b2，求c.
3
18.（12分）
已知等差数列满足，且，，成等比数列
ana6a74a1a4a5.
（）求的通项公式；
1an
（）记为数列前项的乘积，若，求的最大值
2Tnann．．a10Tn.
19.（12分）
如图，ABC为正三角形，AE平面ABC，CD平面ABC，ACCD，AE2CD，点F，P分别
为AB，BD的中点，点Q在线段BE上，且BE4BQ.
（1）证明：直线CP与直线FQ相交；
（2）求平面CPF与平面BDE夹角的余弦值.
20.（12分）
已知函数fxax2exlnx.
（1）当ae时，求曲线yfx在x1处的切线方程；
5
（2）若x0，都有fxlnx，求a的取值范围.
2
21.（12分）
机器人甲、乙分别在A，B两个不透明的箱子中取球，甲先从A箱子中取2个或3个小球放入B箱子，然后乙
3
再从B箱子中取2个或3个小球放回A箱子，这样称为一个回合.已知甲从A箱子中取2个小球的概率为，
4
121
取3个小球的概率为，乙从B箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为.现A，B两个箱子各
433
有除颜色外其它都相同的6个小球，其中A箱子中有3个红球，3个白球；B箱子中有2个红球，4个白球.
（1）求第一个回合甲从A箱子取出的球中有2个红球的概率；
（2）求第一个回合后A箱子和B箱子中小球个数相同的概率；
（3）两个回合后，用X表示A箱子中小球个数，用Y表示B箱子中小球个数，求XY的分布列及数学期望.
22.（12分）
已知双曲线x2y21，过点M1,1的直线l与该双曲线的左、右两支分别交于点A，B.
1
（1）当直线l的斜率为时，求AB；
2
（2）是否存在定点Pt,t2t1，使得MPAMPB?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理
由.