高考数学专题4 平面向量压轴小题（解析版）

专题4平面向量压轴小题一、单选题1．（2021重庆九龙坡高三期中）已知，，，，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题设易知四边形为矩形，构建以为原点直角坐标系，将问题转化为平面上满足的情况下，结合两点距离公式求两点距离的范围.【详解】由题设，四边形为矩形，构建以为原点的直角坐标系，如下图，若，则，设，，且，又，，即.故选：B【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，将平面向量的模长问题转化为平面上两点的距离问题，应用解析法求范围.2．（2021浙江丽水高三期中）已知平面向量，，，，若，，则（）A．的最小值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最大值是【答案】A【分析】令，可得，且，设，，，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.【详解】令，则，故，且，假设，，，所以根据已知条件有，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故选：A.3．（2021安徽淮南第一中学高三月考（理））已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（）A．B．C．2D．【答案】C【分析】作出图形，结合三点共线性质可得，，同时设，联立解出，进而确定关系，同时满足，进而求出关系，即可求解两三角形面积之比.【详解】如图，延长交于，则，因为，，三点共线，所以，即，所以，则，故且，又，故，所以，，所以，所以．故答案为：C4．（2021浙江模拟预测）在正三棱柱中，，点满足，则（）A．存在点使得B．存在点使得C．存在点使得D．存在点使得【答案】A【分析】通过题干条件可得：P点一定在线段上运动，即一定在平面上，所以找到选项中的目标线段的特点，只有A选项中A1C中含有的A1点能够使得A1D（D为B1C1的中点）垂直平面BCC1B1.【详解】因为，由平面向量基本定理可得：P点一定在线段上，所以取的中点D，连接，过B作交CD于点H，交于点P，因为，，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，其余均不可能．故选：A5．（2021广东肇庆模拟预测）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.【详解】连接，，三点共线，可设，则，；三点共线，可设，则，；，解得：，，即.故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.6．（2021云南师大附中高三月考（文））已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】将变形为，从而可得，设，由向量减法及数量积可知的终点在以为圆心，以为半径的圆周上，结合圆的性质可得答案.【详解】由得，．不妨设，则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上．因为与是单位向量，所以的最大值是与圆心距离加，即，最小值是与圆心距离减，即，故和为.故选：A．7．（2021云南峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））已知是矩形，且满足.其所在平面内点满足：，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，根据题意得到点M,N的轨迹方程，然后作出图形，进而结合数量积的定义和坐标运算得到答案.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则设，由，所以，化简得：，记为圆，设，由，所以，化简得：，记为圆,即为，两圆圆心距为：，半径和为：，所以，则两圆相离，如图所示，对圆，令y=0，得：，令圆，令y=0，得：，所以，，又，结合平面向量数量积的定义可知，的最小值为，的最大值为.故选：B.8．（2021全国高三专题练习）已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A．3B．C．2D．【答案】A【分析】先利用圆的方程和弦长判定为等边三角形，设出符合条件的一条直线，再利用平面向量共线得到点的坐标，再利用数量积的坐标运算进行求解.【详解】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，所以不妨设动直线为，根据题意可得，，是线段的中点，，设，，，，解得，，.故选：A．9．（2021湖南高三月考）在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设AD交BC于E，然后根据条件得到点E的位置，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比.【详解】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：，，.设，则，.又，，.故选：B.10．（2021重庆一中高三月考）设G为ABC的重心，若，则的取值范围为（）A．（80，160）B．（80，40）C．（40，80）D．（160，80）【答案】A【分析】由题设知、为的中点且，结合已知求出，利用向量数量积的运算律有求得，再由目标式中向量线性关系的几何意义及三角形三边关系，即可求范围.【详解】，，连接并延长交于，则为的中点，且，在中，，则，，，，，即，.故选：A【点睛】关键点点睛：连接并延长交于，根据重心的性质可知为的中点且，再由向量数量积的运算律求，结合相关向量线性关系的几何意义及三角形三边关系求目标式范围.11．（2021山东烟台二中三模）在等腰梯形中，，，是腰上的动点，则的最小值为（）A．B．3C．D．【答案】C【分析】过D作，垂足为E，过C作，垂足为F，以E为原点，分别以EB，ED所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，运用坐标表示出，再由向量的数量积运算求得，根据二次函数的性质可得最值得选项.【详解】过D作，垂足为E，过C作，垂足为F，以E为原点，分别以EB，ED所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：由已知可得：，，所以，，，因为P是腰AD上的点，所以设点P的横坐标为，因为直线AD的方程为，即，，所以，，，所以，当，存在最小值为，故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查求向量的模的最值，关键在于建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算求得向量的模，再利用函数的性质求得最值.12．（2021辽宁葫芦岛二模）在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A．3B．C．1D．【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.【详解】由题设，如下图示：，又，，，由三点共线，有，，当且仅当时等号成立.故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值.13．（2021浙江省宁海中学模拟预测）已知平面非零向量满足，则对于任意的使得（）A．恒有解B．恒有解C．恒无解D．恒无解【答案】B【分析】设，其中，记则有，即，然后分，，三种情况讨论，再根据直线是过点的直线与圆锥曲线的两个不同的交点和点在以为直径的圆上，分析圆与相应准线的位置关系，即可求解.【详解】解：设，其中，记则有，即若，则点的轨迹是拋物线，方程为E：，点恰为抛物线的焦点，则是过点的直线与抛物线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时.若，则点的轨迹是椭圆，方程为E：，点为椭圆E的左焦点，轴是椭圆的左准线，是过点的直线与椭圆的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相离，故若，则点的轨迹是双曲线，方程为E：，点为双曲线的右焦点，轴是双曲线的右准线，是过点的直线与双曲线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相交，故可正，可负，可零.所以，当时，恒有，故A错误；当时，，与均有解，故错误；故选：B.【点睛】关键点点睛：利用坐标法，设，其中，记则有，即，然后分，，三种情况讨论，将原问题转化为判断圆与准线的位置关系，从而解决问题.14．（2021全国全国模拟预测）设，，且，若向量满足，则的最大值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】设，，，，根据条件，借助平面图形得到点的轨迹，即可得到结果．【详解】如图，设，，，，连接，，则由可知四边形为矩形，则.由，可得，连接，则，所以点在以点为圆心，4为半径的圆上，所以的最大值为.故选：B.【点睛】对于向量模的最值或者范围的问题，我们往往采取数形结合的方式进行解决.首先我们要根据题目的条件将几个向量的起点平移到同一点，作出图形，最后根据所求向量的条件得出终点的轨迹.15．（2021上海市建平中学高三开学考试）已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】过点O作，，利用圆的性质知为,中点，设，，利用向量的数量积结合已知条件得到，求出，利用基本不等式求最值即可.【详解】如图，过点O作，，，和是等腰三角形，为中点，为中点，设，，则，，即，即联立解得：，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查圆的性质，平面向量的数量积以及基本不等式求最值，利用圆的性质结合平面向量的数量积得到关于x，y的方程，进而求出是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于难题.16．（2021浙江浙江模拟预测）已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二设，，，易得，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，然后又，，三点共线且在，中间时，取得最小值求解.【详解】解法一由题可得，，所以要求的最小值，需求的最小值.因为，与的夹角为，所以的最小值为，所以，即的最小值为，解法二如图，设，，，则，.由，知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，结合图形可知，当，，三点共线且在，中间时，取得最小值.由正弦定理得：，所以，故的最小值为.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是根据与的夹角为，由的最小值为而得解.17．（2021山东模拟预测）在中，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，由得到的轨迹，最后结合图形及向量的数量积运算可得结果.【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，.设点，由，可得，化简得，故点的轨迹为圆（不包含与轴的交点），记圆与轴的交点分别为，（在的左侧）则，，所以，.故选:C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是建立坐标后根据几何关系建立等式然后得到点的轨迹方程，二是求最值.18．（2021宁夏中卫模拟预测（理））已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设，，．由得，设，，得可得答案．【详解】不妨设，，，且，因为，所以，设，，，，所以，由于，故．故选：D．【点睛】本题考查了用向量的坐标运算求取值范围的问题，解题的关键点是设，，转化为坐标运算，考查了学生分析问题、解决问题的能力.19．（2021全国高三专题练习（理））半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设与交于点，由得四边形是菱形，是对角线中点，用和其他向量表示并计算数量积后可得，由点与的位置关系可得的取值范围，得结论．【详解】如图，与交于点，由得：，所以四边形是菱形，且，则，，由图知，，而，，同理，，而，，，点是圆内一点，则，，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的运算，解题关键是是利用线段的中点的性质，把用和其他向量相加，然后求数量积可化化简．二、多选题20．（2021全国高三专题练习）如图，正方形，，为以为圆心、为半径的四分之一圆弧上的任意一点，设向量，的最小值为，则可取（）A．B．C．3D．【答案】BD【分析】设，根据向量运算得，进而得，，，求函数导数，得函数最小值，解方程求解即可.【详解】设，则，由，可得又，所以，解得，所以，令，则，，，记，此时，易得，此时由，可得，，所以，解得或.故选：BD.【点睛】关键点点睛：在处理的最小值时，利用函数求导是本题的关键点，也是难点，借助辅助角公式得函数的极值点即为最值点，从而得解，本题的运算量较大，属于难题.21．（2021湖北黄石高三开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（）A．向量与向量所成角为B．C．D．若，则数列的前n项和为【答案】ACD【分析】对于A，用与表示，结合给定向量等式计算判断；对于B，求出的值即可判断；对于C，转化为点到直线距离最大值并计算判断；对于D，求出数列的通项，代入并利用裂项相消法计算判断作答.【详解】依题意，，而点是弦的中点，则，，而，于是得，，即，A正确；显然是顶角的等腰三角形，则，B不正确；依题意，点到直线的距离之和等于点到直线距离的2倍，由知，点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则点到直线距离的最大值是点O到直线的距离加上半径，而点O到直线距离，则点到直线距离的最大值是，因此，，C正确；由得，，则，因此，数列的前n项和，D正确.故选：ACD22．（2021广东深圳高三月考）在中，角所对的边分别为，，，为的外接圆，，给出下列四个结论正确的是（）A．若，则；B．若P在上，则的最大值为2；C．若P在上，则；D．若，则点P的轨迹所对应图形的面积为.【答案】ACD【分析】根据向量的线性运算以及向量的求模公式可判断A，根据向量的线性运算，结合点与圆的位置关系及基本不等式可判断BC，根据向量的线性运算，结合点的轨迹及三角形的面积公式可判断D.【详解】，，为的外接圆对于A：若，则,故A正确对于BC：由若P在上，则（当且仅当时取等号）故B错误，C正确；对于D：若，则点P的轨迹：当时,,此时点在线段;当时,,此时点在线段;当时，，构造平行四边形,此时点在线段上；当时，，构造平行四边形,此时点在线段上；当时，，此时点在菱形内部，综上点的轨迹为菱形组成的图形区域，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了向量的线性运算以及向量的求模公式，点与圆的位置关系，基本不等式，点的轨迹及三角形的面积公式，熟悉以上内容综合运用是解题的关键.23．（2021广东天河高三月考）对于，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（）A．B．C．向量与共线D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则【答案】BCD【分析】A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证.【详解】A：为外心，则，仅当时才有，错误；B：由，又，故，正确；C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；D：，又三点共线，则，故，正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误.24．（2021广东华侨中学高三月考）已知向量，，则下列命题正确的是（）A．存在，使得B．当时，与垂直C．对任意，都有D．当时，在方向上的投影为【答案】BD【分析】A选项考察向量平行坐标之间的关系；B选项考察向量垂直时坐标之间的关系；C选项分别求出，可以得到是否存在，使得；D选项中根据数量积求出角的三角函数值，可以求出在方向上的投影【详解】选项A中，若，则，，所以不存在这样的，所以A错误选项B中，若，则，，得：，所以选项B正确选项C中，，，当时，，所以C错误选项D中，，两边同时平方得：，化简得：，同除得：，，所以，即，解得：，设与的夹角为，所以在方向上的投影，D选项正确故选：BD.25．（2021全国高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（）A．B．C．D．【答案】ABCD【分析】变形后表示为，再由奔驰定理得出向量的关系，利用平面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明是的重心，由平面几何知识判断B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出的面积，利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D．【详解】因为，所以，即，所以，又由奔驰定理得，因为不共线，所以，所以，A正确；延长分别与对边交于点，如图，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四边形中，，所以，B正确；由得，所以，由选项B得，，，所以，C正确；由上讨论知，，，所以，又由选项C：，得，由奔驰定理：得，D正确．故选：ABCD．【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查学生的创新能力，理解新知识、应用新知识的能力．解题关键一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量关系，二是利用数量积的运算得出是三角形的垂心，由此利用平面几何知识得出角的关系，再利用三角函数知识进行推导得出相应结论．26．（2021全国高三专题练习（理））设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则称，调和分割，．现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是（）A．点C可能是线段的中点B．点D不可能是线段的中点C．点C，D可能同时在线段上D．点C，D不可能同时在线段的延长线上【答案】BD【分析】由题意设，，，，结合已知条件得，根据选项考查的解，用排除法选择答案即可.【详解】由已知不妨设，，，，由C，D调和分割A，B可知，，，代入得()对于AB，若C是线段AB的中点，则，代入()得，d不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理D不可能是线段的中点，故A错误，B正确；对于C，若C，D同时在线段AB上，则，代入()得，，此时C和D点重合，与已知矛盾，故C错误；对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，，则，这与矛盾，所以C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确；故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的应用问题，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查学生的逻辑推理与特殊与一般思想，属于较难题.27．（2021山东济宁高三月考）如图，已知点是上三个不同定点，Q为弦的中点，是劣弧上异于的一系列动点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（）A．数列是等比数列B．C．D．【答案】AB【分析】由平面向量线性运算和向量共线可得到，由此可确定递推关系式，得到，进而得数列是等比数列可判断A选项；利用等比数列通项公式求得，可确定BC正误；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得，知D错误.【详解】解：因为Q为弦的中点，所以，所以，因为三点共线，所以，又因为，所以，所以，消去得，所以，即，所以数列是等比数列，公比为，首项为，故A选项正确；所以，故，所以，故B选项正确，C选项错误；此时数列的前n项和，故D选项错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解.28．（2021全国高三专题练习）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（）A．B．C．过点的直线交于，若，，则D．与共线【答案】ACD【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.【详解】如图，设AB中点为M,则,,故A正确；等价于等价于,即，对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；设的中点为,则，E,F,G三点共线，，即,故C正确；,与垂直,又,与共线，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.29．（2021全国高三专题练习）如图，直角的斜边BC长为2，，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方则（）A．有最大值也有最小值B．有最大值无最小值C．有最小值无最大值D．无最大值也无最小值【答案】BD【分析】设，则，所以，，.由化简为根据的范围可判断A；由化简为根据的范围可判断B；由化简为根据的范围可判断C；由化简为根据的范围可判断D.【详解】由题意，，所以，设，则的补角即与x轴正半轴的夹角，所以，，，所以，，由于，所以，当得时，取最大值为1，无最小值，有最大值为，无最小值，故有最大值无最小值，即A错误；所以，由于，所以，当得时，取最大值为1，无最小值，的最大值为，无最小值，故有最大值无最小值，故B正确；，由于，所以，当得时，取最大值1，无最小值，此时有最大值，无最小值，即有最大值无最小值，故C错误；，由于，所以，所以，既无最大值也无最小值，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.三、双空题30．（2021天津二中高三期中）已知边长为的正ABC，内切圆的圆心为O，过B点的直线l与圆相交于M，N两点，（1）若圆心O到直线l的距离为1，则_____________；（2）若，则的取值范围为_____________．【答案】【分析】（1）利用圆的弦长公式即求；（2）以B为原点建立平面直角坐标系，可得内切圆方程为，可设，由条件可得，再利用辅助角公式及三角函数的性质即得.【详解】（1）边长为的正ABC，内切圆的圆心为O，由等边三角形的性质可知，内切圆的半径为2，又圆心O到直线l的距离为1，.（2）如图以B为原点建立平面直角坐标系，则，内切圆方程为，由题知点M在圆上，可设，，，，解得，，，.故答案为：；.31．（2021黑龙江哈尔滨三中高三期中（理））已知点为平面内一点，，，则的取值范围是___________；又的面积为1，则的最小值是___________.【答案】【分析】通过平方，结合向量法来求得的取值范围.通过三角形的面积求得，然后结合余弦定理和判别式求得的最小值.【详解】依题意，且，所以，所以.设，，由于，所以，所以的取值范围是；因为的面积为1，则，由余弦定理得.令，则，两边平方并化简得，令，则，该方程有大于等于1的根，所以，即，所以.所以的最小值是.故答案为：；32．（2021福建师大附中高三月考）设为的外心，，，分别为，，的对边.（1）若，，则___________.（2）若，则的最小值为___________.【答案】10【分析】利用，，得，，，可得；由得，，由余弦定理得和基本不等式可得答案.【详解】，，所以，，同理可得，所以；由得，所以，，由余弦定理得，当且仅当等号成立，所以的最小值为.故答案为：10；.33．（2021全国高三专题练习（文））已知是空间单位向量，，若空间向量满足：，则_______，对于任意，向量与向量所成角的最小值为_______．【答案】【分析】由题意得：，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；设向量与向量所成角为，根据求夹角公式，令,计算可得，令，（），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得的最大值，即可得答案.【详解】由题意得：=.因为设向量与向量所成角为，所以，当时，夹角才可能最小，令（），则，令，（），则，所以当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，所以，即.所以向量与向量所成角的最小值为.故答案为：；.【点睛】解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断的单调性，求得最值，当最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.34．（2021广东佛山二模）在中，点M，N是线段上的两点，，，则_______________，的取值范围是______________.【答案】；.【分析】由题意，先算出的值，再根据，即可得的值；然后由向量数量积的定义及，可得，对点利用极端分析，算出，的值，即可得到的取值范围．【详解】解：由题意，，，，又，，，，由题意，，则为外接圆的圆心，则.因为点在线段上，所以假设点与点重合，则，与矛盾，所以假设点与点重合，则，，，，，，即，，假设点与点重合，则，，，此时，，综上，，，，，，即，故答案为：；．【点睛】关键点点睛：根据点在线段上，所以分点与三个特殊点、、重合进行极端分析，从而求解.35．（2021天津二模）已知平面四边形，，，，点在线段上，，且，，则实数为___________，则的取值范围为___________.【答案】【分析】计算得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，设，平移直线，数形结合可得出的取值范围，即为所求.【详解】因为，则，，，所以，，解得.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、，设点，则，，，，由已知可得，整理可得，所以，点的轨迹为圆在第一象限的部分，令，直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与直线垂直，平移直线，当直线经过点时，，当直线经过点时，，当点D在直线AC上时，点，此时由图可知，且.故答案为：；.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．36．（2021江苏省前黄高级中学模拟预测）在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F．若，则___________；___________．【答案】【分析】作辅助线，利用平行线的性质，确定出F点是AD的几等分点，利用平面向量的线性运算即可用表示，求得x,y进而得解；再用来表示，用平面向量的数量积即可，即可得解.【详解】如图，过E作交于M，由，得，，又D是的中点，得，，故，即，所以所以，故易知由已知得所以故答案为：，【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积的运算，解题的关键是利用平面向量的线性运算用表示，，考查学生的分析与转化能力，及计算能力，属于中档题.37．（2021广东高州二模）已知区域表示不在直线()上的点构成的集合，则区域的面积为___________，若在区域内任取一点，则的取值范围为___________.【答案】【分析】将直线方程转化为：，由已知得该方程无根，分类讨论当时，，整理得点在以为圆心，1为半径的圆的内部，求得区域的面积，再利用向量数量积求得；当时，求得，即可得到答案.【详解】将直线方程转化关于m的方程为：.区域表示不在直线()上的点构成的集合，方程无根.当时，，整理得，即在以为圆心，1为半径的圆的内部，则区域的面积为.令，则，，，设与夹角为，则，，，，；当时，直线方程为，令，解得，当时，必有取值，则当时，只有不在直线上.此时.综上所述，的取值范围为.故答案为：，【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程，圆的方程，平面向量的数量积的知识，将直线方程转化为：，由已知得该方程无根是解题的关键，再分类讨论和两种情况，即可得解，考查学生的逻辑思维能力与转化化归能力，属于难题.38．（2021全国高三专题练习（理））在中，，，，则______；若，，，则的最大值为______．【答案】【分析】利用向量的数量的的定义及向量的投影，即可求出；将和分别用和表示代入，利用基本不等式求解即可.【详解】如图，作，垂足为，因为，所以，所以，即，又，，所以，即,所以；因为，，所以,,所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量.四、填空题39．（2021浙江模拟预测）已知，则的最大值为__________．【答案】【分析】利用向量的减法法则，把，，转化为，，，进行求解.【详解】设，则设，不妨设，，，，，即为的重心．则，点位于圆上或圆内，故当在射线与圆周交点时，最大，即最大时．由得，．当且仅当时，取到最大值．故答案为：．【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．40．（2021浙江模拟预测）在等腰直角三角形中，，点在三角形内，满足，则______.【答案】【分析】延长、、，与对边分别交于点、、，利用条件可得，，进而可得，延长至点，使得，利用两角和的正切公式可得，进而得，即求.【详解】如图，延长、、，与对边分别交于点、、.，，即，，同理，又在等腰直角三角形中，，延长至点，使得.则.记，.则，四点共圆，，.故答案为：41．（2021浙江乐清市知临中学高三月考）已知，是以为圆心，为半径的圆周上的任意两点，且满足，设平面向量与的夹角为()，则平面向量在方向上的投影的取值范围是_____.【答案】【分析】作出示意图，首先利用BABC将问题转化为求在上的投影，先考虑为钝角（或直角）的情况，由投影概念可知即求，然后通过余弦定理求出AB，进而求出和，最后通过函数求值域的角度，接下来考虑为锐角（或直角）的情况，最后得到答案.【详解】如图，由BABC知A在BC上的投影点为B，所以在上的投影即为在上的投影，即为.在中，由余弦定理知，所以，所以，令，则，，设，，则函数在上单调递减，于是在上单调递增.时，时，所以，同理，当C位于C1处时，投影为.所以在上的投影的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题非常复杂，用的方法较多，注意两个问题：如果没有思路，那么就按照定义和定理方向走，需要什么就求出什么；“”这一步接下来的处理方式，“设”，分式型函数的换元法一般情况下换掉次数较低的，自己注意归纳总结，接下来用导数或者对勾函数处理即可.42．（2021浙江高三开学考试）已知平面向量，，满足，，则的取值范围为__________．【答案】【分析】利用平面向量的几何含义，作出，，，若，求、且，进而分析最大或最小时、的位置关系，结合向量数量积的几何意义及三角恒等变换、二次函数的性质求的取值范围.【详解】如下图，，，则，，若，则，，若，由，要使最大，则、同向共线，如下图示，此时，，而，当时，最大值为.要使最小，则、反向共线且，如下图示，此时，而，当时，最小值为.综上，取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：作几何图形，并确定平面向量所对应线段，结合向量数量积的几何含义，分析最大或最小时、的位置关系，进而得到关于的函数，并确定最值，即可得范围.43．（2021全国高三专题练习）已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后求出最值.【详解】，，而，，，，，如图所示，若，，，，则，，在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，问题转化为求在圆上哪一点时，使最小，又，当且仅当，，三点共线且时，最小为.【点睛】平面向量中的最值问题我们通常采用数形结合的方式，把向量模的最值问题转化为距离的最值问题.44．（2021浙江海宁模拟预测）已知平面内不同的三点O，A，B满足，若时，的最小值为，则___________.【答案】【分析】由题设，将平面向量转化为平面几何图形，B在以A为圆心5为半径的圆上，利用向量加减、数乘的几何意义分别确定D、E使、，进而可知表示，若是关于的对称点，可知共线时最小，中应用余弦定理求，即可求.【详解】由题设，如下图示，若，，则，，，即，，即，若是关于的对称点，，即，如下图示，当且仅当共线时，即最小，，即，，此时，中，，而且为锐角，，而.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据平面向量加减、数乘的几何意义，将题设条件转化为平面几何中的点线距离最短问题.45．（2021浙江高三期末）已知平面向量，，，，满足，，，则的最大值为______.【答案】【分析】先将所求向量式转化变形，参变向量分离，再由变形向量式的几何意义判断最值状态，最后坐标运算求解最值.【详解】设，则设，，不妨设，，，，，即为的重心.则，点位于圆上或圆内，故当在射线与圆周交点时，最大，即最大时.由得，.当且仅当时，取到最大值.故答案为：.【点睛】向量式的最值问题求解，要重视三个方面的分析：一是其本质上与函数的最值求解一致，变形时要搞清参变向量，从而把握变形方向；二是要重视向量本身数形兼具的特点，利用几何意义求解最值；三是坐标应用，向量坐标化将问题转化为函数最值问题求解.46．（2021上海浦东新三模）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.【详解】由题意，，令，，故有共线，，故当且仅当为最小时，最小，有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.47．（2021辽宁实验中学高三期中）在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为___________.【答案】【分析】通过向量的减法，把，转化为与，进行整理后再平方处理即可得解.【详解】，整理得：设锐角外接圆的半径为，所以，则上式两边平方得：，其中，代入式，得：，整理得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立即，解得：或当时，此时，，此时P点在ABC外部，ABC为钝角三角形，与题干矛盾，所以舍去，成立故答案为：48．（2021上海市金山中学高三月考）设定义域为的函数的图象的为，图象的两个端点分别为、，点为坐标原点，点是上任意一点，向量，，且满足，又设向量，现定义“函数在上“可在标准下线性近似”是指恒成立，其中为常数．给出下列结论：、、三点共线；直线的方向向量可以为；函数在上“可在标准1下线性近似”；“函数在上“可在标准下线性近似”，则．其中所有正确结论的序号为___．【答案】【分析】根据题意得到得到正确，计算得到得到轴，正确，取，计算得到，错误，，根据均值不等式得到答案.【详解】，即，即，故、、三点共线，正确；，，，故，，故，即轴，即直线的方向向量可以为，正确；易知，，取，则，故，，故，即，错误；函数在上，易知，，故直线方程为：.，当且仅当，即时等号成立，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查了向量共线问题，方向向量，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，其中把向量模长转化为点的纵坐标相减是解题的关键.49．（2021甘肃省民乐县第一中学高三月考（理））已知中，，，且的最小值为，则__________.【答案】3【分析】由题可知，向量与均为单位向量且互相垂直，再利用数形结合进行求解.【详解】记，，则表示与同方向的单位向量.又，则B、D、E三点共线.当与垂直时，有最小值，所以.所以.故答案为：3.【点睛】本题解题的难点在于的几何意义，表示方向上的单位向量，再利用三点共线作出分析求解.50．（2021全国高三专题练习）已知平面上两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为_______．【答案】【分析】利用解析方法，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程，分和两种情况讨论，当时，利用两圆的位置关系得到关于的不等式，进而求解得到的取值范围.【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则．设，且动点P满足，即，则，当时，满足题意；当时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，即圆与圆相离或外切内切或内含，所以或，解得或（舍去），所以负数的最大值为．故答案为：.51．（2021浙江省富阳中学高三开学考试）在平面内，若有，，则的最大值为________．【答案】【分析】由条件可以求得，从而可作，并连接，取的中点，连接，则有，根据条件可以得到，可作，并连接，，从而可以得到，即点在以为直径的圆上，从而得出当在上的投影最大时，最大．通过计算，即得出在上的投影最大值，从而得出的最大值.【详解】解：根据条件，；；，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；由得，；；作，连接，，则；；点在以为直径的圆上；当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影为，所以,故答案为：52．（2021重庆西南大学附中高三开学考试）已知ABC外接圆的圆心为O，半径为2．设点O到边BC，CA，AB的距离分别为，，．若，则___________．【答案】4【分析】由题设作图：为ABC外接圆的圆心，，，，用表示、、、、、，再由得到关于的线性表达式，即可求值.【详解】若为ABC外接圆的圆心，，，，即，，，如下图示，，，，又，，，==,又，，.故答案为：453．（2021浙江高三开学考试）已知向量，满足，，则的最大值为___________.【答案】5【分析】利用换元法令，再将模的问题转化为三角函数问题，接着利用换元法和导数求得函数的最值.【详解】令，，，，令，设，则，，令，若函数存在极值点，则是函数的唯一极值点，显然，函数在取得最值，，故答案为：5.54．（2021浙江高三开学考试）已知平面向量，，满足，，且，则当取到最小值时，___________.【答案】【分析】根据向量的运算性质以及向量的数量积运算，对两边平方结合条件可得，从而求得，若要取到最小值时，则，从而求得各值，即可得解.【详解】由，得：，进一步得到：，又，故，，当且仅当，，，解得：，，；或，，时取等号，当，，时，，.当，，时，，.综上.故答案为：.55．（2021浙江省普陀中学高三开学考试）已知平面向量、、满足，，，则的取值范围为______．【答案】【分析】设，，，作，，，则，求出线段的中点的轨迹方程为，可得出，设点，由结合向量模的三角不等式可求得的取值范围.【详解】如图，设，，，作，，，则，则，，，令，即，，整理得，故点的轨迹方程为，，设点，圆的方程为，半径为，因为，且，，所以，，.即，即.故的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最值的求解，对于较为复杂的题型，可以考虑将向量特殊化、坐标化来处理，利用解析法结合平面几何的相关知识、向量模的三角不等式来求解.56．（2021浙江高三竞赛）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，则点集所表示的区域面积为______.【答案】【分析】利用平面向量的加法的几何意义，分，0，分别研究区域面积，然后求和即得.【详解】由已知得，，当时，由得，所以，设，由，可得，又，，，且，P所在的区域为三角形ABC及其内部，面积为；当时，由得，所以，设，由，可得，又，，，且，P所在的区域为如图所示的阴影部分（其中是关于原点的对称点），面积为；综上所述，P点所在的区域的面积为.故答案为：.57．（2021全国高三专题练习（理））已知为单位向量，向量满足，，若，则的取值范围是_______．【答案】【分析】根据向量的三角不等式确定出的值以及与的方向之间的关系，然后作出向量的图示，根据向量的三角不等式求解出的最小值，再结合余弦定理以及基本不等式求解出的最大值，由此可求的取值范围.【详解】因为，且，，所以，且与反向，设对应向量，对应向量为，所以对应向量为，由与反向可知：在线段中间某点处，如下图所示：因为，所以，所以，所以，取等号时同向，即在线段上，当不在线段上时，因为，又因为，取等号时，即为中点，所以，所以，所以，即，综上可知：.故答案为：.【点睛】结论点睛：向量的三角不等式如下：（1）；当且仅当反向时，左边取等号，当且仅当同向时，右边取等号；（2）；当且仅当同向时，左边取等号，当且仅当反向时，右边取等号.58．（2021黑龙江大庆中学模拟预测（理））已知圆，点，若上存在两点满足，则实数的取值范围___________【答案】【分析】令，根据得，由在圆上代入坐标，整理可将问题转化为两个圆有公共点，则两圆的圆心距离在内，进而求的范围.【详解】由题意，可得如下示意图，令，由知：，又在上，，整理得，即两圆有公共点，两圆的圆心距离为，半径分别为、，故当时符合题意，，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：设，利用向量共线的坐标表示求B坐标，将点代入圆的方程将问题转化为两圆有公共点，求参数范围.59．（2021浙江东阳三模）如图，在ABC中，，，，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若MNG是边长为1的等边三角形，则___________.【答案】【分析】假设，首先根据向量共线求得，同理得，，最后由于，,从而计算即可.【详解】解：设，而，所以，，因为，所以，得，所以.同理，所以.，，,所以.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．