陕西省安康市2023-2024学年高三上学期第一次质量联考数学（理科）试题+答案

2023~2024学年度安康市高三年级第一次质量联考数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则（）A.2B.C.1D.02.若复数，则实数（）A.2B.2C.-2D.13.设满足约束条件则的最小值为（）A.-12B.3C.-10D.04.已知，则（）A.B.C.D.5.某地居民对某项服务满意度评分的频率分布直方图如图所示，若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则估计该地居民对这项服务满意度评分的平均值为（）A.67.5B.68C.67D.66.56.已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，的最大值为6，且，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.7.在中，角的对边分别是，已知，则（）A.11B.6C.5D.98.函数的最小正周期和最小值分别是（）A.和-2B.和C.和D.和-29.函数的极大值点为（）A.-2B.C.0D.-110.已知是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则不等式的解集为（）A.B.C.D.11.过抛物线的焦点作直线与抛物线分别交于点和点，若直线与互相垂直，则的最小值为（）A.8B.16C.24D.3212.已知圆锥的底面半径为4，母线长为9，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（）A.B.C.D.第II卷二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一批产品的次品率为0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次.表示抽到的次品件数，则__________.14.__________.15.《九章算术商功》：“斜解立方（正方体），得两堑堵.”如图，在堑堵中，则异面直线与所成的角为__________.16.已知向量，若，则__________.三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求的前项和.18.（12分）如图，在四棱锥中，平面为矩形，分别是的中点.（1）证明：平面.（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.19.（12分）某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行抽奖，游戏规则如下：甲盒中装有2个红球和3个白球，乙盒中装有3个红球和2个白球，先从甲盒中一次性取两个球，若两球同色奖励100元购物券，不同色没有奖励，并将取出的两个球（不管是否同色）放入乙盒中；再从乙盒中一次性取出两个球，若两球同色再奖励100元购物券，不同色没有奖励，并将取出的两个球（不管是否同色）放入甲盒；若前两次都没有获得奖励可再获得一次抽奖机会，从甲乙两盒中各取一个球，若两球同色奖励100元购物券，不同色没有奖励，抽奖结束.已知顾客获得了抽奖机会.（1）求顾客获得200元购物券的概率；（2）试判断顾客获得多少元购物券的概率最大.20.（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.21.（12分）设双曲线的左右焦点分别为，且焦距为4，点在双曲线C上.（1）求双曲线的方程；（2）已知是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），为坐标原点，过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上一点到直线的距离的最大值.23.[选修：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积为6，求.2023~2024学年度安康市高三年级第一次质量联考数学试卷参考答案（理科）1.D因为，所以.当时，，此时，舍去；当时，，此时，符合题意.2.C因为，所以故.3.A作出可行域（图略），当直线经过点时，有最小值，最小值为-12.4.B因为，所以.5.A.6.C因为的最大值为，所以.因为，由椭圆定义得，即，所以.因为，所以，所以椭圆的标准方程为.7.A因为，且，所以，整理得，故.8.C因为，所以的最小正周期是，最小值为.9.D因为，所以在上单调递增，在上单调递减，故极大值点为-1.10.A因为为奇函数，且，所以.因为单调递增，所以不等式等价于，故.11.D设直线与的斜率分别为，则，联立方程组消去并整理得，设，则，，同理，于是得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32.12.B圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，如图，该圆锥的母线长，底面半径4，则高.记该内切球与母线切于点，则.在Rt中，，即，解得，故所求球的表面积为.注：也可用三角形的内切圆半径公式计算，在中，8，高，则，所以，故所求球的表面积为.13.0.99因为，所以.14.因为，所以.15.由题意知斩堵为半个正方体，连接，则.因为，所以平面，所以，所以异面直线与所成的角为.16.因为，所以可设.因为，所以.因为，所以，得，所以，故.17.解：（1）设的公比为，因为，所以，即，解得或.因为，所以，故.（2）由（1）知，所以.18.（1）证明：取的中点，连接.因为分别是的中点，所以.因为分别是的中点，且为矩形，所以.因为，所以平面平面.因为平面，所以平面.（2）解：由题意易知，两两垂直.如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.因为，所以，.设平面的法向量为，因为，所以令，得.取平面的一个法向量为，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.解：（1）记顾客获得200元购物券为事件，即前两次取的球都同色，所以顾客获得200元购物券的概率（2）顾客获得购物券的金额可能为0元，100元，200元.记顾客获得0元购物券为事件，即前两次取的球均不同色，第三次取的球仍不同色，，所以顾客获得100元购物券的概率为，所以顾客获得100元购物券的概率最大.20.解：（1）.当时，在上单调递减，在上单调递增.当时，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减.当时，恒成立，则在上单调递增.当时，令，得或，令，得，在和上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2），即，整理得因为，所以.令.因为，所以在上单调递减.因为，所以，所以.因为，所以.令，则.令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以所以，即实数的取值范围是.21.（1）解：因为焦距为4，所以.将点代入的方程中，得.因为，解得，所以双曲线的方程为.（2）证明：由（1）知，的横坐标为，设直线的方程为，则.联立方程组得.设，则.因为，所以直线的方程为.直线的方程为，联立方程组得，由两式相除，得，则，所以.因为，所以，故为线段的中点.22.解：（1）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的普通方程为.因为曲线的极坐标方程为，所以，即.因为所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）因为曲线的参数方程为（为参数），所以设，所以当时，.23.解：（1）若，则.当时，由，得，所以；当时，，得，所以；当时，由，得，所以.综上所述，不等式的解集为.（2）因为所以的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，所以的面积为.由，得或（舍去），故.