文科数学
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60分 .在每小题给出四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1 3i 2 i
1. 在复平面内， 对应的 点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 M x 2x 4 ， N x x2 x 30 0 ，则 M N （ ）
A. 5, B. 2, C. 2,6 D. 5,6
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
8
A. f x B. f x 5tan x
x
C. f x 2x3 3x D. f x x x
a15
4. 公比 q 1 的等比数列an 满足 a4a5 6 ， a2 a7 5，则 （ ）
a5
3 9 9
A. B. C. D. 3
2 2 4
5. 某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了 2020 年 4 月 18 日—27 日（共 10 天）他们在线学习
人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.
根据组合图判断，下列结论正确的是（ ）
A. 这 10 天学生在线学习人数的 增长比例在逐日增加
B. 前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差
C. 这 10 天学生在线学习人数在逐日增加
D. 前 5 天在线学习人数增长比例的极差大于后 5 天在线学习人数增长比例的极差
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6. 已知平面向量 a ， b 满足 a 4 ， b 2 ， a a b 20 ，则向量 a 与 b 的夹角为（ ）
2 5
A B. C. D.
. 6 3 3 6
7. 执行如图所示的程序框图，若输入 N = 5 ，则输出 S （ ）
3 4 5 6
A. B. C. D.
4 5 6 7
y2
8. 过双曲线 x2 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|
3
（ ）
4 3
A. B. 2 3 C. 6 D. 4 3
3
2
9. 已知实数 x, y 0,2，任取一点 x, y ，则该点满足 x 1 y2 1的概率是（ ）
3
A. B. C. 1 D.
8 4 8 8 4
10. 已知 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f (x) ，且不等式 f x f x 恒成立，则下列比较大
小错误的是（ ）
A. ef (1) f (2) B. f 0 ef 1 C. ef 2 f 1 D. e2 f 1 f 1
x2 y2
11. 设 F ，F 是椭圆 C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上，延长 PF
1 2 a2 b2 2
| PQ |
3 2
交椭圆 C 于点 Q，且|PF1| =|PQ|，若 PF1F2 的面积为 b ，则 =（ ）
3 | F1F2 |
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3 2 3 4 3
A. B. C. 3 D.
2 3 3
12. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f (x) 满 足 f (2 x) f (x) ， 当 x (0,1] 时 ， f (x) log2 x ． 若 函 数
F(x) f (x) sinx 在区间[1,m]上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. [1，1.5) B. [1.5，2) C. [2，2.5) D. [2.5，3)
二．填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 养殖户在某池塘随机捕捞了 100 条鲤鱼，做好标记后放回池塘，几天后又随机捕捞了 100 条鲤鱼，发现
有 4 条鲤鱼被标记，据此估计该池塘里鲤鱼大约有________条．
14. 直线 x m 2 y 1 0 与直线 mx 3y 1 0 平行，则 m 的值为_____．
15. 如图，某景区欲在两山顶 A 、 C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高 AB 3 km ，
CD 3 3 km ，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30 ，山顶 C 的仰角为 45 ， BED 150 ，则
两山顶 A 、 C 之间的距离为________．
2 2 2 2
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O ： x y 1 ，圆O1 ： (x 4) y 4 ，动点 P 在直线l ：
x 2 2y b 0 上（ b 0 ），过 P 分别作圆 O ，O1 的切线，切点分别为 A ， B ，若满足 PB 2PA 的点
P 有且只有一个，则实数 b 的值为______.
三．解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17. 经调查某市三个地区存在严重的 环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环
境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环
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保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取 40 名市民进行询问打分，将最
终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90] 分段，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若分数在区间[60,70) 的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一
步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．
18. 已知 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c 5 ， 2a 2c cos B b ．
（1）求角 C；
（2）若点 D 在 AB 边上，且满足 AD : BD 3: 2 ，当 ABC 的面积最大时，求 CD 的长．
na
19. 设a 是首项为 1 的等比数列，数列b 满足 b n ．已知 a ， 3a ， 9a 成等差数列．
n n n 3 1 2 3
（1）求an 和bn 的通项公式；
Sn
（2）记 S 和Tn 分别为a 和b 的前 n 项和．证明：T ．
n n n n 2
2 2
x y 1
20. 已知椭圆 C： 1(a b 0) 过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ，
a2 b2 2
（1）求 C 的方程；
（2）点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值.
2
21. 已知实数 a 0 ，函数 f x x ln a a ln x x e ， e 是自然对数的底数.
（1）当 a e 时，求函数 f x 的单调区间；
（2）求证： f x 存在极值点 x0 ，并求 x0 的最小值.
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.
22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M 3,1 ，倾斜角为 30 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4cos .
（1）求直线l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；
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MN
（2）设直线l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 N，求 的值.
MA MB
2
23. 已知函数 f x 2 x 1 x m x R ，不等式 f x 7 的解集为 ,4 ．
3
（1）求 m 的值；
2 2 2
（2）若三个实数 a ， b ， c ，满足 a b c m ．证明： a c a b 2c 2a b c 4m
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绵阳南山中学实验学校高 2024届 11 月月考
文科数学
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60分 .在每小题给出四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1 3i 2 i
1. 在复平面内， 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法及复数的几何意义求解即可.
【详解】 1 3i2 i 2 i 6i 3i2 5 5i ，
所以复数对应的点为 5,5 在第一象限.
故选：A．
2. 已知集合 M x 2x 4 ， N x x2 x 30 0 ，则 M N （ ）
A. 5, B. 2, C. 2,6 D. 5,6
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出集合 M , N ，再利用交集的定义求解作答.
【详解】解不等式 2x 4 ，得 x 2 ，即 M (2,) ，解不等式 x2 x 30 0 ，得 5 x 6 ，即
N [5,6] ，
所以 M N (2,6].
故选：C
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
8
A. f x B. f x 5tan x
x
C. f x 2x3 3x D. f x x x
【答案】C
【解析】
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【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项.
8
【详解】对于 A 选项，函数 f x 为奇函数，但该函数在定义域内不单调，A 选项不满足条件；
x
对于 B 选项，函数 f x 5tan x 为奇函数，但该函数在定义域内不单调，B 选项不满足条件；
对于 C 选项，函数 f x 2x3 3x 的定义域为 R ，
3
且 f x 2x 3x 2x3 3x f x ，所以，函数 f x 2x3 3x 为奇函数，
因为函数 y 2x3 、 y 3x 均为 R 上的增函数，故函数 f x 2x3 3x 在 R 上为增函数，C 选项满足条
件；
对于 D 选项，函数 f x x x 的定义域为0, ，该函数为非奇非偶函数，D 选项不满足条件.
故选：C.
a15
4. 公比 q 1 的等比数列an 满足 a4a5 6 ， a2 a7 5，则 （ ）
a5
3 9 9
A. B. C. D. 3
2 2 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式以及性质求得正确答案.
【详解】依题意， q 1 ，
a2 a7 5 a2 2
由已知 ，得 ，
a2a7 a4a5 6 a7 3
5 a 3 a 10 9
所以 q 7 ， 15 q ．
a2 2 a5 4
故选：C
5. 某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了 2020 年 4 月 18 日—27 日（共 10 天）他们在线学习
人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.
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根据组合图判断，下列结论正确的是（ ）
A. 这 10 天学生在线学习人数的增长比例在逐日增加
B. 前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差
C. 这 10 天学生在线学习人数在逐日增加
D. 前 5 天在线学习人数增长比例的极差大于后 5 天在线学习人数增长比例的极差
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图逐一判断可得选项．
【详解】对于 A，由折线图很明显，23-24 的增长比例在下降，故 A 错误；
对于 B，由柱状图可得前 5 天学习人数的变化幅度明显比后 5 天的小，故方差也小，故 B 错误；
对于 C，由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故 C 正确；
对于 D，前 5 天增长比例的极差小于后 5 天增长比例的极差，故 D 错误，
故选：C．
6. 已知平面向量 a ， b 满足 a 4 ， b 2 ， a a b 20 ，则向量 a 与 b 的夹角为（ ）
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积运算求得 a b ，再根据数量积定义求和夹角余弦，从而得夹角．
2
2
【详解】 a a b a a b 20 ，所以 a b 4 20 4 ，
a b 4 1 2
cos a,b ，而 a,b [0, ]，所以 a,b ．
a b 4 2 2 3
故选：C．
7. 执行如图所示的程序框图，若输入 N = 5 ，则输出 S （ ）
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3 4 5 6
A. B. C. D.
4 5 6 7
【答案】B
【解析】
【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可求出程序运行后输出的S 的值.
1 1
【详解】解：当 k 1时，满足进行循环的条件， S 0 ，
1 2 2
1 1 2
当 k 2 时，满足进行循环的条件， S ，
2 23 3
2 1 3
当 k 3时，满足进行循环的条件， S ，
3 3 4 4
3 1 4
当 k 4 时，满足进行循环的条件， S ，
4 45 5
当 k 5 时，不满足进行循环的条件，
4
故输出的 S .
5
故选：B.
y2
8. 过双曲线 x2 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|
3
（ ）
4 3
A. B. 2 3 C. 6 D. 4 3
3
【答案】D
【解析】
y2
【详解】试题分析：由双曲线 x2 1，可得渐近线方程为 y 3x ，且右焦点为 F(2,0) ，令 x 2 ，
3
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解得 y 2 3 ，所以| AB | 4 3 ，故选 D.
考点：双曲线的几何性质.
2
9. 已知实数 x, y 0,2，任取一点 x, y ，则该点满足 x 1 y2 1的概率是（ ）
3
A. B. C. 1 D.
8 4 8 8 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何概型确定好 x, y 0,2所示区域面积及 x 12 y2 1在区域内的面积，即可得结论.
【详解】 x, y 0,2所示区域面积为 22 4，
2
则圆 x 1 y2 1在区域内的部分为半圆，半圆外部分的面积为 4
2
4
故概率为 .
2 1
4 8
故选：C.
10. 已知 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f (x) ，且不等式 f x f x 恒成立，则下列比较大
小错误的是（ ）
A. ef (1) f (2) B. f 0 ef 1 C. ef 2 f 1 D. e2 f 1 f 1
【答案】C
【解析】
f x f x f x
【分析】由已知条件可得 0 ，所以构造函数 g x ，求导后可得 g x 0 ，从而
ex ex
可得 g（x）在 R 上单调递增，然后分析判断
f x f x
【详解】由已知 f x f x ，可得 0 ，
ex
f x f x f x
设 g x ，则 g x ，
ex ex
g x 0 ，因此 g（x）在 R 上单调递增，
所以 g 1 g 2, g 1 g 0, g 2 g 1 ， g 1 g 1 ，
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