江西省抚州市黎川县第二中学2023-2024学年高三上学期期中检测数学试题（解析版）

黎川二中23-24上期中检测高三数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上：2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知集合，，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：解不等式得集合A,求函数定义域得集合B，根据交集定义求解集合交集即可.详解：集合，，所以.故选B.点睛：本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题.2. 若a0，且，则等于（）A. 9+B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】根据指数的运算即可求解．【详解】，．故选：C.3. 已知向量，，若，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由模的坐标表示和向量垂直的坐标表示求得的关系后可得值．【详解】，，，，所以．故选：D．4. 已知函数在单调递减，在单调递增，则的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性可确定函数的对称轴，进而可求得的值及函数的周期.【详解】由题意结合余弦函数图像可得，，最小正周期，故选：D.5. 过圆上一点作圆O的切线l，则直线l的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据切线的性质，可求出直线的斜率，最后用点斜式可求出直线方程.【详解】由题意点为切点，所以，又，所以，因此直线l方程为．故选：D6. 如图，在菱形中，，线段、的中点分别为、．现将沿对角线翻折，当二面角的余弦值为时，异面直线与所成角的正弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过作，交于点，设二面角的大小为，设与的夹角为，则，由向量数量积的运算律得出，由题意可得出，利用数量积的定义可求出的值，即可求出的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出的值.【详解】如下图所示，过作，交于点，设与的夹角为，则，记二面角的大小为，，即，即，，所以，即，故选：A．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.7. 已知双曲线的右焦点为，，直线与轴交于点，点为双曲线上一动点，且点在以为直径的圆内，直线与以为直径的圆交于点，则的最大值为（ ）A. 48B. 49C. 50D. 42【答案】A【解析】【分析】先得到，在双曲线上，求出直线MF的方程和，进而得到以为直径的圆的圆心和半径，结合向量的运算法则得到，结合，得到的最大值.【详解】由双曲线方程知，右焦点，在双曲线上，因为直线MF的方程为，整理得，令，解得，所以，又，故的中点为，所以以为直径的圆的圆心为F，且，. 连接，因为在以为直径的圆上，所以，，，由于，所以，因为P为双曲线上一点，所以，且此时点P在圆内，所以.故选：A.【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据题中的条件，结合函数的定义域，对不等式进行变形，之后将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最大值，从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立，因为，所以不等式可化为：恒成立，令，，可求得当时，，当时，，所在上单调增，在上单调减，所以，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题，在解题的过程中，将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数，利用导数研究函数的最大值，再者就是利用题的条件，大于其最大值，可以到正无穷，只有A项满足条件，从而很容易求得结果.二、多选题（每题5分，共20分）9. 在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）A. 第5项的系数最大B. 所有项的系数和为C. 所有奇数项的二项式系数和为D. 所有偶数项的二项式系数和为【答案】BD【解析】【分析】比较二项式的展开式中第的系数与第项的系数，可判断A；利用二项式形式的性质，可判断BCD的正误.【详解】在二项式展开式中，第9项系数为，第5项系数为，因，所以错误.令，得所有项系数和为，正确.因为奇数项的二项式系数和等于偶数项二项式系数和，为，所以错误，D正确.故选：BD.10. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ）A. 若p，q为实数，则是等比数列B. 若数列的前项和为，则，，成等差数列C. 若数列的公比，则数列是递增数列D. 若数列的公差，则数列是递减数列【答案】BD【解析】【分析】由等差、等比数列及其前n项和性质直接判断可得.【详解】取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确.故选：BD.11. 如图所示，在长方体中，，，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（ ）A. 三棱锥的体积恒为定值B. 在棱上存在相应的点，使得平面C. 存在唯一的点，使得过的截面的周长取得最小值D. 为长方体表面上的动点，且满足，则点的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】由，点到平面的距离为，根据体积桥可知A正确；假设平面，若与重合，可知的平行线与平面相交，由此可知假设错误，知B错误；作出截面图形，可知截面为平行四边形，利用侧面展开图可知当三点共线时，截面周长取得最小值，知C正确；根据可知点的轨迹为以为球心，为半径的球面与长方体表面的交线，分别计算各段弧长即可知D正确.【详解】对于A，，点到平面的距离，，即三棱锥的体积恒为定值，A正确；对于B，若与重合，在棱上取一点，满足，假设平面，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又平面，假设错误，即不存在相应的点，使得平面，B错误；对于C，在棱上取点，满足，连接，，，，；同理可得：，四边形为平行四边形，四点共面，过的截面即为平行四边形，过的截面的周长为；将侧面和沿展开，可得侧面展开图如下图所示，则当三点共线时，取得最小值；存在唯一的点，使得过的截面的周长取得最小值，C正确；对于D，若，则点轨迹是以为球心，为半径的球面，则点轨迹由构成，如下图所示，，，，，；又，，点轨迹长度为，D正确.故选：ACD.12. 数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（ ）A. 若，则数列是周期为6的数列B. 对任意的非零常数，数列不可能为等差数列C. 若，则数列是等比数列D. 若正数满足，则数列为递增数列【答案】AD【解析】【分析】对于A，由题意可得，进而可得，即可判断；对于B，举反例，此时为等差数列，即可判断；对于C，由题意可得，，只有当时，数列才是以2为公比的等比数列，即可判断；对于D，由题意可得，求得，进而可得，只需判断-是否成立即可判断.【详解】解：对于A，因为，所以，，所以，，所以，所以数列是周期为6的数列，故正确；对于B，当时，则有，，即有，，由等差中项的性质可知为等差数列，故错误；对于C，当时，，，即有，，当时，数列是以2为公比的等比数列，故错误；对于D，因为正数满足，所以所以，，所以，，设数列前项和为，则有=，所以，，所以，，所以，，所以==，，所以数列为递增数列，故正确.故选：AD三、填空题（共20分）13. 事件互相独立，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式解方程组可得结果.【详解】因为事件互相独立，所以，所以，所以，.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式求解是解题关键.14. 已知，，则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】利用向量数量积和模的公式，即可求得的最大值.【详解】因为，所以，设的夹角为， ，当时，的最大值是.故答案为：15. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为___________里．【答案】192【解析】【分析】由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为，根据等比数列前项和公式计算即可得解.【详解】解：由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为，设第一天走了里，则，解得，即则该人第一天走的路程为192里.故答案为：192.16. 关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题意知：函数的图象在区间上的图象与直线有三个不同的交点，求出直线与相切时的值，以及过点时的值，数形结合即可求解.【详解】令，则关于的方程在区间上有三个不相等的实根，等价于函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点， 是过原点斜率为的直线，设过原点且与的图象相切的直线与的图象相切于点，所以，，所以，所以切线方程为，整理可得：，因为切线过原点，所以，即，所以，所以设过原点且与的图象相切的直线方程为，记，则直线的斜率为，由图知：要使函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，则令直线的斜率在过原点的与的图象相切的直线的斜率和直线的斜率之间，所以，所以实数的取值范围是故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题（共70分）17. 已知复数，为z的共轭复数，且．（1）求m的值；（2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值；（2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可.【小问1详解】已知，则，由于，得，解得：【小问2详解】由（1）可知，，将代入方程可得：，即：，得：，解得：，，带入一元二次方程中得：，解得：，，即方程另外一个复数根为18. 某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为16，4．（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）在选取样本中，若男生和女生人数相同，我们规定成绩在70分以上称为“优秀”，70分以下称为“不优秀”，其中男、女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），，；（2）；（3）填表见解析；没有．【解析】【分析】（1）根据得分的频数，结合其在频率直方图中的频率计算总的样本容量，并由此求得的值，进而利用各组的频率之和等于1求得的值；（2）利用各组的中间值为代表乘以各组的频率值求和得到平均数的估计值；（3）根据已知求的男、女生中不优秀的人数，填写列联表，并利用公式计算的观测值，与奇临界值比较，得到结论.【详解】解：（1）由题意可知，样本容量，，．（2）设本次竞赛学生成绩的平均数为，则．（3）100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表：男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”．19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点是的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接交于，在中，，为中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示,设，则，，且，，设平面的法向量为，满足取，则，因为平面，所以可以取平面的一个法向量为，可得，所以二面角的余弦值为.【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.20. 已知数列满足且．（1）若为等差数列，求其前项和；（2）若存在，使得对任意的，恒成立，证明是等差数列．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据为等差数列设，根据不等式结合二次函数和一次函数的图象和性质求出的通项公式进而求其前项和即可；（2）由已知可得对任意的恒成立，令，，利用可得对任意恒成立，解出的通项公式即可证明.【小问1详解】若为等差数列，设，由可知，因为，所以由可得，即，整理得，由可得，即，整理得，要使满足恒成立，则，解得，代入验证满足不等式恒成立，所以，其前项和.【小问2详解】因为数列满足且，所以 对任意的恒成立，又因为存在，使得对任意的，恒成立，令，，则由可得对任意恒成立，因为，所以当时，即，所以，即数列是等差数列【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：（1）定义法：（常数） 数列为等差数列；（2）等差中项法：数列为等差数列；（3）通项公式法：（为常数，）数列为等差数列；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.21. 平面直角坐标系xOy中，点（，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足APAQ，求证：直线PQ过定点.【答案】（1） （2）过定点，证明见详解【解析】【分析】（1）根据定义法判断曲线类型，然后由题意可得；（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理将APAQ坐标化，得到参数之间的关系代回直线方程可证.【小问1详解】因为，所以由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中所以所以曲线C的方程为：【小问2详解】若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为，联立求解可得，直线PQ过点.当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为，代入，整理得：则因为APAQ，所以整理得解得或因为点P和Q都异于点A，所以不满足题意故，代入，得，过定点.综上，直线PQ过定点.22. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值；（2）当时，函数取得极值，求的值.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，然后求出与轴，轴的交点，表示出切线与两坐标轴围成的三角形面积，然后利用导数求最大值即可；（2）令求出的值，然后验证的值使函数在处取到极值.小问1详解】由已知，则，，曲线在点处的切线方程为，当时，，当时，，设线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则，，令，则，即在上单调递增，令，则，即在上单调递减，即，即曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值为；【小问2详解】由（1）， 因为当时，函数取得极值，得，解得或，当时，，设，则，令，则，明显在上单调递增，，即在上单调递增，，即在上单调递增，，即函数在上单调递增又明显在上恒成立，则上单调递增，，即函数在上单调递减，所以当时，函数取得极值，当时，，设，则，当时，明显，当时，因为，在上恒成立，在上单调递增，又，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极值，故或.现证明，设，则，令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减，，即，现证明，设，则在上恒成立即在上单调递增，，即.【点睛】关键点点睛：第二问中，使导函数为零的不一定是极值点，要带入验证，符合极值点左右两边单调性不一样才是极值点.