数学(理科)
命题人:朱晨蕊,审题人:陈燕春
时间:120 分钟 满分:150分
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分
第I 卷(选择题共60 分)
一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共60 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
5
1.复数 的共轭复数是( )
i 2
A. 2 i B. 2i C. 2i D. 2 i
2.已知集合 A x 0 x 2 , B x 4x2 4x 15 0 ,则( )
A. x A, x B B.x B , x A
C. x B , x A D.x A , x B
3.若 a,b 是夹角为 60 的两个单位向量, a b 与 3a 2b 垂直,则 ( )
1 7 1 7
A. B. C. D.
4 8 8 4
x y 2 0
4.若 x , y 满足约束条件 2x y 1 0 ,则 x2 (y 1)2 的最大值为( )
x 2
A.25 B.27 C.29 D.30
x x
5.函数 f (x) 4 1 2 sin x 的大致图象为( )
2
A. B.
C. D.
6.已知点 F(0,4) 是抛物线C : x2 2 py( p 0) 的焦点,点 P(2,3) ,且点 M 为抛物线C 上
任意一点,则| MF | | MP |的最小值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
4
1
7.已知 ax 的展开式中常数项为 24,则 a 的值为( )
x
A.1 B. 2 C.2 D. 2
8.七辆汽车排成一纵队,要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻,则排
法有( )
A.48种 B .72种 C .90种 D .144种
9.已知函数 f (x) sin 2x a cos 2x ,将 f x 的图象向右平移 个单位长度后,得到 g x
6
的图象.若 g x 的图象关于直线 x 对称,则 f ( )
4
3 3
A. B. C. 3 D. 3
3 3
10.已知圆 C : x2 y2 4x 4y 1 0 , AB 是圆C 上的一条动弦,且 AB 4 2 ,O 为
坐标原点,则 OA OB 的最小值为( )
A. 4 2 2 B. 2 2 1 C. 2 2 D. 4 2
x2 y2
11.双曲线 C: 1( a 0 , b 0 )的一条渐近线过点 P1, 3 , F1 , F2 是 C
a2 b2
5
的左右焦点,且 PF1 2 ,若双曲线上一点 M 满足 MF ,则 MF2 ( )
1 2
1 9 9 1 7
A. 或 B. C. D.
2 2 2 2 2
12.若实数 a,b, c (0,1) ,且满足 ae0.8 0.8ea , be1.2 1.2eb , ce1.6 1.6ec ,则 a,b,
c 的大小关系是( )
A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a
第II 卷(非选择题,共90 分)
二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分 .
13.函数 f (x) 2xex 的图象在 x 0 处的切线方程为 .
14.已知an 是各项均不相同的等差数列,bn 是公比为 q 的等比数列,且
q
a1 b1 a2 b2 a4 b4 ,则 .
x2 y2
15.已知椭圆 C : 1(a b 0) 的右焦点与抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 重合,
a2 b2
且与该抛物线在第一象限交于点 M ,若 FM x 轴,则椭圆 C 的离心率为 .
16.人脸识别,是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识
别中,主要应用距离测试检测样本之间的相似度,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和
余弦距离.设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,则曼哈顿距离 d A, B x1 x2 y1 y2 ,余弦距离
e A, B 1 cos A, B ,其中 cos A, B cos OA,OB (O 为坐标原点).已知点
M 2,1,d M , N 1,则eM, N 的最大值近似等于 .(保留 3 位小数)(参考数
据: 2 1.41, 5 2.24 .)
三、解答题:共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第22 、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60分
17.(本小题满分 12 分)
2
已知单调递增数列an 的前 n 项和为 Sn ,且 an n 2Sn .
(1)求an 的通项公式;
an
(2)记 log3bn an ,求数列 的前 n 项和Tn .
bn
18.(本小题满分 12 分)
cosC 2cos A
在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan B , a b .
sin C
(1)求角 B;
(2)若 a 3 ,b 7 ,D 为 AC 边的中点,求BCD 的面积.
19.(本小题满分 12 分)
2023 年上海书展于 8 月 16 日至 22 日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了 50 名观众,
调查他们每个月用在阅读上的时长,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)求 x 的值,并估计这 50 名观众每个月阅读时长的平均数;
(2)用分层抽样的方法从20,40,80,100 这两组观众中随机抽取 6 名观众,再若从这 6
名观众中随机抽取 2 人参加抽奖活动,求所抽取的 2 人恰好都在80,100 这组的概率.
20.(本小题满分 12 分)
x2 y2
设椭圆 1a b 0 的左右顶点分别为 A1, A2 ,左右焦点 F1, F2 .已知 A1F2 3 ,
a2 b2
A2 F2 1.
(1)求椭圆方程.
(2)若斜率为 1 的直线l 交椭圆于 A,B 两点,与以 F1, F2 为直径的圆交于 C,D 两点.若
12 2
AB CD ,求直线l 的方程.
7
21.(本小题满分 12 分)
1
已知函数 f x a ln xa R .
x
(1)当 a 4 时,求 f (x) 的零点个数;
1
(2)若 f (x 1) ex 1恒成立,求实数 a 的值.
x 1
(二)选考题:共10 分 .请考生在第22 、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的
第一题记分.
[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
1
x 1 t
2
22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以 O 为
3
y 2 t
2
极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2sin .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;
(2)若曲线 C 和直线 l 相交于 M,N 两点,Q 为 MN 的中点,点 P(1,2) ,求| PQ |.
[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
23.已知函数 f x m x 2 ,mR,且 f x 2 0 的解集为[-1,1].
(1)求 m 的值;
1 1 1
(2)若 a,b,c 0, ,且 m ,求证: a 2b 3c 9 .
a 2b 3c
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